【正文】 到期時（ T時刻）的期望值為：根據風險中性定價原理，歐式看漲期權的價格 c等于將此期望值按無風險利率進行貼現后的現值，即： （ ）對式（ ）右邊求值是一種積分過程，結果為： 其中，由于歐式看漲期權和看跌期權之間存在平價關系 ,可得 169。2023,,*? (d1)是 的價值 (d2)是 X份看漲期權空頭的價值。? N(d2)是在風險中性世界中期權被執(zhí)行的概率，或者說大于 X的概率， (d2)是 X的風險中性期望值的現值。 (d1)是得到的風險中性期望值的現值。? 是復制交易策略中股票的數量，（d1)就是股票的市值 ,(d2)則是復制交易策略中負債的價值。169。2023,,* 三、有收益資產的期權定價公式 （一）有收益資產歐式期權的定價公式 在收益已知情況下，我們可以把標的證券價格分解成兩部分：期權有效期內已知現金收益的現值部分和一個有風險部分。 當標的證券已知收益的現值為 I時，我們只要用（ S－ I）代替 S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權的價格。 當標的證券的收益為按連續(xù)復利計算的固定收益率 q（單位為年）時，我們只要將代替 S就可求出支付連續(xù)復利收益率證券的歐式看漲和看跌期權的價格，從而使布萊克 —— 舒爾斯的歐式期權定價公式適用歐式貨幣期權和股價指數期權的定價。 169。2023,,*? 對于歐式期貨期權，布萊克教授也給出了定價公式： ? ? ? 其中，? 例子見書 .169。2023,,*（二）有收益資產美式期權的定價 1．美式看漲期權 當標的資產有收益時，美式看漲期權就有提前執(zhí)行的可能，因此有收益資產美式期權的定價較為復雜，布萊克提出了一種近似處理方法。該方法是先確定提前執(zhí)行美式看漲期權是否合理，其方法我們在本章第一節(jié)已論述過。若不合理，則按歐式期權處理；若在提前執(zhí)行有可能是合理的，則要分別計算在 T時刻和時刻到期的歐式看漲期權的價格，然后將二者之中的較大者作為美式期權的價格。在大多數情況下，這種近似效果都不錯。 2．美式看跌期權 由于收益雖然使美式看跌期權提前執(zhí)行的可能性減小，但仍不排除提前執(zhí)行的可能性，因此有收益美式看跌期權的價值仍不同于歐式看跌期權，它也只能通過較復雜的數值方法來求出。 169。2023,,*第五節(jié) 二叉樹期權定價摸型 ? 由于美式看跌期權無法用布萊克 —— 舒爾斯期權定價公式進行精確定價，因此要用其它替代方法，如二叉樹期權定價模型，該模型是由科克斯（）、羅斯 ()和魯賓斯坦 ()于 1979年首先提出的。 169。2023,,* 一、無收益資產期權的定價 二叉樹模型首先把期權的有效期分為很多很小的時間間隔，并假設在每一個時間間隔內證券價格從開始的 S運動到兩個新值和中的一個，如圖 。其中， u1， d1，且 1 圖 ?T時間內證券價格的變動 為了對期權進行定價，二叉樹模型也應用風險中性定價原理并假定： （ 1）所有可交易證券的期望收益都是無風險利率； （ 2）未來現金流可以用其期望值按無風險利率貼現來計算現值。 S0u ?uS0d ?dS0 ?p(1 – p )169。2023,,*（一）參數 p、 u和 d的確定 參數 p、 u和 d的值必須滿足這個要求，即：根據本章第 2節(jié)的討論，在一個小時間段內證券價格變化的方差是 。根據方差的定義，變量 X的方差等于 X2的期望值與 X期望值平方之差，因此：由上可得，169。2023,,*（二）證券價格的樹型結構 應用二叉樹模型來表示證券價格變化的完整樹型結構如圖 示。 圖 證券價格的樹型結構 當時間為 0時，證券價格為 S。 時間為 ?t時，證券價格要么上漲到，要么下降到；時間為 2 ?t時，證券價格就有三種可能： （等于 S）和 2，以此類推。一般而言，在時刻 i ?t ，證券價格有 1種可能，它們可用符號表示為： 其中 0， 1， 2， …… ， i169。2023,,*（三）倒推定價法 由于在 T時刻的期權價值是已知的。 所以在二叉樹模型中，期權定價從樹型結構圖的末端 T時刻開始，采用倒推法定價。 例： S0 = 50。 X = 50。 r =10%。 s = 40%。 T = 5 = 。 = 1 = 則可得： u = 。 d = 。 a = 。 p = 據此我們可以畫出該股票在期權有效期內的樹型圖，如下圖： 169。2023,,*169。2023,,*? 在時刻，股票在第 j個結點（ 0， 1， 2， ……i ）的價格等于。例如， F結點（ 4， 1）的股價等于。在最后那些結點處，期權價值等于。例如， G結點的期權價格等于 50－ =。 ? 從最后一列結點處的期權價值可以計算出倒數第二列結點的期權價值。首先，我們假定在這些結點處期權沒被提前執(zhí)行。這意味著所計算的期權價值是時間內期權價值期望值的現值。 如 E結點處的期權價值等于：? ? 而 F結點處的期權價值等于： ? 然后，我們要檢查提前執(zhí)行期權是否較有利。在 E結點，提前執(zhí)行將使期權價值為 0 ，所以不應提前執(zhí)行。而在 F結點，如果提前執(zhí)行，期權價值等于 － ，等于 ，大于上述的 。因此，若股價到達 F結點，就應提前執(zhí)行。? 用相同的方法我們可以算出各結點處的期權價值，并最終倒推算出初始結點處的期權價值為 。 169。2023,,*? （四）美式看跌期權的定價公式 ? 其中 0， 1， 2，…… ， N? 假定期權不被提前執(zhí)行，則在風險中性條件下： ? 如果考慮提前執(zhí)行的可能性的話，式中的必須與期權的內在價值比較，由此可得：? 按這種倒推法計算，當時間區(qū)間的劃分趨于無窮大，或者說當每一區(qū)間趨于 0時，就可以求出美式看跌期權的準確價值。根據實踐經驗，一般將時間區(qū)間分成 30個就可得到較為理想的結果。 169。2023,,*二、有收益資產期權的定價 （一）支付連續(xù)復利收益率資產的期權定價 當標的資產支付連續(xù)復利收益率 q的收益時，在風險中性條件下，證券價格的增長率應該為 r－ q， 因此可得：對于股價指數期權來說， q 為股票組合的紅利收益率；對于外匯期來說， q為國外無風險利率，因此上式也可用于股價指數和外匯的美式看跌期權的定價。對于期貨期權來說，布萊克曾證明，在對期貨期權定價時期貨的價格可以和支付連續(xù)紅利率 r的證券同樣對待，因此對于期貨期權而言，即：因此，也就可用于美式期貨看跌期權的定價。 169。2023,,*（二）支付已知收益資產的期權定價 1．已知紅利率 若標的資產在未來某一確定時間將支付已知收益率 ?，我們只要調整在各個結點上的證券價格就可算出期權價格。調整方法如下：如果時刻 i 在除權日之前，則結點處證券價格仍為： 如果時刻 i 在除權日之后，則結點處證券價格相應調整為： 0， 1， …… 對在期權有效期內有多個已知紅利率的情況，也可進行同樣處理。若 δi 為 0時刻到時刻之間所有除權日的紅利支付率，則時刻結點的相應的證券價格為：169。2023,,*2．已知紅利額 若標的資產在未來某一確定日期將支付已知數額的收益，則除權后樹枝將不再重合，這意味著所要估算的結點的數量可能變得很大，特別是如果支付多次已知數額收益的話。 為了簡化起見，我們仍可以把證券價格分為兩個部分：一部分是不確定的，而另一部分是期權有效期內所有未來紅利的現值。假設在期權有效期內只有一個除息日 ?，而且 x時刻不確定部分的價值 S*為： 當 x?時當 x=?時169。2023,,*? 其中 D表示收益金額。設 為 S*的標準差，假設 是常數，這樣就可用通常的方法構造出模擬 S*的二叉樹了 。 通過把未來收益現值加在每個結點的證券價格上，就會使原來的二叉樹轉化為另一個模擬 S的二叉樹。在 iDt時刻，當 時，這個樹上每個結點對應的證券價格為：j=0， 1， 2…… ， i? 當 時，這個樹上每個結點對應的證券價格為：j=0， 1， 2…… ， iCopyright169。ZhenlongZheng2023,DepartmentofFinance,XiamenUniversity*謝 謝一月 2120:34:1220:3420:34一月 21一月 2120:34 20:3420:34:12一月 21一月2120:34:122023/1/25 20:34:12? 靜夜四無 鄰 ，荒居舊 業(yè)貧 。 一月 21一月 21Monday, January 25, 2023? 雨中黃葉 樹 ，燈下白 頭 人。 20:34:1220:34:1220:341/25/2023 8:34:12 PM? 1以我獨沈久，愧君相 見頻 。 一月 2120:34:1220:34Jan2125Jan21? 1故人江海 別 ，幾度隔山川。 20:34:1220:34:1220:34Monday, January 25, 2023? 1乍 見 翻疑夢，相悲各 問 年。 一月 21一月 2120:34:1220:34:12January 25, 2023? 1他 鄉(xiāng) 生白 發(fā) ，舊國 見 青山。 25 一月 20238:34:12 下午 20:34:12一月 21? 1比不了得就不比，得不到的就不要。 。 一月 218:34 下午 一月 2120:34January 25, 2023? 1行 動 出成果，工作出 財 富。 2023/1/25 20:34:1220:34:1225 January 2023? 1做前，能 夠環(huán)視 四周；做 時 ，你只能或者最好沿著以腳 為 起點的射 線 向前。 8:34:12 下午 8:34 下午 20:34:12一月 21? 沒有失 敗 ，只有 暫時 停止成功！。 一月 21一月 21Monday, January 25, 2023? 很多事情努力了未必有 結 果，但是不努力卻什么改 變 也沒有。 20:34:1220:34:1220:341/25/2023 8:34:12 PM? 1成功就是日復一日那一點點小小努力的 積 累。 一月 2120:34:1220:34Jan2125Jan21? 1世 間 成事，不求其 絕對圓滿 ，留一份不足，可得無限完美。 20:34:1220:34:1220:34Monday, January 25, 2023? 1不知香 積 寺，數里入云峰。 一月 21一月 2120:34:1220:34:12January 25, 2023? 1意志 堅 強 的人能把世界放在手中像泥 塊 一 樣 任意揉捏。 25 一月 20238:34:12 下午 20:34:12一月 21? 1楚塞三湘接， 荊門 九派通。 。 一月 218:34 下午 一月 2120:34January 25, 2023? 1少年十五二十 時 ，步行 奪 得胡 馬騎 。 2023/1/25 20:34:1220:34:1225 January 2023? 1空山新雨后，天氣晚來秋。 8:34:12 下午 8:34 下午 20:34:12一月 21? 楊 柳散和 風 ，青山澹吾 慮 。 一月 21一月 21Monday, January 25, 2023? 閱讀 一切好 書 如同和 過 去最杰出的人 談話 。 20:34:1220:34:1220:341/25/2023 8:34:12 PM? 1越是沒有本 領 的就越加自命不凡。 一月 2120:34:1220:34Jan2125Jan21? 1越是無能的人，越喜 歡 挑剔 別 人的 錯 兒。 20:34:1220:34:1220:34Monday, January 25, 2023? 1知人者智，自知者明。 勝 人者有力，自 勝 者 強 。 一月 21一月 2120:34:1220:34:12January 25, 2023? 1意志 堅 強 的人能把世界放在手中像泥 塊 一 樣 任意揉捏。 25 一月 20238:34:12 下午 20:34:12一月 21? 1最具挑 戰(zhàn) 性的挑 戰(zhàn) 莫 過 于提升自我。 一月 218:34 下午 一月 2120:34January 25, 2023? 1 業(yè) 余生活要有意 義 ，不要越 軌 。 2023/1/25 20:34:1220:34:1225 January 2023? 1一個人即使已登上 頂 峰，也仍要自 強 不息。 8:34:12 下午 8:34 下午 20:34:12一月 21MOMODA POWERPOINTLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. 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