高中數(shù)學(xué)蘇教版選修2-1第3章空間向量與立體幾何22-資料下載頁
2024-11-17 19:02本頁面
【導(dǎo)讀】、線面、面面的垂直和平行關(guān)系.設(shè)直線l，m的方向向量分別為a＝，b＝(a2，b2，a＝kba1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，.u·v＝0u⊥va1a2＋b1b2＋c1c2＝0. 例1如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求證：AC⊥BC1.分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.點(diǎn)，且CN＝：AB1⊥MN.設(shè)AB→＝a，AC→＝b，AA1→＝c，則由已知條件和正三棱柱的性質(zhì)，得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0，∴AB1→⊥MN→，∴AB1⊥MN.軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.丌妨設(shè)AB，AD，AF的長(zhǎng)分別為3a,3b,3c，因?yàn)锽M→＝13BD→＝，NA→＝13EA→＝，由NM→·AD→＝·＝0，因?yàn)镸N丌在平面CDE內(nèi)，所以MN∥平面CDE.若存在，求出E點(diǎn)的位置；若丌存在，說明理由.又CE→＝，CE∥平面PAB，2，∴E是PD的中點(diǎn)，條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).證明連結(jié)BD，設(shè)AC交BD于O，則AC⊥BD.由題意知SO⊥平面ABCD.
【正文】 α. ② 1 2 3 4 α的一個(gè)法向量為 (1,2,0)， 平面 β的一個(gè)法向量為(2， － 1,0)， 則平面 α不平面 β的位置關(guān)系是 ________. 解析 ∵ (1,2,0)(2， － 1,0)＝ 0， ∴ 兩法向量垂直 ， 從而兩平面垂直 . 垂直 1 2 3 4 P－ ABCD中 ， 底面 ABCD是正方形 ， 側(cè)棱 PD垂直于底面 ABCD， PD＝ DC， E是 PC的中點(diǎn) ， 作 EF⊥ PB于點(diǎn) F. 求證： (1)PA∥ 平面 EDB； (2)PB⊥ 平面 EFD. 證明 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 .D是 坐標(biāo)原點(diǎn) ， 設(shè) DC＝ a. (1)連結(jié) AC交 BD于點(diǎn) G， 連結(jié) EG， 依題意得 D (0, 0,0) ， A ( a ， 0, 0) ， P (0, 0 ， a ) ， E (0 ，a2 ，a2 ) . 1 2 3 4 因?yàn)榈酌?ABCD是正方形 ， 所以 G是此正方形的中心 ， 故點(diǎn) G 的坐標(biāo)為 ( a2 ，a2 ， 0) ，所以 EG→ ＝ ( a2 ， 0 ，－a2 ) . 又 PA→ ＝ ( a, 0 ，－ a ) ，所以 PA→ ＝ 2 EG→ ，這表明 PA ∥ EG . 1 2 3 4 而 EG?平面 EDB， 且 PA?平面 EDB， 所以 PA∥ 平面 EDB. (2) 依題意得 B ( a ， a, 0) ， PB→ ＝ ( a ， a ，－ a ) ， DE→ ＝ (0 ， a2 ，a2 ) ， 所以 PB→ DE→ ＝ 0 ＋a 22 －a 22 ＝ 0 ， 所以 PB→⊥ DE→，即 PB ⊥ DE . 1 2 3 4 又已知 EF⊥ PB， 且 EF∩ DE＝ E， 所以 PB⊥ 平面 EFD. 課堂小結(jié) (1)線線平行 設(shè)直線 l l2的方向向量分別是 a、 b， 則要證明 l1∥ l2， 只需證明 a∥ b， 即 a＝ kb (k∈ R). (2)線面平行 ① 設(shè)直線 l的方向向量是 a， 平面 α的法向量是 u， 則要證明l∥ α， 只需證明 a⊥ u， 即 au＝ 0. ② 根據(jù)線面平行的判定定理： “ 如果直線 (平面外 )不平面內(nèi)的一條直線平行 ， 那么這條直線和這個(gè)平面平行 ” ， 要證明一條直線和一個(gè)平面平行 ， 也可以在平面內(nèi)找一個(gè)向量不已知直線的方向向量是共線向量 . ③ 根據(jù)共面向量定理可知 ， 如果一個(gè)向量和兩個(gè)丌共線的向量是共面向量 ， 那么這個(gè)向量不這兩個(gè)丌共線向量確定的平面必定平行 ， 因此要證明平面外的一條直線和一個(gè)平面平行 ， 只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個(gè)丌共線向量線性表示即可 . (3)面面平行 ① 轉(zhuǎn)化為線線平行 、 線面平行處理 . ② 證明這兩個(gè)平面的法向量是共線向量 . (1)線線垂直 設(shè)直線 l l2的方向向量分別是 a、 b， 則要證明 l1⊥ l2， 只要證明 a⊥ b， 即 ab＝ 0. (2)線面垂直 ① 設(shè)直線 l的方向向量是 a， 平面 α的法向量是 u， 則要證 l⊥ α，只需證明 a∥ u. ② 根據(jù)線面垂直的判定定理 ， 轉(zhuǎn)化為直線不平面內(nèi)的兩條相交直線垂直 .即： 設(shè) a、 b在平面 α內(nèi) (戒不平面 α平行 )且 a不 b丌共線 ， 直線 l的方向向量為 c， 則 l⊥ α?c⊥ a且 c⊥ b?ac＝ bc＝ 0. (3)面面垂直 ① 根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直 、線線垂直 . ② 證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直 .
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