【導(dǎo)讀】即以右手握住z軸，空間的點(diǎn)有序數(shù)組),,(zyx??????三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等腰三角形.P的距離的兩倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo).解設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為),0,0,(x因?yàn)镻在x軸上，A在xoy平面上的射影點(diǎn)為_(kāi)____. C則過(guò)A點(diǎn)的中線(xiàn)長(zhǎng)為_(kāi)_________;B的及它的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn))7,1,4(?以1M為起點(diǎn)，2M為終點(diǎn)的有向線(xiàn)段.

　　

【正文】 投影 )0,( yxM ?tax ?c o s?tay ?s i n?vtz ?t?螺旋線(xiàn)的參數(shù)方程 取時(shí)間 t為參數(shù)， 解 x yzo螺旋線(xiàn)的參數(shù)方程還可以寫(xiě)為 ???????????bzayaxsi nco s),( ??? vbt ??螺旋線(xiàn)的重要 性質(zhì) ： ,: 00 ???? ?? ,: 00 ??? bbbz ??上升的高度與轉(zhuǎn)過(guò)的角度成正比． 即 上升的高度 ?? bh 2 螺距 ? ,2???????0),(0),(zyxGzyxF消去變量 z后得： 0),( ?yxH曲線(xiàn)關(guān)于 的 投影柱面 xoy設(shè)空間曲線(xiàn)的一般方程： 以此空間曲線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)，垂直于所投影的坐標(biāo)面 . 投影柱面的 特征 ： 如圖 :投影曲線(xiàn)的研究過(guò)程 . 空間曲線(xiàn) 投影曲線(xiàn) 投影柱面 類(lèi)似地：可定義空間曲線(xiàn)在其他坐標(biāo)面上的投影 ?????00),(xzyR?????00),(yzxT面上的 投影曲線(xiàn) , yoz 面上的 投影曲線(xiàn) , xoz?????00),(zyxH空間曲線(xiàn)在 面上的 投影曲線(xiàn) xoy例 4 求曲線(xiàn) 在坐標(biāo)面上的投影 . ?????????211222zzyx解 （ 1）消去變量 z后得 ,4322 ?? yx在 面上的投影為 xoy,04322????????zyx所以在 面上的投影為線(xiàn)段 . xoz。23||,021????????xyz（ 3）同理在 面上的投影也為線(xiàn)段 . yoz.23||,021????????yxz（ 2）因?yàn)榍€(xiàn)在平面 上， 21?z例 5 求拋物面 xzy ?? 22 與平面 02 ??? zyx 的截線(xiàn)在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線(xiàn)方程 .截線(xiàn)方程為 ????????0222zyxxzy解 如圖 , （ 2 ）消去 y 得投影 ,00425 22????????yxxzzx（ 3 ）消去 x 得投影 .00222????????xzyzy（ 1 ）消去 z 得投影 ,0045 22????????zxxyyx補(bǔ)充 : 空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影 . 空間立體 曲面 例 6 .,)(34,2222面上的投影求它在錐面所圍成和由上半球面設(shè)一個(gè)立體xoyyxzyxz?????解 半球面和錐面的交線(xiàn)為 ??????????,)(3,4:2222yxzyxzC,122 ?? yxz 得投影柱面消去面上的投影為在則交線(xiàn) xoyC??????.0,122zyx 一個(gè)圓 , 面上的投影為所求立體在 xoy?.122 ?? yx空間曲線(xiàn)的一般方程、參數(shù)方程． 空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影． ?????0),(0),(zyxGzyxF????????)()()(tzztyytxx?????00),(zyxH?????00),(xzyR?????00),(yzxT思考題 求橢圓拋物面 zxy ?? 222 與拋物柱面zx ?? 22 的交線(xiàn)關(guān)于 xoy 面的投影柱面和在 xoy 面上的投影曲線(xiàn)方程 .思考題解答 ,22222???????zxzxy交線(xiàn)方程為 消去 z 得投影柱面 ,122 ?? yx在 面上的投影為 xoy .0122??????zyx一、 填空題：1 、 曲面 zyx 10922?? 與 y oz 平面的交線(xiàn)是 _____ ；2 、 通過(guò)曲線(xiàn) 162222??? zyx , 0222??? yzx ，且 母線(xiàn)平行于 y 軸的柱面方程是 ________ ____ ；3 、 曲線(xiàn) 01,0332322????????? zyzxyzzx 在 xoz 平面上的投影方程是 ______ _ _____ ___ ；4 、 方程組???????3215xyxy在平面解析幾何中表示 _____ _ ；5 、 方程組????????319422yyx在平面解析幾何中表示 _____ __ ___ ___ ，在空間解析幾何中表示 _____ _____ __ _ _ _ ；練 習(xí) 題 6 、旋轉(zhuǎn)拋物面22yxz ?? ( 40 ?? z ) 在 xoy 面的投影為 _____ _____ ， 在 y oz 面的投影為 _____ _____ __ ， 在 z o x 面上的投影為 _____ _____ .二、 畫(huà)出下列曲線(xiàn)在第一卦限的圖形：1 、????????0422yxyxz2 、???????222222azxayx三、 將曲線(xiàn)???????xyzyx 9222 化為參數(shù)方程．四、 求螺旋線(xiàn)???????????bzayaxs inc o s在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程 .五、 求 由 上 半 球 面222yxaz ??? , 柱面022??? axyx 及平面 0?z 所圍成的立體，在xo y 面和 xoz 面上的投影 .一、 1 、???????09102xzy； 2 、 1623,1632222???? zxzy ；3 、????????0032422yxzx；4 、兩直線(xiàn)的交點(diǎn) , 兩平面的交線(xiàn)；5 、橢圓與其一切線(xiàn)的交點(diǎn) , 橢圓柱面 19422??yx與其切平面 3?y 的交線(xiàn)；6 、 4,4,42222?????? zxzyyx .練習(xí)題答案 三、????????????tztytxs in3co s23co s23, )20( ??? t .四、??????0222zayx,???????0a r c s inxaybz,???????0a r c co syaxbz.五、 0,0,。2222?????? zxaaxzaxyx .一、平面的點(diǎn)法式方程 二、平面的一般方程 三、兩平面的夾角 四、小結(jié) 思考題 xyzo0M M 如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的 法線(xiàn)向量 ． 法線(xiàn)向量的 特征 ： 垂直于平面內(nèi)的任一向量． 已知 },{ CBAn ?? ),( 0000 zyxM設(shè)平面上的任一點(diǎn)為 ),( zyxMnMM ??0必有 ? 00 ?? nMM ?n?},{ 0000 zzyyxxMM ?????0)()()( 000 ??????? zzCyyBxxA平面的點(diǎn)法式方程 平面上的點(diǎn)都滿(mǎn)足上方程，不在平面上的點(diǎn)都不滿(mǎn)足上方程，上方程稱(chēng)為平面的方程，平面稱(chēng)為方程的圖形． 其中法向量 },{ CBAn ?? 已知點(diǎn) ).,( 000 zyx例 1 求過(guò)三點(diǎn) )4,1,2( ?A 、 )2,3,1( ??B 和)3,2,0(C 的平面方程 .解 }6,4,3{ ???AB}1,3,2{ ???AC取 ACABn ??? },1,9,14{ ??所求平面方程為 ,0)4()1(9)2(14 ?????? zyx化簡(jiǎn)得 .015914 ???? zyx例 2 求過(guò)點(diǎn) )1,1,1( ，且垂直于平面 7??? zyx 和051223 ???? zyx 的平面方程 .},1,1,1{1 ??n? }12,2,3{2 ??n?取法向量 21 nnn ??? ?? },5,15,10{?,0)1(5)1(15)1(10 ?????? zyx化簡(jiǎn)得 .0632 ???? zyx所求平面方程為 解 由平面的點(diǎn)法式方程 0)()()( 000 ?????? zzCyyBxxA0)( 000 ??????? CzByAxCzByAxD?0???? DCzByAx 平面的一般方程 法向量 }.,{ CBAn ??平面一般方程的幾種特殊情況： ,0)1( ?D 平面通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)； ,0)2( ?A ?????,0,0DD 平面通過(guò) 軸； x平面平行于 軸； x,0)3( ?? BA 平面平行于 坐標(biāo)面； xoy類(lèi)似地可討論 情形 . 0,0 ???? CBCA0,0 ?? CB類(lèi)似地可討論 情形 . 例 3 設(shè)平面過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn) )2,3,6( ? ，且與平面824 ??? zyx 垂直，求此平面方程 .設(shè)平面為 ,0???? DCzByAx由平面過(guò)原點(diǎn)知 ,0?D由平面過(guò)點(diǎn) )2,3,6( ? 知0236 ??? CBA},2,1,4{ ??n?? 024 ???? CBA,32 CBA ????.0322 ??? zyx所求平面方程為 解 例 4 設(shè)平面與 zyx , 三軸分別交于 )0,0,( aP 、)0,0( bQ 、 ),0,0( cR （其中 0?a ， 0?b ， 0?c ），求此平面方程 .設(shè)平面為 ,0???? DCzByAx將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得 ???????????,0,0,0DcCDbBDaA? ,aDA ?? ,bDB ?? .cDC ??解 ,aDA ?? ,bDB ?? ,cDC ??將 代入所設(shè)方程得 1??? czbyax 平面的截距式方程 x 軸上截距 y 軸上截距 z 軸上截距例 5 求平行于平面 0566 ???? zyx 而與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體體積為一個(gè)單位的平面方程 .設(shè)平面為 ,1??? czbyaxxyzo,1?V? ,12131 ??? abc由所求平面與已知平面平行得 ,611161cba ??（向量平行的充要條件） 解 ,61161 cba ??化簡(jiǎn)得 令 tcba ??? 61161,61ta ?? ,1tb ? ,61tc ?ttt 61161611 ?????代入體積式 ,61?? t,1,6,1 ???? cba.666 ??? zyx所求平面方程為 定義 （通常取銳角） 1?1n?2?2n? ?兩平面法向量之間的夾角稱(chēng)為兩平面的夾角 . ,0: 11111 ????? DzCyBxA,0: 22222 ????? DzCyBxA},{ 1111 CBAn ??},{ 2222 CBAn ??按照兩向量夾角余弦公式有 222222212121212121 ||c osCBACBACCBBAA?????????兩平面夾角余弦公式 兩平面位置特征： 21)1( ??? 。0212121 ????? CCBBAA21)2( ??// .212121CCBBAA ????例 6 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系： 013,012)1( ???????? zyzyx01224,012)2( ????????? zyxzyx02224,012)3( ????????? zyxzyx解 )1( 22222 31)1(2)1( |311201|c o s ?????? ????????601co s ?? 兩平面相交，夾角