【導(dǎo)讀】倒立擺是典型的非線性系統(tǒng)，具有多變量、強(qiáng)耦合和絕對(duì)不穩(wěn)定的特征。倒立擺的控制過程能反映控制理論中的諸多關(guān)鍵。問題，如鎮(zhèn)定問題、非線性問題、魯棒性問題以及跟蹤問題等。本文首先闡述了遺傳算法和倒立擺控制系統(tǒng)的研究背景和發(fā)展現(xiàn)狀。紹了一級(jí)和二級(jí)倒立擺控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的建立。用現(xiàn)代控制理論分析了一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的可控性和可觀性。為了避免手工整定PID. 仿真結(jié)果表明利用遺傳算法尋優(yōu)設(shè)計(jì)的PID控制器來控制倒立擺可以。獲得很好的動(dòng)態(tài)品質(zhì)和穩(wěn)定性。

　　

【正文】 子重要性次于交叉算子，但其作用也不能忽視。例如，若在某個(gè)位置上。初始群體 所有串都取 0 但最優(yōu)解在這個(gè)位置上卻取 1，于是只通過交叉達(dá)不到 1，而變異則可做到。 遺傳算法的三個(gè)算子：選擇概率 Ps，交叉概率 Pc和變異概率 Pm。選擇概率通過適配值來確定。交叉概率決定了交叉的次數(shù)， Pc過小導(dǎo)致搜索停滯不前；而太大也會(huì)使高適配置的結(jié)構(gòu)被破壞掉。因此，選擇概率 一般 選取 ， 交叉概率一般選取， 變異概率一般 為 ，太大會(huì)引起不穩(wěn)定，太小難以尋到全局最優(yōu)解。 所以本文采用的方法是：首先按賭輪選擇機(jī)制執(zhí)行遺傳算法的選擇功能，即各個(gè)個(gè)體被選中的概率和其適應(yīng)度 值成正比。適應(yīng)度值大的在下一代中將有較多的子孫，相反則會(huì)被淘汰。遺傳算法強(qiáng)調(diào)交叉操作的功能。此功能由 MATLAB遺傳算法工具箱中的“ select”函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。從遺傳算法的觀點(diǎn)來看，解的進(jìn)化主要靠選擇機(jī)制和交叉策略來完成，單點(diǎn)交叉對(duì)保護(hù)最優(yōu)解不被破壞有很重要的作用，本文選擇單點(diǎn)交叉，由“ rebin”函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。 交叉概率 Pc=。 變異由函數(shù)“ mut”來執(zhí)行，它是根據(jù)變異概率，從群體中隨機(jī)選取若干個(gè)體，對(duì)于選中的個(gè)體隨機(jī)選取某一位進(jìn)行取反運(yùn)算，即由 0→ 1或由 1→ 0。本文的變異概率 Pm = 。 遺傳算法流程 完整的遺傳算法流程如圖 31所示 20 遺傳算法運(yùn)行參數(shù) 遺傳算法有 L， N， T， cP ， mP 等參數(shù)需要確定。 L 為參數(shù)編碼長度，用二進(jìn)制表示時(shí)與所求精度和參數(shù)取值范圍有關(guān)，精度越高，位串越長，計(jì)算量越大。編碼長度與精度之間的關(guān)系式如下： 12 ???L lr XX? (34) 式中： lX ， rX —— 參數(shù)最小、最大值； δ —— 精度值； L—— 參數(shù)編碼長度。 根據(jù)此式可解出 L值。然后將各參數(shù)的 L值求和，即得染色體編碼長度。 N 為群開始 隨機(jī)產(chǎn)生初始種群 編碼生產(chǎn)參數(shù)值 系統(tǒng)進(jìn)行仿真 計(jì)算適應(yīng)度 輸出參數(shù)值 結(jié)束 生產(chǎn)新群體 變異 交叉 選擇 是 否 是否滿足要求？ 圖 31 遺傳算法工作原理示意圖 21 體規(guī)模，即群體中所含個(gè)體的數(shù)量，當(dāng) N取值較小時(shí)可提高運(yùn)算和收斂速度，但卻降低了群體多樣性，可能引起早熟現(xiàn)象；較大時(shí)含有較多模式，可提高 GAs搜索質(zhì)量，但計(jì)算量增大，收斂速度降低，一般取為 20100。 T為運(yùn)算的終止進(jìn)化代數(shù)，一般取為 100500。 cP 為交叉概率，交叉操作是遺傳算法中產(chǎn)生新個(gè)體的主要方法，所以一般取較大值，但過大容易破壞優(yōu)良基因的結(jié)構(gòu)，過小產(chǎn)生新個(gè)體的速度又較慢，一般取為。 mP 為變異概率，如若取較大值，雖能產(chǎn)生較多新個(gè)體，但也可能破壞較好的模式，使遺傳算法趨于隨機(jī)搜索；若取較小值，則變異產(chǎn)生新個(gè)體的能力和抑制早熟現(xiàn)象的能力就會(huì)較差。一般取為 。當(dāng)然也可用自適應(yīng)的方法來確定交叉和變異概率。需要說明的是，這個(gè)運(yùn)行參數(shù)對(duì)遺傳算法的求解 結(jié)果和求解效率都有一定的影響，但目前尚無合理選擇它們的理論依據(jù)。從理論上講，不存在一組適用于所有問題的最佳參數(shù)值，問題不同，合適參數(shù)的差異比較大。在遺傳算法的實(shí)際應(yīng)用中，往往需要經(jīng)過多次試算后才能確定出這些參數(shù)合理的取值大小或取值范圍。 22 第四章 基于遺傳算法的 PID 參數(shù)整定與優(yōu)化 PID 參數(shù)優(yōu)化的目的是在控制對(duì)象已知，控制器結(jié)構(gòu)形式確定的情況下，通過調(diào)整控制器的參數(shù)，使控制系統(tǒng)調(diào)節(jié)品質(zhì)到達(dá)最佳。因此， PID 參數(shù)尋優(yōu)方法的關(guān)鍵在于采用過渡過程的系統(tǒng)性能指標(biāo)函數(shù) (目標(biāo) 函數(shù) )和基因差異自適應(yīng)算法的遺傳算法作為最優(yōu)參數(shù)搜索策略的選擇。 在 PID 控制器參數(shù)優(yōu)化中可采用遺傳算法。遺傳算法因利用了生物進(jìn)化和遺傳的思想，所以有許多與傳統(tǒng)優(yōu)化算法不同的特點(diǎn)，主要有： (1)擅長全局搜索，魯棒性高，并具有獲得全局最優(yōu)解的能力； (2)對(duì)搜索空間和目標(biāo)函數(shù)沒有任何特殊的要求 (如凸性 )，只利用適應(yīng)值信息，而不需要導(dǎo)數(shù)等其它輔助信息，因而適用范圍更廣； (3)從問題解的串集而不是從單個(gè)解開始搜索最優(yōu)解，故有隱含的并行性； (4)是對(duì)問題參數(shù)的編碼 (染色體 )群進(jìn) 行進(jìn)化，而不是參數(shù)本身； (5)是隨機(jī)搜索而非確定性搜索過程，且此隨機(jī)搜索具有一定的方向性，可指導(dǎo)搜索向著最優(yōu)解前進(jìn)，故其效率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于一般的隨機(jī)方法。 PID 控制的原理和特點(diǎn) 在工程實(shí)際中，應(yīng)用最為廣泛的調(diào)節(jié)器控制規(guī)律為比例、積分、微分控制，簡稱 PID 控制，又稱 PID 調(diào)節(jié)。 PID 控制器問世至今已有近 70 年歷史，它以其結(jié)構(gòu)簡單、穩(wěn)定性好、工作可靠、調(diào)整方便而成為工業(yè)控制的主要技術(shù)之一。當(dāng)被控對(duì)象的結(jié)構(gòu)和參數(shù)不能完全掌握，或得不到精確的數(shù)學(xué)模型時(shí)，控制理論的 其它技術(shù)難以采用時(shí)，系統(tǒng)控 制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)必須依靠經(jīng)驗(yàn)和現(xiàn)場調(diào)試來確定，在積分控制中，控制器的輸出與輸入誤差信號(hào)的積分成正比關(guān)系。 PID 控制器的參數(shù)整定是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的核心內(nèi)容。它是根據(jù)被控過程的特性確定 PID 控制器的比例系數(shù)、積分時(shí)間和微分時(shí)間的大小，使得自動(dòng)控制系統(tǒng)工作在最佳的狀態(tài)。從 PID 控制器的三個(gè)參數(shù)的作用可以看出三個(gè)參數(shù)直接影響控制效果的好壞，所以要取得較好的控制效果，就必須對(duì)比例、積分、微分三種控制作用進(jìn)行調(diào)節(jié)?？傊?，比例主要用于偏差的粗調(diào)；保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)；積分主要用于偏差的細(xì)調(diào)，保證控制系統(tǒng)的準(zhǔn)；微分主要用于偏差 的細(xì)調(diào)，保證控制系統(tǒng)的快速性。 對(duì)一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng)，如果在進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后存在穩(wěn)態(tài)誤差，則稱這個(gè)控制系統(tǒng)是有穩(wěn)態(tài)誤差的或簡稱有差系統(tǒng)。為了消除穩(wěn)態(tài)誤差，在控制器中必須引入“積分項(xiàng)”。積分項(xiàng)對(duì)誤差取決于時(shí)間的積分，隨著時(shí)間的增加，積分項(xiàng)會(huì)增 23 大。這樣即便誤差很小，積分項(xiàng)也會(huì)隨著時(shí)間的增加而加大，它推動(dòng)控制器的輸出增大使穩(wěn)態(tài)誤差進(jìn)一步減小，直到等于零。因此，比例加積分 (PI)控制器，可以使系統(tǒng)在進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后無穩(wěn)態(tài)誤差。 PID 控制是工業(yè)過程控制中應(yīng)用最廣的策略之一，因此 PID 控制器參數(shù)的優(yōu)化成為人們關(guān)注的 問題，它直接影響控制效果的好壞，并和系統(tǒng)的安全、經(jīng)濟(jì)運(yùn)行有著密不可分的關(guān)系。 PID 控制器作為最早實(shí)用化的控制器已有 50 多年歷史，現(xiàn)在仍然是應(yīng)用最廣泛的工業(yè)控制器。 PID 控制器簡單易懂，使用中不需精確的系統(tǒng)模型等先決條件，因而成為應(yīng)用最為廣泛的控制器。 PID控制器由比例單元 (P)、積分單元 (I)和微分單元 (D)組成。其輸入 )(te 與輸出)(tu 的關(guān)系為： )/)(*)(/1)((()( dttdekddttekitekptu ? ??? (41) 積分上下限為（ 0， t）。它由于用途廣泛、使用靈活，已有系列化產(chǎn)品，使用中只需設(shè)定三個(gè)參數(shù)（ Kp ， Ki 和 Kd ）即可。在很多情況下，并不一定需 要全部三個(gè)單元，可以取其中的一到兩個(gè)單元，但比例控制單元是必不可少的。 首先， PID 應(yīng)用范圍廣。雖然很多工業(yè)過程是非線性或時(shí)變的，但通過對(duì)其簡化可以變成基本線性和動(dòng)態(tài)特性不隨時(shí)間變化的系統(tǒng)，這樣 PID 就可控制了。 其次， PID 參數(shù)較易整定。也就是， PID 參數(shù) Kp ， Ki 和 Kd 可以根據(jù)過程的動(dòng)態(tài)特性及時(shí)整定。如果過程的動(dòng)態(tài)特性變化，例如可能由負(fù)載的變化引起系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性變化， PID 參數(shù)就可以重新整定。 第三， PID 控制器在實(shí)踐中也不斷的得到改進(jìn)，下面兩個(gè)改進(jìn)的例子。 在工廠，總是能看到許多回路都處于手動(dòng)狀態(tài)，原因是很難讓過程在“自動(dòng)”模式下平穩(wěn)工作。由于這些不足，采用 PID 的工業(yè)控制系統(tǒng)總是受產(chǎn)品質(zhì)量、安全、產(chǎn)量和能源浪費(fèi)等問題的困擾。 PID 參數(shù)自整定就是為了處理 PID 參數(shù)整定這個(gè)問題而產(chǎn)生的?，F(xiàn)在，自動(dòng)整定或自身整定的 PID 控制器已是商業(yè)單回路控制器和分散控制系統(tǒng)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。 在一些情況下針對(duì)特定的系統(tǒng)設(shè)計(jì)的 PID控制器控制得很好，但它們?nèi)源嬖谝恍﹩栴}需要解決： 如果自整定要以模型為基礎(chǔ)，為了 PID 參數(shù)的重新整定在線尋找和保持好過程模型是較難的。閉環(huán)工作時(shí)，要求在過程中插入一個(gè)測試信號(hào)。這個(gè)方法會(huì)引起擾動(dòng)，所以基于模型的 PID 參數(shù)自整定在工業(yè)應(yīng)用不是太好。 如果自整定是基于控制律的，經(jīng)常難以把由負(fù)載干擾引起的影響和過程動(dòng)態(tài)特性 24 變化引起的影響區(qū)分開來，因此受到干擾的影響控制器會(huì)產(chǎn)生超調(diào)，產(chǎn)生一個(gè)不必要的自適應(yīng)轉(zhuǎn)換。另外，由于基于控制律的系統(tǒng)沒有成熟的穩(wěn)定性分析方法，參數(shù)整定可靠與否 存在很多問題。 基于遺傳算法的 PID 控制設(shè)計(jì)的步驟 1． 參數(shù)解碼與編碼 由于優(yōu)化的 PID 參數(shù) Kp、 Ki、 Kd 均為實(shí)數(shù)，而本次又采用二進(jìn)制編碼。因?yàn)槭嵌鄥?shù)優(yōu)化問題，故需進(jìn)行多參數(shù)映射編碼。它是把每個(gè)參數(shù)先進(jìn)行二進(jìn)制編碼得到子串，再把這些子串連成一個(gè)完整的染色體，即個(gè)體。對(duì)應(yīng)的編碼形式如下 ： 821 KpKpKp ? ——————— ＞ Kp 821 KiKiKi ? ——————— ＞ Ki 821 KdKdKd ? ——————— ＞ Kd 一般的尋優(yōu)方法在約束條件下可以求得滿足條件的一族參數(shù)，而在本設(shè)計(jì)中，則是從該族參數(shù)中尋找一個(gè)最好的。適應(yīng)函數(shù)同目標(biāo)函數(shù)相關(guān)，所以，以具有約束條件的調(diào)節(jié)品質(zhì)型目標(biāo)函數(shù)為適應(yīng)函數(shù)。所以本文僅采用偏差積分指標(biāo)對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化，其目的只是為驗(yàn)證遺傳算法在按照某個(gè)特定指標(biāo)下優(yōu)化控制參數(shù)時(shí)的效果。由于PID控制器參數(shù)優(yōu)化問題是求在偏差積分指標(biāo)最小情況下的 Kp、 Ki、 Kd 參數(shù)。 即 : ?? ?? 0 min)( dttetJ (42)所以需要對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行改造，將最小值問題轉(zhuǎn)換成最大化問題，來滿足遺傳算法的要求。定義適應(yīng)度函數(shù) f為： dttetJF x??? 0 )(11 (43) 種群即每代中所包含二進(jìn)制串的個(gè)數(shù)。初始種群的選取可以采取隨機(jī)方法進(jìn)行。比如通過投硬幣，投取一次代表一個(gè)二進(jìn) 制數(shù)，正面表 1，反面為 0。該方法產(chǎn)生的種群具有隨機(jī)性、全面性，避免了局部最優(yōu)解的問題。 初始種群可以采取隨機(jī)方法進(jìn)行選取。該方法產(chǎn)生的種群具有隨機(jī)性、全面性，免了局部最優(yōu)解的問題。種群中字串的個(gè)數(shù)越大，其代表性越廣泛，最終進(jìn)化到最優(yōu)解的可能性越大，但勢必造成計(jì)算時(shí)間的增加。按照 ZieglerNichols的經(jīng)驗(yàn)公式先計(jì)算出 Kp 、 Ki 、 Kd 三個(gè)參數(shù)值，然后在參數(shù)值附近生成初始群體。這樣有利于縮小搜索空間，迅速找到最優(yōu)解的位置。具體算法如下：首先系統(tǒng)只加比例環(huán)節(jié)，改變 25 Kp的值使系統(tǒng)輸出發(fā)生周期震蕩，記錄 0K (使系統(tǒng)輸出發(fā)生周期震蕩 Kp 的值 )和0T (震蕩周期 )。然后根據(jù)得到的 Kp 和 0T 的值利用公式 Kp =*Ko， Ki =2Kp/To，Kd = 8/0KpT 算出參數(shù) Kp 、 Ki 、 Kd 。 遺傳算法的三個(gè)算子：選擇概率 Ps，交叉概率 Pc和變異概率 Pm。選擇概率通過適配值來確定。交叉概率決定了交叉的次數(shù)， Pc過小導(dǎo)致搜索停滯不前；而太大也會(huì) 使高適配置的結(jié)構(gòu)被破壞掉。因此，選擇概率 一般 選取 ， 交叉概率一般選取， 變異概率一般 為 ，太大會(huì)引起不穩(wěn)定，太小難以尋到全局最優(yōu)解。 所以本文采用的方法是：首先按賭輪選擇機(jī)制執(zhí)行遺傳算法的選擇功能，即各個(gè)個(gè)體被選中的概率和其適應(yīng)度值成正比。適應(yīng)度值大的在下一代中將有較多的子孫，相反則會(huì)被淘汰。 交叉概率 Pc=。 變異是根據(jù)變異概率，從群體中隨機(jī)選取若干個(gè)體，對(duì)于選中的個(gè)體隨機(jī)選取某一位進(jìn)行取反運(yùn)算，即由 0→ 1或由 1→ 0。本文的變異概率 Pm =。 PID 控制仿真 Kp 、 Ki 、 Kd 對(duì)系統(tǒng)超調(diào)量、響應(yīng)速度、靜態(tài)誤差等性能的影響各不相同，而且相互牽連，所以對(duì)普遍適用的 PID 控制器的相關(guān)參數(shù)的整定也是一件很重要的事情。如果參數(shù)選擇合適的話，控制器就能很好的完成控制任務(wù) 。反之，如果所選擇的參數(shù)匹配不好，控制性能會(huì)很差， 響應(yīng)曲線收斂不好，甚至是發(fā)散的，給生產(chǎn)帶來很大的損失。在選擇參數(shù)時(shí)往往涉及到一些性能的取舍問題。對(duì)于無零點(diǎn)的二階系統(tǒng)，可以使用控制系統(tǒng)教材中公式和圖表來得到一個(gè)合適的參數(shù)。但是對(duì)于高階系統(tǒng)來說，沒有準(zhǔn)確計(jì)算參數(shù)的公式可供使用。 由第二章建立的模型可知，本文采用被控對(duì)象的的傳遞函數(shù)如下： )( )( 23 ????? sss ssU s 為了便于對(duì)比，首先對(duì)未加 PID 控制器的傳遞 函數(shù)進(jìn)行仿真， simulink 圖如圖41所示。 圖 41 未加 PID倒立擺仿真模型 26 對(duì)圖未加 PID的倒立擺進(jìn)行仿真得到如圖 42仿真曲線。 采用遺傳算法對(duì) PID 參數(shù)進(jìn)行整定，取初始種群為 30，采樣周期選為 ，交叉概率為 ，變異概率為 。