【正文】 p,q)模型是 AR(p)模型與 MA(q)模型的組合： Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 + … + ?pXtp + ?t ?1?t1 ?2?t2 ? ?q?tq ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性 而 MA(q)模型總是平穩(wěn)的，因此 ARMA (p,q)模型的平穩(wěn)性取決于 AR(p)部分的平穩(wěn)性。 當 AR(p)部分平穩(wěn)時，則該 ARMA(p,q)模型是平穩(wěn)的，否則，不是平穩(wěn)的。 總結 （ 1）一個平穩(wěn)的時間序列總可以找到生成它的平穩(wěn)的隨機過程或模型； （ 2）一個非平穩(wěn)的隨機時間序列通常可以通過差分的方法將它變換為平穩(wěn)的，對差分后平穩(wěn)的時間序列也可找出對應的平穩(wěn)隨機過程或模型。 因此， 如果我們將一個非平穩(wěn)時間序列通過 d次差分，將它變?yōu)槠椒€(wěn)的，然后用一個平穩(wěn)的 ARMA(p,q)模型作為它的生成模型，則我們就說該原始時間序列是一個 自回歸單整移動平均（ autoregressive integrated moving average）時間序列，記為 ARIMA(p,d,q)。 例如， 一個 ARIMA(2,1,2)時間序列在它成為平穩(wěn)序列之前先得差分一次，然后用一個ARMA(2,2)模型作為它的生成模型的。 當然， 一個 ARIMA(p,0,0)過程表示了一個純AR(p)平穩(wěn)過程；一個 ARIMA(0,0,q)表示一個純 MA(q)平穩(wěn)過程。 三、隨機時間序列模型的識別 所謂隨機時間序列模型的識別 ， 就是對于一個平穩(wěn)的隨機時間序列 ， 找出生成它的合適的隨機過程或模型 ， 即判斷該時間序列是遵循一純AR過程 、 還是遵循一純 MA過程或 ARMA過程 。 所使用的工具 主要是 時間序列的 自相關函數 （ autocorrelation function， ACF） 及 偏自相關函數 （ partial autocorrelation function， PACF ） 。 AR(p)過程 (1)自相關函數 ACF ? 1階自回歸模型 AR(1)： Xt=?Xt1+ ?t 的 k階滯后 自協(xié)方差 為： 011 ))(( ??????? kkttktk XXE ???? ????=1,2,… 因此， AR(1)模型的 自相關函數 為： kkk ???? ?? 0?=1,2,… 由 AR(1)的穩(wěn)定性知 |?|1，因此， k??時，呈指數形衰減，直到零 。 這種現(xiàn)象稱為 拖尾 或稱AR(1)有無窮記憶 （ infinite memory）。 注意 ， ?0時，呈振蕩衰減狀 。 Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 + ?t 該模型的方差 ?0以及滯后 1期與 2期的自協(xié)方差 ?1, ?2分別為： ? ２階自回歸模型 AR(2) 22210 ???????0211212023??????????????類似地 ,可寫出一般的 k期滯后自協(xié)方差 ： 22112211 ))(( ????? ????? kktttktk rXXXE ??????? (K=2,3,…) 于是 ,AR(2)的 k 階自相關函數 為 ： 2211 ?? ?? kkk ????? (K=2,3,…) 其中 :?1=?1/(1?2), ?0=1 如果 AR(2)穩(wěn)定，則由 ?1+?21知 |?k|衰減趨于零，呈拖尾狀。 至于衰減的形式，要看 AR(2)特征根的實虛性， 若為實根，則呈單調或振蕩型衰減，若為虛根，則呈正弦波型衰減。 ? 一般地 ， p階自回歸模型 AR(p)： Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 +… ?pXtp + ?t k期滯后協(xié)方差為 : pkpkktptpttKtk XXXXE?????????????????????????????22112211 ))((從而有 自相關函數 : pkpkkk ??? ???? ??????? ?2211 可見， 無論 k有多大， ?k的計算均與其１到p階滯后的自相關函數有關 ，因此 呈拖尾狀 。 如果 AR(p)是穩(wěn)定的，則 |?k|遞減且趨于零 。 事實上，自相關函數 ： pkpkkk ??? ???? ?????? ?2211是一 p階差分方程，其通解為： ???pikiik zC1? 其中： 1/zi是 AR(p)特征方程 ?(z)=0的特征根 ， 由 AR(p)平穩(wěn)的條件知 ， |zi|1。 因此 ， 當 1/zi均為實數根時 ， ?k呈幾何型衰減 （ 單調或振蕩 ） ； 當存在虛數根時 ， 則一對共扼復根構成通解中的一個阻尼正弦波項 ， ?k呈正弦波衰減 。 （ 2）偏自相關函數 自相關函數 ACF(k)給出了 Xt與 Xt1的總體相關性，但總體相關性可能掩蓋了變量間完全不同的隱含關系。 例如，在 AR(1)隨機過程中， Xt與 Xt2間有相關性可能主要是由于它們各自與 Xt1間的相關性帶來的 : )()( 2112122 ?????? tttt XXEXXE??? 即自相關函數中包含了這種所有的 “ 間接 ” 相關。 與之相反 ， Xt與 Xtk間的 偏自相關函數(partial autocorrelation，簡記為 PACF)則是消除了中間變量 Xt1， ? ， Xtk+1 帶來的間接相關后的直接相關性，它是在已知序列值 Xt1， ? ，Xtk+1的條件下， Xt與 Xtk間關系的度量。 從 Xt中去掉 Xt1的影響，則只剩下隨機擾動項 ?t，顯然它與 Xt2無關，因此我們說 Xt與 Xt2的偏自相關系數 為零， 記為 ： 在 AR(1)中， 0),( 2*2 ?? ?tt XCo r r ?? 同樣地 ， 在 AR(p)過程中 ， 對所有 的 kp， Xt與 Xtk間的 偏自相關系數 為零 。 AR(p)的一個主要特征是 :kp時，?k*=Corr(Xt,Xtk)=0 即 ?k*在 p以后是截尾的。 一隨機時間序列的識別原則： 若 Xt的偏自相關函數在 p以后截尾 ， 即 kp時 ，?k*=0， 而它的自相關函數 ?k是拖尾的 ， 則此序列是自回歸 AR(p)序列 。 在實際識別時，由于樣本偏自相關函數rk*是總體偏自相關函數 ?k*的一個估計，由于樣本的隨機性，當 kp時， rk*不會全為 0，而是在 0的上下波動。但可以證明，當 kp時，rk*服從如下漸近正態(tài)分布 : rk*~N(0,1/n) 式中 n表示樣本容量。 需指出的是 ， 我們就有 %的把握判斷原時間序列在 p之后截尾。 nrk 2|| * ?因此，如果計算的 rk*滿足： 對 MA(1)過程 ： MA(q)過程 1??? tttX ???可容易地寫出它的 自協(xié)方差系數 ： 0)1(3221220??????????????????于是 ， MA(1)過程的 自相關函數 為 ： 0)1(3221???????????? 可見， 當 k1時， ?k0，即 Xt與 Xtk不相關，MA(1)自相關函數是截尾的。 MA(1)過程可以等價地寫成 ?t關于無窮序列Xt， Xt1， … 的線性組合的形式： ????? ?? 221 tttt XXX ???或 ： tttt XXX ??? ????? ?? ?221（ *） (*)是一個 AR(?)過程，它的偏自相關函數非截尾但卻趨于零，因此 MA(1)的偏自相關函數是非截尾但卻趨于零的。 注意 : (*)式只有當 |?|1時才有意義，否則意味著距 Xt越遠的 X值，對 Xt的影響越大，顯然不符合常理。 因此，我們 把 |?|1稱為 MA(1)的可逆性條件（ invertibility condition）或可逆域。 其 自協(xié)方差系數 為 ： 一般地， q階移動平均過程 MA(q) qtqtttX ?? ???? ????? ?11??????????????????? ???qkqkkXXEr qkqkkqkttk當當當01)(0)1()( 112222212??????????????相應的 自相關函數 為： ? ? ? ? ? ? ? ?k k k k q k q qrrkk qk q? ??? ? ? ? ? ? ? ? ???????? ?01 1 12 21 01 10當當當( ) / ( )? ? 可見 ， 當 kq時 ， Xt與 Xtk不相關 ， 即存在截尾現(xiàn)象 ， 因此 ， 當 kq時 ， ?k=0是 MA(q)的一個特征 。 于是： 可以根據自相關系數是否從某一點開始一直為 0來判斷 MA(q)模型的階 。 與 MA(1)相仿，可以驗證 MA(q)過程的偏自相關函數是非截尾但趨于零的。 MA(q)模型的識別規(guī)則： 若隨機序列的自相關函數截尾，即自 q以后， ?k=0（ kq）；而它的偏自相關函數是拖尾的，則此序列是滑動平均MA(q)序列。 同樣需要注意的是 ： 在實際識別時，由于樣本自相關函數 rk是總體自相關函數 ?k的一個估計，由于樣本的隨機性，當 kq時， rk不會全為 0，而是在 0的上下波動。但可以證明，當 kq時， rk服從如下漸近正態(tài)分布 : rk~N(0,1/n) 式中 n表示樣本容量。 因此 ， 如果計算的 rk滿足： nr k2|| ?我們 就有 %的把握判斷原時間序列在 q之后截尾 。 ARMA(p,q)的自相關函數 ， 可以看作MA(q)的自相關函數和 AR(p)的自相關函數的混合物。 當 p=0時，它具有截尾性質 ； 當 q=0時，它具有拖尾性質； 當 p、 q都不為 0時，它具有拖尾性質 ARMA(p, q)過程 從識別上看，通常： ARMA(p， q)過程的偏自相關函數（ PACF） 可能在 p階滯后前有幾項明顯的尖柱（ spikes），但從 p階滯后項開始逐漸趨向于零； 而 它的自相關函數（ ACF） 則是在 q階滯后前有幾項明顯的尖柱，從 q階滯后項開始逐漸趨向于零。 表 9 . 2 . 1 A R M A ( p , q ) 模型的 AC F 與 P AC F 理論模式 模型 AC F P AC F 白噪聲 0?k? 0*?k? AR ( p ) 衰減趨于零（幾何型或振蕩型） P 階后截尾： 0*?k? ， k p M A ( q ) q 階后截尾：， 0?k? ， k q 衰減趨于零（幾何型或振蕩 型） AR M A ( p , q ) q 階后衰減趨于零（幾何型或振蕩型） p 階后衰減趨于零（幾何型或振蕩型） 圖 9. 2 . 2 A R M A ( p , q ) 模型的 ACF 與 P A C F 理論模式 A C F P A C F 模型 1 ： tttXX ???? 10 . 00 . 20 . 40 . 60 . 81 2 3 4 5 6 7 8A C F10 . 00 . 20 . 40 . 60 . 81 2 3 4 5 6 7 8P A C F 1 模型 2 ： tttXX ????? 1 模型 3 ： 1???tttX ?? 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0