6統(tǒng)計決策與貝葉斯估計-資料下載頁
2025-01-22 07:36本頁面
【正文】 第 66頁 ?例：地質(zhì)學(xué)家把地層狀態(tài)分為 0， 1兩種，并把當(dāng)?shù)責(zé)o石油記為 ?0 ， 有石油記為 ?1，分布規(guī)律如下表 ? ? x 0 1 ?0 （無油） ?1 （有油） 參數(shù)估計 2/8/2023 第 67頁 決策空間為 A={a1,a2,a3}，其中 a1為鉆探石油，a2為出賣土地， a3為開發(fā)旅游。 損失函數(shù) L(? , a)取下表 ? a a1 a2 a3 ?0（無油） 12 1 6 ?1（有油） 0 10 5 參數(shù)估計 2/8/2023 第 68頁 決策函數(shù) d(x)取下表 (取 n=1)（ 9個決策函數(shù)） x1 d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 0 a1 a1 a1 a2 a2 a2 a3 a3 a3 1 a1 a2 a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3 參數(shù)估計 2/8/2023 第 69頁 風(fēng)險函數(shù) R(?i,dj)及最大值表 di(x1) d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 R(?0,di) 12 1 3 4 6 R(?1,di) 0 7 3 10 5 maxR(?,di) 12 10 6 參數(shù)估計 2/8/2023 第 70頁 可知： min(maxR(?,di))=， 其對應(yīng)的決策函數(shù)為 d4，所以 d4是這個統(tǒng)計決策問題的最大最小決策函數(shù)。 d4 為 ： d4(0)=a2, d4(1)=a1 即當(dāng)?shù)刭|(zhì)學(xué)家的結(jié)論是無油時出賣土地，有油時鉆探石油。 參數(shù)估計 2/8/2023 第 71頁 R(?,d)計算舉例 參數(shù)估計 2/8/2023 第 72頁 ?定理 給定一個統(tǒng)計決策問題，如果存在某個先驗分布下的貝葉斯決策函數(shù)的風(fēng)險函數(shù)是一個常數(shù)，那么該決策函數(shù)必定是這個統(tǒng)計問題的一個最大最小決策函數(shù)。 ?若給定的統(tǒng)計決策問題是參數(shù)的點估計，在定理條件下，相應(yīng)的決策函數(shù)必為參數(shù)的最大最小估計量 參數(shù)估計 2/8/2023 第 73頁 例 設(shè)總體 X~B(1, p)， p未知，服從分布 損失函數(shù)為 L(? ,d) =(? d)2 ，參數(shù) p的貝葉斯估計 為 p的最大最小估計 10,)1()()()()( 112222 ???????? ?? pppnp nnnn?又 1,0,)1(),(),1(~: 1 ??? ? xpppxppBX xx即因為解?????? ??????niiniiiixnxnixxTnpppppxqXXX11 )1()1()|(),(1121 的聯(lián)合分布密度為?即解又參數(shù)估計 2/8/2023 第 74頁 111021211111)1()()1()()1()(),()|(?????????????????????????????nniinniiniiniiniiniixnxxnxxnxppkdpppppppxmpxfxph??參數(shù)估計 2/8/2023 第 75頁 參數(shù)估計 2/8/2023 第 76頁 ?定理 給定一個貝葉斯決策問題，設(shè){?k(? ):k ≥1}為參數(shù)空間 Θ上的先驗分布列，{dk: k≥1}和 {RB(dk)}:k≥1}分別為相應(yīng)的貝葉斯估計列和貝葉斯風(fēng)險列，若 d0是 ? 的一個估計，且風(fēng)險函數(shù)滿足， 則 d0為 ? 的最大最小估計 參數(shù)估計 2/8/2023 第 77頁 ?定理 給定一個貝葉斯決策問題，若 d0是? 的一個估計，其風(fēng)險函數(shù) R(? ,d0)在參數(shù)空間 Θ上為常數(shù) ρ ，且 {?k(? ):k ≥1}為先驗分布列，使得相應(yīng)的貝葉斯估計列 {dk: k≥1}的貝葉斯風(fēng)險滿足 則 d0為 ? 的最大最小估計 參數(shù)估計 2/8/2023 第 78頁 ?例 x1, x2 , …, x n來自正態(tài)分布 N(? ,1)的一個樣本，設(shè) ? 的先驗分布 N(0 ,? 2)，其中 ? 2已知，在 01損失函數(shù)下 ? 的貝葉斯為估計 證明樣本均值是 ? 的最大最小估計 參數(shù)估計 2/8/2023 第 79頁 證明：由例 參數(shù)估計 2/8/2023 第 80頁 ?? 的貝葉斯為估計為 )]()([1)]()([1)]()([1)]()([1}{1}|{|),(222222222222)1()1(11111111??????????????????????????????????????????????nnnnnnnnnnnnFFdPdPdR?????????????????????????????????????????????參數(shù)估計 2/8/2023 第 81頁 )(22),(lim))1(())1((2)])1((1))1(([1)])1(())1(([1),(222222222222??????????????????????????????ndRnnnnnnnnnnnndR????????????????????????????????? ????????????????????????????????????))(1(2))(22()),((lim)),((lim)(lim2),(,i21nnEdREdREdRdRiii iiBi有對序列 ??參數(shù)估計 2/8/2023 第 82頁 演講完畢，謝謝觀看！
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