【正文】 個(gè)因素要兩兩比較），保證 A是正互反矩陣是較容易辦到的， 但要求所有比較結(jié)果嚴(yán)格滿(mǎn)足一致性，在 n較大時(shí)幾乎可以說(shuō)是無(wú)法辦到的，其中多少帶有一定程度的非一致性。 更何況比較時(shí)采用了1~9標(biāo)度，已經(jīng)接受了一定程度的誤差，就不應(yīng)再要求最終判斷矩陣的嚴(yán)格一致性。如何檢驗(yàn)構(gòu)造出來(lái)的（正互反）判斷矩陣 A是否嚴(yán)重地非一致，以便確定是否接受 A，并用它作為進(jìn)一步分析研究的工具？ Saaty等人在研究正互反矩陣和一致矩陣性質(zhì)的基礎(chǔ)上，找到了解決這一困難的辦法，給出了確定矩陣 A中的非一致性是否可以允忍的檢驗(yàn)方法。 (12nn? ） 定理 正互反矩陣 A的最大特征根 λmax必為正實(shí)數(shù)，其對(duì)應(yīng)特征向量的所有分量均為正實(shí)數(shù)。 A的其余特征根的模均嚴(yán)格小于 λmax。（證明從略） 現(xiàn)在來(lái)考察一致矩陣 A的性質(zhì)，回復(fù)到將單位重量的大石塊剖分成重量為 1,…, n的 n塊小石塊的例子，如果判斷者的判斷結(jié)果完全一致，則構(gòu)造出來(lái)的一致矩陣為 ?1 1 1122 2 21212nnn n nnA? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ????????????????????????容易看出，一致矩陣 A具有以下性質(zhì)： 根據(jù)定理 ，我們可以由 λmax是否等于 n來(lái)檢驗(yàn)判斷矩陣 A是否為一致矩陣。由于特征根連續(xù)地依賴(lài)于 aij，故 λmax比 n大得越多， A的非一致性程度也就越為嚴(yán)重， λmax對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量也就越不能真實(shí)地反映出 X={x1,…, xn}在對(duì)因素 Z的影響中所占的比重。因此，對(duì)決策者提供的判斷矩陣有必要作一次一致性檢驗(yàn)，以決定是否能接受它。 為確定多大程度的非一致性是可以允忍的， Saaty等人采用了如下辦法： （ 1）求出 ，稱(chēng) CI為 A的一致性指標(biāo)。 m a x 1 nCI n? ?? ?容易看出，當(dāng)且僅當(dāng) A為一致矩陣時(shí)， CI = 0。 CI的值越大， A的非一致性越嚴(yán)重。 利用線(xiàn)性代數(shù)知識(shí)可以證明， A的 n個(gè)特征根之和等于其對(duì)角線(xiàn)元素之和（即 n）故 CI事實(shí)上是 A的除 λmax以外其余 n－ 1個(gè)特征根的平均值的絕對(duì)值。若 A是一致矩陣，其余 n－ 1個(gè)特征根均為零，故CI=0；否則， CI0，其值隨 A非一致性程度的加重而連續(xù)地增大。當(dāng)CI略大于零時(shí)（對(duì)應(yīng)地， λmax稍大于 n）， A具有較為滿(mǎn)意的一致性；否則， A的一致性就較差。 （ 2）上面定義的 CI值雖然能反映出非一致性的嚴(yán)重程度，但仍未能指明該非一致性是否應(yīng)當(dāng)被認(rèn)為是可以允許的。事實(shí)上，我們還需要一個(gè)度量標(biāo)準(zhǔn)。為此， Saaty等人又研究了他們認(rèn)為最不一致的矩陣 ——用從 1~9及其倒數(shù)中隨機(jī)抽取的數(shù)字構(gòu)造的正互反矩陣，取充分大的子樣，求得最大特征根的平均值 ， 并定義 max??m a x1nRIn? ? ???稱(chēng) RI為 平均隨機(jī)一致性指標(biāo) 。 對(duì) n =1,…,11, ， Saaty給出了 RI的值，如表 。 表 N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI 0 0 （ 3）將 CI與 RI作比較，定義 CICRRI?稱(chēng) CR隨機(jī)一致性比率。經(jīng)大量實(shí)例比較， Saaty認(rèn)為，在 CR認(rèn)為判斷矩陣具有較為滿(mǎn)意的一致性，否則就應(yīng)當(dāng)重新調(diào)整判斷矩陣，直至具有滿(mǎn)意的一致性為止。綜上所述，在步 3中應(yīng)先求出 A的最大特征根 λmax及 λmax對(duì)應(yīng)的特征向量 W=（ w1,…, w n） T，進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化， 使得 。 再對(duì) A作一致性檢驗(yàn)：計(jì)算 ， 查表得到對(duì)應(yīng)于 n的 RI值，求 ， 若 CR，則一致性較為滿(mǎn)意 ，以 i作為因子 xi在上層因子 Z中所具有的權(quán)值。否則必需 重新作比較，修正 A中的元素 。只有在一致性較為滿(mǎn)意時(shí)， W的分量才可用作層次單排序的權(quán)重。 1???niiw m a x 1 nCI n? ?? ?CICR RI?? 現(xiàn)對(duì)本節(jié)例 （即合理利用利潤(rùn)問(wèn)題的例子）進(jìn)行層次單排序。 為求出 C C C3在目標(biāo)層 A中所占的權(quán)值，構(gòu)造 O－ C層的成對(duì)比較矩陣，設(shè)構(gòu)造出的成對(duì)比較判斷知陣 A= 111535 1 31313?????????????? 3 1 1 1 5 3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 0 1于是經(jīng)計(jì)算， A的最大特征根 λmax=， CI=，查表得 RI = ，故 CR = 。因 CR，接受矩陣 A，求出 A對(duì)應(yīng)于 λmax的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量 W= ( , ， )T，以 W的分量作為 C C C3在目標(biāo) O中所占的權(quán)重。 類(lèi)似求措施層中的 P P2在 C1中的權(quán)值， P P3在 C2中的權(quán)值及 P P2在 C1中的權(quán)值： 1 P2 3 1 P1 P2 P1 C1 1 3 λmax=2， CI = CR = 0 W = (, )T 1 5 P3 1 P2 P3 P2 C2 1 5 λmax=2， CI = CR = 0 W = (, )T 1 P2 2 1 P1 P2 P1 C3 1 2 λmax=2， CI = CR = 0 W = (, )T 經(jīng)層次單排序，得到圖 。 合理利用企業(yè)利潤(rùn) 調(diào)動(dòng)職工積極性 C1 提高企業(yè)技術(shù)水平 C2 改善職工工作生活條件 C3 發(fā)獎(jiǎng)金 P1 擴(kuò)建福利 事業(yè) P2 引進(jìn)新設(shè)備 P3 目標(biāo)層 O 準(zhǔn)則層 C 措施層 P 設(shè)上一層次（ A層）包含 A1,…, Am共 m個(gè)因素，它們的層次總排序權(quán)值分別為 a1,…, am。又設(shè)其后的下一層次（ B層）包含 n個(gè)因素 B1,…, Bn，它們關(guān)于 Aj的層次單排序權(quán)值分別為 b1j,…, bnj（當(dāng) Bi與 Aj無(wú)關(guān)聯(lián)系時(shí)， bij = 0）?，F(xiàn)求 B層中各因素關(guān)于總目標(biāo)的權(quán)值，即求 B層各因素的層次總排 序權(quán)值 b1,…, bn，計(jì)算按表 ,即 ， i =1,…, n。 1mi ij jjb b a?? ?表 bn m … bn2 bn1 Bn … … … … … … B2 m … b22 b21 B2 B1m … b12 b11 B1 B層總排序權(quán)值 Am A m … … A2 a 2 A1 a1 層 A 層 B ??mj jjab1 1?mj jjab1 2??mj jnjab1步 4 層次總排序及一致性檢驗(yàn) 最后，在步驟（ 4）中將由最高層到最低層，逐層計(jì)算各層次中的諸因素關(guān)于總目標(biāo)（最高層）的 相對(duì)重要性權(quán)值 。 例如，對(duì)于前面考察的工廠合理利用留成利潤(rùn)的例子，措施層層次單排序權(quán)值的計(jì)算如表 。 層 C 層 P C1 C2 C3 層 P的總排序權(quán)值 P1 0 P2 P3 0 0 對(duì)層次總排序也需作一致性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)仍象層次總排序那樣由高層到低層逐層進(jìn)行。這是因?yàn)殡m然各層次均已經(jīng)過(guò)層次單排序的一致性檢驗(yàn)，各成對(duì)比較判斷矩陣都已具有較為滿(mǎn)意的一致性。但當(dāng)綜合考察時(shí)，各層次的 非一致性仍有可能積累起來(lái)，引起最終分析結(jié)果較嚴(yán)重的非一致性。 設(shè) B層中與 Aj相關(guān)的因素的成對(duì)比較判斷矩陣在單排序中經(jīng)一致性檢驗(yàn)，求得單排序一致性指標(biāo)為 CI(j)， (j =1,…, m)，相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)為 RI(j) (CI(j)、 RI(j)已在層次單排序時(shí)求得 )，則 B層總排序隨機(jī)一致性比率為 CR = 11()()mjjmjjC I j aRI j a????當(dāng) CR 時(shí)， 認(rèn)為層次總排序結(jié)果具有較滿(mǎn)意的一致性并接受該分析結(jié)果。 對(duì)于表 P層總排序，由于 C—P層間的三個(gè)判斷矩陣的一致性指標(biāo)（即 CI(j)， j=1， 2， 3）均為 0，故 P層總排序的隨機(jī)一致性比率 CR=0，接受層次分析結(jié)果，將留成利潤(rùn)的 %用于發(fā)獎(jiǎng)金， %用于擴(kuò)建福利事業(yè)，余下的 %用于引進(jìn)新技術(shù)新設(shè)備。 三、層次分析法應(yīng)用舉例 在應(yīng)用層次分析法研究問(wèn)題時(shí)，遇到的主要困難有兩個(gè)：（ 1）如何根據(jù)實(shí)際情況 抽象 出較為貼切的層次結(jié)構(gòu)；（ 2）如何將某些定性的量作比較 接近實(shí)際 的定量化處理。 層次分析法對(duì)人們的思維過(guò)程進(jìn)行了加工整理，提出了一套系統(tǒng)分析問(wèn)題的方法，為科學(xué)管理和決策提供了較有說(shuō)服力的依據(jù)。但層次分析法也有其局限性，主要表現(xiàn)在：（ 1）它在很大程度上 依賴(lài)于人們的經(jīng)驗(yàn) ，主觀因素的影響很大，它至多只能排除思維過(guò)程中的嚴(yán)重非一致性（即矛盾性），卻無(wú)法排除決策者個(gè)人可能存在的嚴(yán)重片面性。（ 2）比較、判斷過(guò)程 較為粗糙 ，不能用于精度要求較高的決策問(wèn)題。 AHP至多只能算是一種 半定量（或定性與定量結(jié)合）的方法 ，如何用更科學(xué)、更精確的方法來(lái)研究問(wèn)題并作出決策，還有待于進(jìn)一步的探討研究。 在應(yīng)用層次分析法時(shí)，建立層次結(jié)構(gòu)模型是十分關(guān)鍵的一步?，F(xiàn)再分析若干實(shí)例，以便說(shuō)明如何從實(shí)際問(wèn)題中抽象出相應(yīng)的層次結(jié)構(gòu)。