【正文】 關系，建立適當?shù)臄?shù)學模型逼近實際系統(tǒng)。 表 21 一級倒立擺的參數(shù) 符號 含義 數(shù)值 x 小車相對初始位置的位移 m M 小車質(zhì)量 l 一級擺質(zhì)心到轉軸 O1 的距離 25cm θ 擺桿與垂直向上方向的夾角 rad m 一級擺桿質(zhì)量 φ 擺桿與垂直向下方向的夾角 rad I 擺桿慣量 *m*m b 小車的滑動摩擦系數(shù) *s/m L 一級擺桿長度 50cm F 作用在倒立擺系統(tǒng)上的控制量 (力 ) N 9 在實際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負方向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義如圖 22,圖 23 所示，圖示方向為矢量正方向。 13 定理 3（ 穩(wěn)定性判據(jù) ） Lyapunov 第一法則判定定理：對于線性定常系統(tǒng)? ? 0, 0 , 0x Ax x x t? ? ?有： （ 1） 系統(tǒng)的每一平衡狀態(tài)是在 Lyapunov 意義下穩(wěn)定的充分必要條件是： A的所有特征值均具有非正（負或零）實部，且具有零實部的特征值為 A 的最小多項式的單根。通過模擬孟德爾遺傳變異理論在迭代過程中保持已有的結構，同時尋找更好的結構，在人工系統(tǒng)中實現(xiàn)特定目標的優(yōu)化。遺傳算法是模擬自然界生物進化過與機制來求解極值問題的一類自組織、自適應人工智能技術，是一種仿生機優(yōu)化算法。搜索算法的共同特征為： ① 首先組成一組候選解； ② 依據(jù)某些適應性條件測算這些候選解的適應度； ③ 根據(jù)適應度保留某些候選解，放棄其他候選解； ④ 對保留的候選解進行某些操作，生成新的候選解。適應度函數(shù)不僅不受連續(xù)可微的約束，而且其定義域可以任意設定。 統(tǒng)計學的研究表明，在隨機搜索中，要獲得最優(yōu)的可行解，必須保證較優(yōu)解的樣本呈指數(shù)級增長，而模式定理保證了較優(yōu)的模式 (遺傳算法的較優(yōu)解 )樣本數(shù)成指數(shù)增長，從而滿足了尋找最優(yōu)解的必要條件，即遺傳算法存在著尋找到全局最優(yōu)解的可能性。選擇的目的是把優(yōu)勝的個體直接傳到下一代或通過交叉配對再遺傳到下一代。面積分配的方式很重要，其區(qū)分能力越強則種群的進化能力越強，但是容易喪失一些基因的樣式，使種群包含的信息過于單一，搜索易陷入局部最優(yōu)點。 (Mutation) 遺傳算法中，交叉算子因其具有全局搜索能力而作為主要算子，變異算子因其具有局部搜索能力而作為輔助算子，遺傳算法通過交叉和變異這一對相互配合又相互競爭的操作而使其具備兼顧全局和局部的均衡搜索能力。此時收斂概率應取較大值。假定變量 x的定義域為 ? ?minmax xx ，編碼長度為 n，則精度占為δ : 12 minmax ??? n xx? （ 31） 一個長度為 n 的二進制串的解碼過程如下，按下 式轉換為十進制數(shù) ??? ?? 10 2nt ijb? （ 32） 按下式計算對應變量 x 的值： )(12m inm a xm in xxxx n ???? ? （ 33） 優(yōu)勝劣汰是自然進化的原則。 變異前 變異后 A： A? ： 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 變異位置 19 在遺傳算子中，最重要的算子有三種：選擇算子 (Selection Operator)，交叉算子 (Crossover Operator)和變異算子 (Mutation Operator)。當然，得到的新串不一定都能保留在下一代，需和原來的串進行比較，保留適應度大的兩個。選擇概率通過適配值來確定。 交叉概率 Pc=。 N 為群開始 隨機產(chǎn)生初始種群 編碼生產(chǎn)參數(shù)值 系統(tǒng)進行仿真 計算適應度 輸出參數(shù)值 結束 生產(chǎn)新群體 變異 交叉 選擇 是 否 是否滿足要求？ 圖 31 遺傳算法工作原理示意圖 21 體規(guī)模，即群體中所含個體的數(shù)量，當 N取值較小時可提高運算和收斂速度，但卻降低了群體多樣性，可能引起早熟現(xiàn)象；較大時含有較多模式，可提高 GAs搜索質(zhì)量，但計算量增大，收斂速度降低，一般取為 20100。在遺傳算法的實際應用中，往往需要經(jīng)過多次試算后才能確定出這些參數(shù)合理的取值大小或取值范圍。 PID 控制器的參數(shù)整定是控制系統(tǒng)設計的核心內(nèi)容。因此，比例加積分 (PI)控制器，可以使系統(tǒng)在進入穩(wěn)態(tài)后無穩(wěn)態(tài)誤差。 首先， PID 應用范圍廣。 PID 參數(shù)自整定就是為了處理 PID 參數(shù)整定這個問題而產(chǎn)生的。因為是多參數(shù)優(yōu)化問題，故需進行多參數(shù)映射編碼。初始種群的選取可以采取隨機方法進行。具體算法如下：首先系統(tǒng)只加比例環(huán)節(jié)，改變 25 Kp的值使系統(tǒng)輸出發(fā)生周期震蕩，記錄 0K (使系統(tǒng)輸出發(fā)生周期震蕩 Kp 的值 )和0T (震蕩周期 )。 交叉概率 Pc=。但是對于高階系統(tǒng)來說，沒有準確計算參數(shù)的公式可供使用。 圖 41 未加 PID倒立擺仿真模型 26 對圖未加 PID的倒立擺進行仿真得到如圖 42仿真曲線。本文的變異概率 Pm =。 遺傳算法的三個算子：選擇概率 Ps，交叉概率 Pc和變異概率 Pm。該方法產(chǎn)生的種群具有隨機性、全面性，避免了局部最優(yōu)解的問題。對應的編碼形式如下 ： 821 KpKpKp ? ——————— ＞ Kp 821 KiKiKi ? ——————— ＞ Ki 821 KdKdKd ? ——————— ＞ Kd 一般的尋優(yōu)方法在約束條件下可以求得滿足條件的一族參數(shù)，而在本設計中，則是從該族參數(shù)中尋找一個最好的。 在一些情況下針對特定的系統(tǒng)設計的 PID控制器控制得很好，但它們?nèi)源嬖谝恍﹩栴}需要解決： 如果自整定要以模型為基礎，為了 PID 參數(shù)的重新整定在線尋找和保持好過程模型是較難的。 其次， PID 參數(shù)較易整定。 PID 控制器作為最早實用化的控制器已有 50 多年歷史，現(xiàn)在仍然是應用最廣泛的工業(yè)控制器。從 PID 控制器的三個參數(shù)的作用可以看出三個參數(shù)直接影響控制效果的好壞，所以要取得較好的控制效果，就必須對比例、積分、微分三種控制作用進行調(diào)節(jié)。因此， PID 參數(shù)尋優(yōu)方法的關鍵在于采用過渡過程的系統(tǒng)性能指標函數(shù) (目標 函數(shù) )和基因差異自適應算法的遺傳算法作為最優(yōu)參數(shù)搜索策略的選擇。 cP 為交叉概率，交叉操作是遺傳算法中產(chǎn)生新個體的主要方法，所以一般取較大值，但過大容易破壞優(yōu)良基因的結構，過小產(chǎn)生新個體的速度又較慢，一般取為。本文的變異概率 Pm = 。因此，選擇概率 一般 選取 ， 交叉概率一般選取， 變異概率一般 為 ，太大會引起不穩(wěn)定，太小難以尋到全局最優(yōu)解。變異算子是改變字符串的某個位置上的字符。一般說來，通過選擇，將使適應度大即優(yōu)良的個體有較大的存在機會，而適應度小即低劣的個體繼續(xù)存在的機會也較小。 GA 用適應度函數(shù)描述每一個體的適宜程度。 從遺傳運算過程中產(chǎn)生新個體的能力方面來說，交叉運算是產(chǎn)生新個體的 主要方法，它決定了遺傳算法的全局搜索能力；而變異運算只是產(chǎn)生新個體的輔助方法，但它也是必不可少的一個運算步驟，因為它決定了遺傳算法的局部搜索能力。所謂相互競爭，是指當通過交叉已形成所期望積木塊時，變異操作有可能破壞這些積木 塊。同樣， 17 遺傳算法中起核心作用的是遺傳操作的交叉算子。 選擇過程的第一步是計算適應度。 基本遺 傳算法的實現(xiàn)技術 遺傳操作是模擬生物基因遺傳的做法。 (4)遺傳算法不是采用確定性規(guī)則，而是采用概率的變遷規(guī)則來 指導 他的搜索方向。這是遺傳算法與傳統(tǒng)優(yōu)化算法的極大區(qū)別。后來被廣泛地用于函數(shù)優(yōu)化以及其它各種優(yōu)化問題。 它是一種基于自然群體遺傳演化機制的高效搜索算法，由美國的 Holland 教授于 1975 年首先提出。 倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?x t A x t B u ty t C x t D u t??????? 其中， ?????????????100000000010A ?????????????3010B ??????? 0100 0001C ???????00D 對一級倒立擺系統(tǒng)線性狀態(tài)方程，根據(jù)定理 1和定理 2得到： rank[B AB A2 B A3B]=4 rank[C CA CA2 CA3]T=4 所以一級倒立擺系統(tǒng)是能控的和能觀測的。 圖 22 小車隔離受力分析 圖 23 擺隔離受力分析 在忽略空氣阻力，各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，分析小車水平 方向所受的合力，可以得到以下方程： NxbFxM ??? ??? （ 21）對擺桿水平方向受力分析得到以下等式： )s in(dtd 22 ?lxmN ?? （ 22） 即 ???? s inc o s ????? mlmlxmN ??? （ 23） 將式（ 23）代入式（ 21）可得系統(tǒng)第一個運動方程： FmlmlxbxmM ????? ???? s i nc o s)( 2?????? （ 24） 為了推出系統(tǒng)第二個運動方程，對擺桿垂直向上的合力進行分析可得方程： )c os(22 ?ldtdmmgP ?? （ 25） 即 ???? c o ss i n 2??? mlmlmgP ???? （ 2 6） 力矩平衡方程如下： ??? INlPl ??? c o ss in （ 27） 式中： ??? ?? ， ?? coscos ?? ， ?? sinsin ?? 合并式 （ 26） 、式 （ 27） 得第二個運動方程： 10 ??? c o ss i n)( 2 xmlm g lmlI ???? ???? （ 28） 設 ??????????（ ? 是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設 ? 與 1（單位是弧度） 相比很小，即 ? 1，則可以進行近似處理： 1cos ??? ， ?? ??sin ， 0)( 2 ?dtd?， 用 u 來代表被控對象的輸入力 F，線性化后兩個運動方程如下 ： xmlmglmlI ???? ??? ??)( 2 （ 29） umlxbxmM ???? ????)( （ 210） 對式 (210)進行拉普拉斯變換 ： 222 )()()()( ssm l Xsm g lssmlI ????? （ 211） )()()()()( 22 sUssmlssbXssXmM ????? （ 212） 整理后得到傳遞函數(shù)： sqb mg lsq mg lmIbsq mlIbssqmlsUs???????23)242)(()()( （ 213） 其中 ： ])())([( 22 mlmlImMq ???? 狀態(tài)空間方程 設系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為： BuAXX ??? ， Y=CX+Du 方 程組對 x? ,?? 解代 數(shù)方程，得到解如下： xx ??? （ 214） uMm lmMI mlIMm lmMI glmxMm lmMI bmlIx 2222222 )()()( )( ?? ??????? ??? ???? （ 215） ?? ??? （ 216） uMm lmMI mlMm lmMI mMm glxMm lmMI m l b 222 )()( )()( ????? ???? ?? ?? ??? （ 217） 整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程： uM m lmMImlM m lmMImlIxxM m lmMImMm g lM m lmMIm l bM m l