【正文】 10%可能減少誤工期 4天，支付應(yīng)急費(fèi)和誤工費(fèi)共 38000元。（ ii）采取應(yīng)急措施。對于可能出現(xiàn)的情況，考慮兩種方案： （ 1）提前緊急加班，在 15天內(nèi)完成工程，實(shí)施此方案需增加開支 18000元。 ??? 對于較為復(fù)雜的決策問題，尤其是需要作多階段決策的問題，常采用較直觀的決策樹方法，但從本質(zhì)上講， 決策樹方法 仍然是一種期望值法。決策者不知道究竟會出現(xiàn)哪一種狀態(tài)， 但知道各種狀態(tài)出現(xiàn)的概率有多大 。值得一提的是策略集也可以是無限集，例如，線性規(guī)劃就可行看成一個(gè)策略集是限集的確定型決策，問題要求決策者從可行解集合（策略集）中挑選出最優(yōu)解。 表 0 0 0 不鉆井（ 2） 40 20 － 30 鉆井（ 1） P( 3) = P( 2) = P( 1) = （億元） 高產(chǎn)油井（ 3） 一般（ 2） 無油（ 1） 自然狀態(tài) 概率 收益 方案 ????問：決策者應(yīng)如何作出決策？ 解：由題意可以看出，決策問題應(yīng)包含三方面信息：狀態(tài)集合 Q={ 1,…, n}、策略集合 A = { 1,…, m}及收益 R = {aij}，其中 aij表示如果決策者選取策略 i而出現(xiàn)的狀態(tài)為 j，則決策者的收益值為 aij（當(dāng) aij為負(fù)值時(shí)表示損失值）?？晒┻x擇的行動方案叫做策略 ，這是可控因素，選擇哪一方案由決策者決定。 決策問題 人們在處理問題時(shí)，常常會面臨幾種可能出現(xiàn)的自然情況，同時(shí)又存在著幾種可供選擇的行動方案。事實(shí)上，當(dāng)時(shí)雙方指揮官正是這樣決策的，如果真能實(shí)行，雙方勝負(fù)還難以料定。 Von Kluge將軍面臨的問題是或者向西進(jìn)攻，加強(qiáng)他的西部防線，切斷美軍援助；或者撤退到東部，占據(jù)塞那河流域的有利地形，并能得到德軍第十五軍的援助。 例 （戰(zhàn)例分析） 1944年 8月，美軍第一軍和英軍占領(lǐng)法國諾曼第不久，立即從海防前線穿過海峽，向 Avranches進(jìn)軍。 例 ，總獲利數(shù)并非常數(shù)的對策問題（即不能轉(zhuǎn)化為零和對策的問題），是一類存在著合作基礎(chǔ)的對策問題。因而，這種求穩(wěn)妥的想法將導(dǎo)至出現(xiàn)局勢（ 4， 2）。類似求解線性規(guī)劃 max υ +y2 ≤υ y1 + ≥υ y1 +y2 =1 y1 , y2 ≥0 可得 B方最優(yōu)混合策略： y1 =, y2 =。 同理， 應(yīng)為線性規(guī)劃 Y 1nij ii ay ?? ??max ν , i=1, 2, …, m 11n ijy??yj≥0, i =1,2,…, n 的解。 借助幾何方法也可以解 m2或 2n的使用混合策略的對策問題。 定義 若存在 m維概率向量和 n維概率向量，使得對一切 m維概率向量 X和 n 維概率向量 y有 則稱（ , ）為混合策略對策問題的鞍點(diǎn)。這時(shí)，局中人均應(yīng)根據(jù) 某種概率來選用各種策略，即采用混合策略的辦法，使自己的期望收益盡可能大 。但此時(shí)若 B改換策略 2，又會使 A輸?shù)?4， …… 。例如，考察（ ）中的贏得矩陣 R。 1i? 2i?1i??2i?定理 ，作為習(xí)題留給讀者自己去完成。 ???????? 定理 對策問題的解具有下列性質(zhì)： （ 1）無差別性。 上述定理給出了對策問題有穩(wěn)定解（簡稱為解）的充要條件。 證明： （充分性） 由 μ 和 ν 的定義可知，存在一行（例如 p行） μ為 p行中的最小元素且存在一列（例如 q列），－ ν 為 q列中的最大元素。 m a x m in m in m a xij ij Gjjiia a V?**,ij?? **in m a xi j ij Gj ja a V??**,ij??,**ija *i?*j?對（ ）式中的贏得矩陣，容易發(fā)現(xiàn)不存在具有上述性質(zhì)的鞍點(diǎn)。當(dāng) B采取策略 2時(shí)，其損失不會超過 2。 故兩人對策 G又可稱為矩陣對策并可簡記成 G = { SA, SB, R } 例 給定 G = { SA, SB, R}，其中 SA = { 1, 2, 3}， SB = { 1, 2, 3, 4} ???1 2 3 4123 12 6 30 2214 2 18 106 0 10 16R? ? ? ?????????????????從 R中可以看出，若 A希望獲得最大贏利 30，需采取策略 1，但此時(shí)若 B采取策略 4， A非但得不到 30，反而會失去 22。 在有些兩人對策的贏得表中， A之所得并非明顯為 B之所失，但雙方贏得數(shù)之和為一常數(shù)。 二、零和對策 存在一類特殊的對策問題。記局中人集合為 I = {1,…, k}，對每一 i∈ I，有一策略集合 Si，當(dāng) I中每一局中人 i選定策略后得一個(gè)局勢 s；將 s代入贏得函數(shù) F，即得一矢量 F(s) = ( F1(s),…, Fk(s))，其中 Fi(s)為在局勢 s下局中人 i的贏得（或支付）。 ???????( m, n) … ( m, j) … ( m, 2) ( m, 1) m … … … … … … … ( i, n) … ( i, j) … ( i, 2) ( i , 1) i … … … … … … … ( 2, n) … ( 2, j) … ( 2, 2) ( 2, 1) 2 ( 1, n) … ( 1, j) … ( 1, 2) ( 1, 1) 1 A的策略 n … J … 2 1 B的策略 ?????????????????? ?? （ 3） 贏得函數(shù)（或稱支付函數(shù)）。 例如 ，若一對策中包含 A、 B兩名局中人，其策略集合分別為SA = { 1,…, m}， SB = { 1,…, n}。策略集合可以是有限集也可以是 無限集 。對策問題中，對應(yīng)于每一局中人存在著一個(gè)策略集合，而每一策略集合中 至少要有兩個(gè) 策略，否則該局中人可從此對策問題中刪去，因?yàn)閷λ麃碇v，不存在選擇策略的余地。兩名疑犯最終如何判刑取決于他們各自采取的態(tài)度，警方不能為他們做出選擇。如果兩名疑犯均擔(dān)心對方供認(rèn)并希望受到最輕的懲罰，最保險(xiǎn)的辦法自然是承認(rèn)制造了偽幣。 例 （石頭 — 剪子 — 布） 這是一個(gè)大多數(shù)人小時(shí)候都玩過的游戲。 先考察幾個(gè)實(shí)際例子。因而雙方或各方都要根據(jù)不同情況、不同對手做出自己的決擇，此時(shí)的決策稱為對策。第八章 對策與決策模型 浙江大學(xué)城市學(xué)院 第八章 對策與決策模型 對策與決策是人們生活和工作中經(jīng)常會遇到的擇優(yōu)活動。這時(shí)競爭雙方或各方都要發(fā)揮自己的優(yōu)勢，使己方獲得最好結(jié)果。 對策問題 對策問題的特征是參與者為利益相互沖突的各方，其結(jié)局不取決于其中任意一方的努力而是各方所采取的策略的綜合結(jié)果。田忌的朋友孫臏給他出了一個(gè)主意，讓他用下等馬比齊王的上等馬，上等馬對齊王的中等馬，中等馬對齊王的下等馬，結(jié)果田忌二勝一敗，反而贏了一千金。將嫌疑犯 A、 B被判刑的幾種可能情況列表如下 ： 表 嫌疑犯 B 供認(rèn) 不供認(rèn) 嫌疑犯 A 供認(rèn) 不供認(rèn) （ 3， 3） （ 0， 7） （ 7， 0） （ ， ） 表中每對數(shù)字表示嫌疑犯 A、 B被判刑的年數(shù)。 局中人必須要擁用可供其選擇并影響最終結(jié)局的策略 ，在例 ，局中人是 A、 B兩名疑犯，警方不是局中人。 局中人能采取的可行方案 稱為策略，每一局中人可采取的 全部策略 稱為此局中人的策略集合。當(dāng)然，有時(shí)可將它看成一個(gè)多階段對策中的子對策。當(dāng)對策問題各方都從各自的策略集合中選定了一個(gè)策略后，各方采取的策略全體可用一矢量 S表示，稱之為一個(gè) 純局勢（簡稱局勢） 。對策問題的全體純局勢構(gòu)成的集合 S稱為此對策問題的局勢集合。綜上所述，一個(gè)對策模型由 局中人、策略集合和贏得函數(shù) 三部分組成。例如，表 給出了例 。例如若A有 m種策略， B有 n種策略，贏得矩陣 11 12 121 22 212nnmnm m m na a aa a aRa a a????????????表示若 A選取策略 i而 B選取策略 j，則 A之所得為 aij（當(dāng) aij0時(shí)為支付）。綜上所述，當(dāng)遇到零和對策或可轉(zhuǎn)化為零和對策的問題時(shí)， R可用通常意義下的矩陣表示，否則 R的元素為一兩維矢量。如果 A采取策略 2，無論 B采取什么策略， A的贏得均不會少于 2. ? B采取各方案的最大損失為 max {12,14, － 6}=14， max {－ 6,2,0}=2， max {30,18, － 10}=30和 max {－ 22,10,16} =16。若純局勢（ ）使得 ，則稱（ ）為對策 G的鞍點(diǎn)或穩(wěn)定解，贏得矩陣中與（ ）相對應(yīng)的元素 稱為贏得矩陣的鞍點(diǎn)， 與 分別稱為局中人 A與 B的最優(yōu)策略。 定理 零和對策 G具有 穩(wěn)定解的充要條件 為 μ +ν = 0。故有 ?? m a x m in m inij pj pqjji a a