【正文】 加權(quán) 總評 張三 85 86 95 李四 78 98 80 王五 100 72 90 權(quán)重 實例（評三好學(xué)生） 11x12x13x21x 22x23x31x 32x33x1w2w3w11 , 1 , 2 , 3 。ni ijjs x in????1 , 1 , 2 , 3jn wwi ijjs x i????X=[85 86 95 78 98 80 100 72 90]。 mean(X39。) ans = Y=X*diag([ ]) Y = geomean(Y39。) ans = 一、多屬性決策問題 道德品質(zhì) （百分制） 學(xué)習(xí)成績 （百分制） 體育 （十分制） 總評 加權(quán)總評 張三 85 86 9 ？ ？ 李四 78 98 8 ？ ？ 王五 100 72 6 ？ ？ 權(quán)重 1) 既有百分制，又有十分制，如何給出總評分?jǐn)?shù)？ 2）如何給出加權(quán)總評分?jǐn)?shù)（集結(jié)）？ 3）既有效益型屬性，又有成本型屬性，怎么辦？ 一、多屬性決策問題 道德品質(zhì) （百分制） 學(xué)習(xí)成績 （百分制） 體育 （十分制） 總評 加權(quán)總評 張三 95 86 9 ？ ？ 李四 95 98 8 ？ ？ 王五 95 72 6 ？ ？ 權(quán)重 4) 若知道 3個指標(biāo)有不同重要，如何給出權(quán)重？ 設(shè)： 是給定的決策矩陣。 1 11 12 12 21 22 212()nnij m nm m m m nA x x xA x x xXxA x x x??????????{ 1 , , 2 , , }i M m??12 nu u u{ 1 , , 2 , ,j N n??單位不統(tǒng)一，屬性多樣化，要進(jìn)行屬性值的標(biāo)準(zhǔn)化處理。 設(shè)： 1 11 12 12 21 22 212()nnij m nm m m m nA x x xA x x xXxA x x x??????????12 nu u uThese column vectors satisfy: (1) The minimum value is 0。 (2) The maximum value is 1。 (3) All values are contained in [0,1]。 (4) The larger the value, the better the attribute. ,m a xijijijixyx?,i M j N??若屬性值為效益型，則令 若屬性值為 成本型 ，則令 m i n,ijiijijxyx? ,i M j N,m a xijijijixyx?若屬性值為效益型，則令 若屬性值為 成本型 ，則令 1,m a xijijijixyx??,i M j N??,i M j N若屬性值為效益型，則令 m in,m a x m inij ijiijij ijiixxyxx???若屬性值為 成本型 ，則令 m a x,m a x m inij ijiijij ijiixxr???,i M j N??,i M j N1,ijij mijixyx???若屬性值為效益型，則令 若屬性值為 成本型 ，則令 11,ijij mijixyx????,i M j N??,i M j N21,ijijmijixyx???若屬性值為效益型，則令 若屬性值為 成本型 ，則令 211,ijijmijixyx????,i M j N??,i M j N設(shè)： 12( , , , )na a a? ?和 12( , , , )nb b b? ?是兩個 n維向量，則 到 的投影為： 投影的困惑： 121P r ( )||mjjjmjjoj ??????????????????P r ( )oj? ?準(zhǔn)則：較大的投影 ， 越接近于 。 P r ( )oj? ?????設(shè)： 12( , , , )na a a? ?和 12( , , , )nb b b? ?是兩個 n維向量，則 到 的投影為： 投影的困惑： 121P r ( )||mjjjmjjoj ??????????????????P r ( )oj? ???然而，下面的例子說明本 討論 的必要性。 121P r ( )||mjjjmjjoj ??????????????例 1: 假設(shè) ， 是 2個向量，則 P r ( ) 2 ,oj ? ? ?(2,1)? ? (1, 0)? ? 2,?? ?| | 1? ?,我們有 P r ( ) ? ? ?在這種情況下， P r ( ) P r ( ) .oj oj?????依據(jù)式 (1) 的結(jié)論， 接近于 的程度大于 接近于 的 程度。然而，由于 , 應(yīng)該更接近于自身而不是 。 (1) ????????1221P r ( )||mjjjmjjR oj ??????????????(2) 2||?? ???由于 ，所以從式 (2)能看出：當(dāng) 越接近于 時， 投影 越 接近于 1。 ???P r ( )R oj ? ?式 (2) 中“投影 接近于 1”是“ 接近于 ”的 必要條件，但不是充分條件。 P r ( )R oj ? ?假設(shè) 1221P r ( )||mjjjmjjR oj ??????????????(2) (1,1)? ??假設(shè) (1, 0)? ?假設(shè) 和 是 2個向量，我們有 ???P r ( )R oj ? ?P r ( ) oj ? ??? 接近到自身的程度與 接近到 的程度是一樣的。 事實上，由于 , 接近到自身是絕對的，它應(yīng)該 大于 接近 的程度。 ? ????1221P r ( )||mjjjmjjR oj ??????????????(2) P r ( )R oj? ?如何建立一個投影模型，滿足： 0 P r ( ) 1 。oj ? ???(1) (2) 與 有關(guān)。 P r ( )oj? ?思路： TOPSIS框架： ( , )( , ) ( , )iiiid X XCd X X d X X???? ?2P r ( ) ||R oj ??????例如： P r ( )P r ( )P r ( ) | 1 P r ( ) |R ojN ojR oj R oj????????? ??