【正文】 示，否則 R的元素為一兩維矢量。 為了穩(wěn)妥，雙方都應(yīng)考慮到對方有使自己損失最大的動機，在最壞的可能中爭取最好的結(jié)果 。如果 A采取策略 2，無論 B采取什么策略， A的贏得均不會少于 2. ? B采取各方案的最大損失為 max {12,14, － 6}=14， max {－ 6,2,0}=2， max {30,18, － 10}=30和 max {－ 22,10,16} =16。注意到在贏得矩陣中， 2既是 所在行中的最小元素又是所在列中的最大元素 。若純局勢（ ）使得 ，則稱（ ）為對策 G的鞍點或穩(wěn)定解，贏得矩陣中與（ ）相對應(yīng)的元素 稱為贏得矩陣的鞍點， 與 分別稱為局中人 A與 B的最優(yōu)策略。給定一個對策 G，如何判斷它是否具有鞍點呢？為了回答這一問題，先引入下面的極大極小原理。 定理 零和對策 G具有 穩(wěn)定解的充要條件 為 μ +ν = 0。故有 apq≥ μ 且 apq≤ － ν 又因 μ +ν = 0，所以 μ =－ ν ，從而得出 apq=μ ， apq為贏得矩陣的鞍點，（ p, q）為 G的穩(wěn)定解。故有 ?? m a x m in m inij pj pqjji a a a? ? ? ?m in m a x m a xij iq pqj iia a a?? ? ? ?從而可得 μ +ν ≥0 ，但根據(jù)定理 ， μ +ν ≤0 必成立，故必有 μ +ν =0。當(dāng)對策問題有解時， 其解可以不唯一 。 一般又可以證明。若（ , ）與（ , ）同為對策 G的解，則必有 。若（ , j1）、（ , j2）均為對策 G的解， 則（ , j2）和（ , j1）也必為 G的解。 具有穩(wěn)定解的零和對策問題是一類特別簡單的對策問題，它所對應(yīng)的贏得矩陣存在鞍點，任一局中人都不可能通過自己單方面的努力來改進結(jié)果。由于贏得矩陣中不存在鞍點，至少存在一名局中人，在他 單方面改變策略的情況下，有可能改善自己的收益 。若雙方都采取保守的 max min原則， 將會出現(xiàn)純局勢 （ 4, 1）或 （ 4, 3）。例如，如果 B采用策略 1，而 A改換策略 1，則 A可收益 3。此時，在只使用純策略的范圍內(nèi)，對策問題無解。但如果這類決策要反復(fù)進行多次，則局中人固定采用一種策略顯然是不明智的，因為一旦對手看出你會采用什么策略，他將會選用對自己最為有利的策略。 ?? ???? 設(shè) A方用概率 xi選用策略 i， B方用概率 yj選用策略 j， ， 且雙方每次選用什么策略是隨機的，不能讓對方看出規(guī)律， 111mnijij????????? ?記 X = (x1, …, xm)T， Y = (y1, …, yn)T，則 A的期望贏得為 E ( X,Y) = XTRY 其中， R為 A方的贏得矩陣 。 對于需要使用混合策略的對策問題，也有具有穩(wěn)定解的對策問題的類似結(jié)果。 m a x m inT T TxyX R Y X R Y x R Y??XY定理 （ Von Neumann）任意混合策略對策問題必存在鞍點，即必存在概率向 量和，使得： （證明從略）。 對于雙方均只有兩種策略的對策問題（即 22對策），可按幾何方法求解。 但當(dāng) m2且 n2時，采用幾何方法求解就變得相當(dāng)麻煩， 此時通常采用 線性規(guī)劃 方法求解。 記 ，由于 ， 在 yk=1， yj=0 （ j≠k）時達到最大值 u， m a xKjju E E?1 1njjy???1m a x n jjyjEy?? 故 應(yīng)為線性規(guī)劃問題 X 1nij iia x u???min u , j=1, 2, …, n (即 Ej≤Ek) 11m iix??xi≥0, i =1,2,…, m 的解。 由線性規(guī)劃知識，（ ）與（ ）互為對偶線性規(guī)劃，它們具有相同的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值。 為了尋找例 A方的最優(yōu)混合策略，求解線性規(guī)劃 min u + x2 ≤u x1 + ≤u x1 + x2 = 1 x1 , x2 ≥0 可得最優(yōu)混合策略 x1 =, x2 =。 三、非零和對策 除了零和對策外，還存在著另一類對策問題，局中人獲利之和并非常數(shù)。 表 B方 A方 1 2 3 1 2 3 4 （ 8,2） （ 3,4） （ 1,6） （ 4,2） （ 0,9） （ 9,0） （ 6,2） （ 4,6） （ 7,3） （ 2,7） （ 8,1） （ 5,1） 假如 A、 B雙方仍采取穩(wěn)妥的辦法， A發(fā)現(xiàn)如采取策略 4，則至少可獲利4，而 B發(fā)現(xiàn)如采取策略 1，則至少可獲利 2。 容易看出，從整體上看，結(jié)果并不是最好的，因為雙方的總獲利有可能達到 10?？磥?，對這一對策問題，雙方最好還是握手言和，相互配合，先取得總體上的最大獲利，然后再按某一雙方均認為較為合理的方式來分享這一已經(jīng)獲得的最大獲利。當(dāng)然，這里還存在著一個留待解決而又十分關(guān)鍵的問題：如何分享總獲利，如果不能達到一個雙方（或各方）都能接受的 “公平 ”的分配原則，則合作仍然不能實現(xiàn)。 最后，我們來考察幾個對策問題的實例。美軍第一軍和英軍的行動直接威脅到德軍第九軍。 美軍方面的指揮官是 Bradley將軍，德軍指揮官是 Von Kluge將軍。 Bradley將軍的問題是如何調(diào)動他的后備軍，后備軍駐扎在海峽南部。 雙方應(yīng)如何決策，使自己能有較大的機會贏得戰(zhàn)爭的勝利呢？ 由于兩軍作戰(zhàn)并非可以反復(fù)進行的對策問題，看來最大的可能是美軍采取策略 3而德軍采取策略 2，即美方后備軍待命而德軍第九軍東撤。但正當(dāng)?shù)萝姷诰跑妱傞_始東撤時，突然接到了希特勒的命令要他們向西進攻，從而失去了他們有可能取得的最佳結(jié)局，走上必然滅亡的道路。 ?? 167。此時，需要決策者 根據(jù)已知信息作決策，即選擇出最佳的行動方案，這樣的問題稱為決策問題 。 狀態(tài) 是客觀存在的，是不可控因素。 例 在開采石油時，會遇到是否在某處鉆井的問題。設(shè)根據(jù)經(jīng)驗和勘探資料，決策者已掌握一定的信息并列出表 。 ???決策問題按自然狀態(tài)的不同情況，常被分為三種類型：確定型、風(fēng)險型（或隨機型）和不確定型。這種決策問題的結(jié)構(gòu)較為簡單，決策者只需比較各種方案，確定哪一方案最優(yōu)即可。確定型決策的求解并非全是簡單的，但由于這些問題一般均有其自己的專門算法，本節(jié)不準(zhǔn)備再作介紹。 一、風(fēng)險型決策問題 在風(fēng)險型決策問題中存在著兩種以上可能出現(xiàn)的自然狀態(tài)。例如，例 。如對例 1，分別求出方案 1（鉆井）和 2（不鉆井）的期望收益值： ??E（ 1） =（－ 30） +20 + 40 = 16（萬元） E（ 2） =0 由于 E（ 1）＞ E（ 2），選取 1作為最佳策略。 例 某工程按正常速度施工時，若無壞天氣影響可確保在 30天內(nèi)按期完工。有 40%的可能會出現(xiàn)陰雨天氣而不影響工期，在 50%的可能會遇到小風(fēng)暴而使工期推遲 15天，另有 10%的可能會遇到大風(fēng)暴而使工期推遲 20天。 （ 2）先按正常速度施工， 15天后根據(jù)實際出現(xiàn)的天氣狀況再作決策。 如遇到小風(fēng)暴，有兩個備選方案：（ i）維持正常速度施工，支付工程延期損失費 20230元。實施此應(yīng)急措施有三種可能結(jié)果：有 50%可能減少誤工期 1天，支付應(yīng)急費用和延期損失費共 24000元；有 30%可能減少誤工期 2天，支付應(yīng)急費用和延期損失費共 18000元；有20%可能減少誤工期 3天，支付應(yīng)急費用和延期損失費共 12023元。（ ii）采取應(yīng)急措施。 根據(jù)上述情況，試作出最佳決策使支付的額外費用最少。 本例要求作多次決策，工程初期應(yīng)決定是按正常速度施工還是提前緊急加班。為便于分析和決策，采用決策樹方法。 ○表示機會節(jié)點，從它分出的分枝稱為概率分枝，一條概率分枝對應(yīng)一條自然狀態(tài)并標(biāo)有相應(yīng)的發(fā)生概率。 在決策樹上由右向左計算各機會節(jié)點處的期望值，并將結(jié)果標(biāo)在節(jié)點旁。 （ 3）計算第二級機會節(jié)點 B處的效益期望值 E(B) = 0＋ （－ 19800）＋ （－ 50000） =－ 14900 并將－ 14900標(biāo)在 B點旁。 結(jié)論 最佳決策為前 15天按正常速度施工， 15天后按實際出現(xiàn)的天氣狀況再作決定。 根據(jù)期望值大小決策是隨機型決策問題最常用的辦法之一。 二、不確定型決策問題 只知道有幾種可能自然狀態(tài)發(fā)生，但各種自然狀態(tài)發(fā)生的概率未知的決策問題稱為不確定型決策問題，由于概率未知，期望值方法不能用于這類決策問題。 例 設(shè)存在五種可能的自然狀態(tài)，其發(fā)生的概率