一、非參數(shù)經(jīng)驗貝葉斯估計-資料下載頁
2025-08-04 23:35本頁面
【正文】 d()()ed()niiniinnri xnrinnri xnrixnrxnr?????????? ? ???? ? ?????????????????????????????????11010()()ededniiniixnrxnr????????????????????????????21111121()()()()nnnriiiinnriixxnrn r n rx???????????????????????? ? ? ?????11111. ( )niinr xn r n r? ??? ?????? ? ? ? ?貝葉斯估計的誤差 在計算 ?的估計時，用到了 ?的后驗分布，因此考 察估計值與真實值之間的誤差時，也應(yīng)考慮 ?的后驗分布，誤差定義如下： 定義 參數(shù) ?的后驗分布為 h(?|x),其貝葉斯估計 2? ?()? ? ??為 ， 則 的 后 驗 期 望 為22|? ?( ) ( )xM S E E ?? ? ? ??12? ?[ ( | ) ]M S E x??稱 其 為 的 后 驗 均 方 差 ， 而 其 平 方 根|( | )xEhx??稱 為 后 驗 標(biāo) 準(zhǔn) 誤 差 ， 其 中 符 號 表 示 對 條 件 分 布求 期 望 。? ( | )Ex???1 、 當(dāng) 時 ， 則 均 方 誤 差 為2|?( | ) ( ( | ) ) v a r ( | )xM S E x E E x x?? ? ? ???后驗均方差與后驗方差的關(guān)系 ? ( | )( | ) .ExEx???? 2 、 當(dāng) 時 ， 則 均 方 誤 差 達 到 最 小 ， 因而 后 驗 均 值 是 較 好 的 貝 葉 斯 估 計 這 是 因 為2|? ?( | ) ( ( ( | ) ( ( | ) ) )xM S E x E E x E x?? ? ? ? ?? ? ?2| ?( ( | ) v a r ( | )xE E x x? ? ? ?? ? ?2?( ( | ) va r ( | ) va r ( | )E x x x? ? ? ?? ? ? ?后驗均方差與后驗方差的優(yōu)點 二者只依賴與樣本，不依賴參數(shù) ?. 二者的計算不依賴與統(tǒng)計量的分布，即抽樣分布 貝葉斯估計不考慮無偏性，因為貝葉斯估計只考慮出現(xiàn)的樣本，不考慮沒出現(xiàn)的樣本 . 貝葉斯區(qū)間估計 定義 ??當(dāng) 為 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 時 ， 給 定 1 , 當(dāng){ | }P a b x??? ? ? 1 ,[ , ] .ab ?則 稱 區(qū) 間 為 參 數(shù) 的 貝 葉 斯 區(qū) 間 估 計定義 ??當(dāng) 為 離 散 型 隨 機 變 量 時 ， 給 定 1 , 當(dāng){ | }P a b x??? ? ? 1 ,[ , ] .ab ?則 稱 區(qū) 間 為 參 數(shù) 的 貝 葉 斯 區(qū) 間 估 計定義 設(shè)參數(shù) ?的后驗分布為 h(?|x)，對給定的 12 01( , , , ) ( ) ,TnX X X X ??? ? ?樣 本 和 概 率 1 若? ? ? ?( ) ( ) ,L L U UXX? ? ? ???存 在 兩 個 統(tǒng) 計 量 ， 和 使 得1? ?{ | }LUPx? ? ? ?? ? ? ?1? ?[ , ]LU? ? ? ??則 稱 區(qū) 間 為 參 數(shù) 的 置 信 度 為 的 貝 葉 斯1?? ?置 信 區(qū) 間 ， 或 簡 稱 為 的 的 可 信 區(qū) 間 ， 而 滿 足11? ?{ | }LLPx? ? ? ? ? ?? ? ? ?的 為 的 單 側(cè) 置 信 下 限 ， 滿11? ?{ | }UUPx? ? ? ? ? ?? ? ? ?足 的 為 的 單 側(cè) 置 信 上 限 .注 貝葉斯置信區(qū)間依賴于先驗分布，不需要抽樣 分布，計算相對簡單 . 正態(tài)分布均值的貝葉斯置信區(qū)間 例 9(p137例 ) 12( , , , ) TnX X X X?設(shè) 是 來 自 正22( , )N ? ? ? ?態(tài) 總 體 的 一 個 樣 本 ， 其 中 已 知 ， 取 的22( , ) , ,N ? ? ? ?先 驗 分 布 為 正 態(tài) 分 布 參 數(shù) 已 知 ， 試??求 參 數(shù) 的 置 信 度 為 1 的 置 信 區(qū) 間 .解 首先計算參數(shù) ?的后驗分布 ( | ) π ( ) ( | ) π ()( | )() ( | ) π ( ) dq x q xhxmx qx? ? ? ??? ? ????????222 2100222 21001 1 1 122221 1 1 12222e x p { ( ) } e x p { ( ) }()e x p { ( ) } e x p { ( ) } d()ninininixx? ? ??? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ???????? ? ? ??? ? ? ????22221100222211001 1 1 1221 1 1 122e x p { [ ( ) ( ) }()e x p { [ ( ) ( ) } d()ninnininnixx? ? ???? ? ?? ? ? ???? ? ?????? ???? ? ? ??? ? ? ????22202 2 1 2 2 2002 2 10122()()e x p { }()x ? ? ??? ? ? ??????? ? ? ? ?? ? ????????由此可見 222 2 100220| ( , ( ) )xxN ? ? ?? ? ?????? ? ???? ??2202202 2 1 2001( , )()xN? ? ??????????? ? ?????于是可得 2202202 2 1 20 21{}()xPu?? ? ???????????? ? ????? ? ??置信區(qū)間為 22 2 2 1 200220 2[ ( ) ]x u ?? ? ? ??????? ? ???? ???例 10(p138例 ) 對某兒童進行智力測驗，設(shè)測驗 結(jié)果服從 N(?,100),其中 ?為心理學(xué)中兒童的智商， ?的 先驗分布為 N(100,225),試求 ?的置信為 置信區(qū)間 . 解 將相關(guān)數(shù)據(jù)代入上述置信區(qū)間公式可得： ?的 置信度為 [, ] 而用表 （不用先驗分布）可得 ?的 置信度為 置信區(qū)間為 [, ] 作 業(yè) 習(xí)題四 p146 5， 6， 7， 8， 9， 10 1
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