第二章167111橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程-資料下載頁
2024-11-17 19:19本頁面
【導(dǎo)讀】速跑到隨機(jī)出現(xiàn)在橢圓上的某一點(diǎn)處，然后再跑向另一個(gè)焦點(diǎn)，再跑向橢圓的另一焦點(diǎn)，每個(gè)參賽選手所跑的路程相同嗎？問題2：這種游戲設(shè)計(jì)的原理是什么？在平面直角坐標(biāo)系中，已知A，B(2,0)，C(0,2)，1．平面內(nèi)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為常數(shù)2a，當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是一條線段F1F2；2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，
【正文】 [例 3] (12分 )已知圓 B： (x＋ 1)2＋ y2＝ 16及點(diǎn) A(1,0)， C為圓 B上任意一點(diǎn)，求 AC的垂直平分線 l與線段 CB的交點(diǎn) P的軌跡方程． [思路點(diǎn)撥 ] P為 AC垂直平分線上的點(diǎn)，則 |PA|＝ |PC|，而 BC為圓的半徑，從而 4＝ |PA|＋ |PB|，可得點(diǎn) P軌跡為以 A、B為焦點(diǎn)的橢圓． [ 精解詳析 ] 如圖所示，連接 AP ， ∵ l垂直平分 AC ， ∴ | AP |＝ | CP |. (3 分 ) ∴ | PB |＋ | PA |＝ | BP |＋ | PC |＝ 4 ， ∴ P 點(diǎn)的軌跡是以 A ， B 為焦點(diǎn)的橢圓． (8 分 ) ∵ 2 a ＝ 4,2 c ＝ | AB |＝ 2 ， ∴ a ＝ 2 ， c ＝ 1 ， b2＝ a2－ c2＝ (10 分 ) ∴ 點(diǎn) P 的軌跡方程為x24＋y23＝ (12 分 ) [一點(diǎn)通 ] 求解有關(guān)橢圓的軌跡問題，一般有如下兩種思路： (1)首先通過題干中給出的等量關(guān)系列出等式，然后化簡等式得到對應(yīng)的軌跡方程； (2)首先分析幾何圖形所揭示的幾何關(guān)系，對比橢圓的定義，然后設(shè)出對應(yīng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出其中 a， b的值，得到標(biāo)準(zhǔn)方程． 解： 由已知得 b ＝ 2 ，又 a ， b ， c 成等差數(shù)列， ∴ a ＋ c ＝ 2 b ＝ 4 ，即 | AB |＋ | BC |＝ 4 ， ∴ 點(diǎn) B 到定點(diǎn) A 、 C 的距離之和為定值 4 ，由橢圓定義知B 點(diǎn)的軌跡為橢圓，其中 a ′＝ 2 ， c ′＝ 1. ∴ b ′2＝ 3. 又 ∵ A 、 B 、 C 三點(diǎn)共線時(shí)不能構(gòu)成三角形， ∴ 頂點(diǎn) B 的軌跡方程為x24＋y23＝ 1( y ≠0) ． 7． △ ABC的三邊 a， b， c成等差數(shù)列， A， C的坐標(biāo)分 別為 (－ 1,0)， (1,0)，求頂點(diǎn) B的軌跡方程． 解： 設(shè)動(dòng)圓 M 和定圓 B 內(nèi)切于點(diǎn) C ，由 | MA |＝ | MC |得 | MA |＋ | MB |＝ | MC |＋ | MB |＝ | BC |＝ 8 ，即動(dòng)圓圓心 M 到兩定點(diǎn)A ( － 3,0) ， B (3,0) 的距離之和等于定圓的半徑， ∴ 動(dòng)圓圓心 M 的軌跡是以 A 、 B 為焦點(diǎn)的橢圓， 且 2 a ＝ 8,2 c ＝ 6 ， b ＝ a2－ c2＝ 7 ， ∴ M 的軌跡方程是x216＋y27＝ 1. 8．已知?jiǎng)訄A M過定點(diǎn) A(－ 3,0)，并且在定圓 B： (x－ 3)2＋ y2 ＝ 64的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心 M的軌跡方程． 1．用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，若已知焦點(diǎn)的位置，可直接設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程；若焦點(diǎn)位置不確定，可分兩種情況求解；也可設(shè)為 Ax2＋ By2＝ 1(A0， B0， A≠B)求解． 2．解決與橢圓有關(guān)的軌跡問題時(shí)，要注意檢驗(yàn)所得到的方程的解是否都在曲線上． 3．涉及橢圓的焦點(diǎn)三角形問題，可結(jié)合橢圓的定義列出|PF1|＋ |PF2|＝ 2a求解，因此回歸定義是求解橢圓的焦點(diǎn)三角形問題的常用方法． 點(diǎn)擊下圖進(jìn)入“應(yīng)用創(chuàng)新演練”
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