計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)時(shí)間序列模型1-資料下載頁
2025-08-26 19:14本頁面
【導(dǎo)讀】時(shí)間序列分析方法由Box-Jenkins年提出。⑵明確考慮時(shí)間序列的非平穩(wěn)性。如果時(shí)間序列非平穩(wěn)，建立模型之前應(yīng)先通過差分。把它變換成平穩(wěn)的時(shí)間序列，再考慮建模問題。只有從隨機(jī)過程的高度。認(rèn)識(shí)了它的一般規(guī)律。對(duì)時(shí)間序列的研究才會(huì)有指導(dǎo)意義。一類是確定型過程，一類是非確定型過程。電容器通過電阻的放電過程，行星的運(yùn)動(dòng)過程等。對(duì)同一事物的變化過程獨(dú)立、重復(fù)地進(jìn)行多次觀測(cè)而得到的結(jié)果是不相同的。這個(gè)水位函數(shù)是預(yù)先不可確知的。而在每年中同一時(shí)刻的水位紀(jì)錄是不相同的。其中S表示樣本空間，T表示序數(shù)集。隨機(jī)過程簡(jiǎn)記為{xt}或xt。T都是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，則稱此隨機(jī)過程為離散型隨機(jī)過程。但對(duì)于正態(tài)隨機(jī)過程而言，嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)是一致的。態(tài)隨機(jī)過程的聯(lián)合分布函數(shù)完全由均值、方差和協(xié)方差所惟一確定。在不致引起混淆的情況下，為方便，而這些以年為單位的函數(shù)族構(gòu)成了一個(gè)隨機(jī)過程{xt},t. 稱為一階差分算子。二次一階差分表示為，
【正文】 ，如果特征方程 ?(L) = 0 的全部根取值在單位圓之外，則該過程是平穩(wěn)的；如果若干個(gè)或全部根取值在單位圓之內(nèi)，則該過程是強(qiáng)非平穩(wěn)的。例如， xt = xt1 + ut （特征方程的根 = 1/ = ） 上式兩側(cè)同減 xt1 得 11 ?xt = xt1 + ut 仍然非平穩(wěn)。除此之外還有第三種情形，即特征方程的若干根取值恰好在單位圓上。這種根稱為 單位根 ，這種過程也是非平穩(wěn) 的。下面介紹這種重要的非平穩(wěn)隨機(jī)過程。 假設(shè)一個(gè)隨機(jī)過程含有 d 個(gè)單位根，其經(jīng)過 d 次差分之后可以變換為一個(gè)平穩(wěn)的自回歸移動(dòng)平均過程。則該隨機(jī)過程稱為單整自回歸移動(dòng)平均過程。 伯克斯 — 詹金斯積數(shù)十年理論與實(shí)踐的研究指出，時(shí)間序列的非平穩(wěn)性是多種多樣的，然而幸運(yùn)的是經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列常常具有這種特殊的線性齊次非平穩(wěn)特性（即參數(shù)是線性的， xt及其滯后項(xiàng)都是一次冪的）。對(duì)于一個(gè)非季節(jié)性經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列常?？梢杂煤幸粋€(gè)或多個(gè)單位根的隨機(jī)過程模型描述。 考慮如下模型 ? (L)?d yt = ? (L) ut () 其中 ?(L) 是一個(gè)平穩(wěn)的自回歸 算子 。即 ? (z) = 0 的根都大于 1。 ? (L)表示可逆的移動(dòng)平均算子。若取 xt = ?d yt () 則（ ）可表示為 ? (L) xt = ? (L) ut () 說明 yt 經(jīng)過 d 次差分之后，可用一個(gè)平穩(wěn)的、可逆的 ARMA過程 xt 表示。 隨機(jī)過程 yt 經(jīng)過 d 次差分之后可變換為一個(gè)以 ? (L)為 p 階自回歸算子， ? (L)為 q階移動(dòng)平均算子的平穩(wěn)、可逆的隨機(jī)過程，則稱 yt 為 （ p, d, q） 階 單整 (單積 )自回歸移動(dòng)平均過程 ，記為 ARIMA (p, d, q)。這種取名的目的是與以后各章中的稱謂相一致。 ARIMA 過程也稱為 綜合自回歸移動(dòng)平均過程 。其中 ? (L) ?d 稱為 廣義自回歸算子 。 () 是隨機(jī)過程的一般表達(dá)式。當(dāng) p ? 0, d = 0, q ? 0 時(shí)，（ ）變成 ARMA (p, q)過程， d = 0, p = 0, q ? 0 時(shí)， ARIMA 過程變成 AM(q)過程；而當(dāng) p = d = q = 0 時(shí)， ARIMA過程變成白噪聲過程。 做 ?d yt = xt 的逆運(yùn)算 yt = S d xt () 其中 S 是無限累加（積分）算子。當(dāng) d = 1 時(shí)， S xt 定義如下 S xt = ????ti ix= (1 + L + L2 + … )xt = (1 – L)1 xt = ?1 xt = yt. () 則 S = (1 – L)1 = ?1 () 單整與差分互為逆運(yùn)算。 例 5：以 yt = yt1 + xt, y0 = 0 為例 ， {xt}中元素的逐步疊加， 得 到 的是 { yt }序列。而 yt的 差分運(yùn)算 得 到 的是 {xt}序列。 y1 = x1 y2 = x2 + x1 y3 = x3 +x2 + x1 … yt1 = xt1 + … + x3 +x2 + x1 yt = xt + xt1 +… + x3 +x2 + x1 12 可見 S 是 ?的逆運(yùn)算。 ()表明隨機(jī)過程 xt經(jīng)過 逐步疊加 之后可以得到 yt。 每次 疊 加類似于連續(xù)函數(shù)的一次積分，這就是為什么稱 AR1MA 過程為單整自回歸移動(dòng)平均過程。 “單整”在這里就是積分的意思。 現(xiàn)在容易理解，隨 機(jī)游走過程 （ ） 就是由白噪聲過程累加一次而得到的。 給出若干具體的非平穩(wěn)隨機(jī)過程如下： 1. ARIMA (0, 1, 1)過程 ?yt = u t + ? 1 u t –1 =（ 1 + ? 1L） u t 其中 p = 0 , d = 1, q = 1, ? (L) = 1, ? (L) = 1+? 1 L . 2. ARIMA(1, 1, 0)過程 ?yt ?1?yt – 1 = u t 其中 p = 1, d = 1 , q = 0 , ? (L) = 1 ?1 L , ? (L) = 1. (1,1,1)過程 ?yt ?1?yt 1 = u t + ? 1 u t 1 或 （ 1 ?1 L） ?yt – 1=（ 1 + ? 1L） u t 其中 p = 1, d = 1, q = 1, ? (L) = 1 ?1 L, ? (L) = 1+ ? 1 L 對(duì)于非季節(jié)經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列 p, d, q 的取值很少有大于 2的情景。這些參數(shù)的常見取值是 0、1 和 2。 如何判別其是自回歸過程還是移動(dòng)平均過程？如何判別其過程的階數(shù)呢？ 如何通過一個(gè)時(shí)間序列研究其過程的平穩(wěn)性呢？ 4202420 40 60 80 100 120 140 160 180 200A R (1 ) 4321012320 40 60 80 100 120 140 160 180 200M A (1 ) Wold 分解定理 ： 任何協(xié)方差平穩(wěn)過程 xt，都可以被表示為 xt ? dt = ut + ?1 ut1+ ?2 ut2 + … + = ??? ?0j jtju? 其中 ? 表示 xt 的期望。 dt 表示 xt 的線性確定性成分，如周期性成分、時(shí)間 t 的多項(xiàng)式和指數(shù)形式等，可以直接用 xt 的滯后值預(yù)測(cè)。 ?0 = 1， ???0 2j j? ∞ 。 ut 為白噪聲過程。 ut表示用 xt 的滯后項(xiàng)預(yù)測(cè) xt 時(shí)的誤差。 ut = xt E(xt ? xt1, xt2 , … ) ??? ?0j jtju? 稱為 xt 的線性非確定性成分。當(dāng) dt = 0 時(shí)，稱 xt 為純 線性非確定性過程。 13 Wold 分解定理 由 Wold在 1938 年提出 。 Wold 分解定理 只要求過程 2 階平穩(wěn)即可。從原理上講，要得到過程的 Wold 分解 ，就必須知道無限個(gè) ?j 參數(shù)，這對(duì)于一個(gè)有限樣本來說是不可能的。實(shí)際中可以對(duì) ?j 做另一種假定，即可以把 ? (L)看作是 2 個(gè)有限特征多項(xiàng)式的比， ?(L) =???0jjjL? = )()(LL?? = ppqqLLL LLL ??? ??? ???? ???? ...1 ...1 221221 注意 ，無論原序列中含有何種確定性成分，在前面介紹的模型種類中，還是后面介紹的自相關(guān)函數(shù)、 偏 自相關(guān)函數(shù) 中都假設(shè)在原序列中已經(jīng)剔除了所有確定性成分，是一個(gè)純的隨機(jī)過程（過程中不含有任何確定性成分）。如果一個(gè)序列如上式， xt = ? + dt + ut + ?1 ut1+ ?2 ut2 + … + 則所有研究都是在 yt = xt ? dt 的基礎(chǔ)上進(jìn)行。例如前面給出的各類模型中都不含有均值項(xiàng) 、時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng) 就是這個(gè)道 理。
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