【導(dǎo)讀】1．設(shè)全集U={x|x≥3，x∈N}，集合A={x|x2≥10，x∈N}，則?6．若點（x，y）位于曲線y=|2x﹣1|與y=3所圍成的封閉區(qū)域內(nèi)，曲線交于A、B兩點，G是△ABF1的重心，且?=0，則雙曲線的離心率。交單位圓于點D，則?求證：直線AN⊥平面A1BC；試求觀光道路EF長度的最大值；若a=2，求證：f＞g在恒成立；討論h=f﹣g的單調(diào)性；在數(shù)列{an}中，是否存在連續(xù)3項成等差數(shù)列？件的項，若不存在，說明理由；as成等差數(shù)列；并求出正整數(shù)r、s之間的關(guān)系；求甲同學(xué)選中舞蹈且乙、丙兩名同學(xué)未選中舞蹈的概率；24．（10分）已知集合A={a1，a2，…an}，規(guī)定：若集合A1∪A2∪…∪Am=A，則稱{A1，A2，…且僅當(dāng)：A1=B1，A2=B2，…A={a1}的所有分拆為：{a1}∪{a1}，{a1}∪?試用m、n表示fn；UA={x|3≤x≤，x∈N}={3}，

　　

【正文】 中不存在某 4 項成等差數(shù)列 … （ 16 分） 【點評】 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 附加題 21．（ 10 分）（ 2017?如皋市一模）已知 a、 b 是實數(shù)，矩陣 M= 所對應(yīng)的變換 T 將點（ 2， 2）變成了點 P′（ ﹣ 1， +1）． （ 1）求實數(shù) a、 b 的值； （ 2）求矩陣 M 的逆矩陣 N． 【考點】 逆矩陣與投影變換；幾種特殊的矩陣變換． 【分析】 （ 1）由題意，得 2a﹣ 1= ﹣ 1， 1+2b= +1，解得即可， （ 2）由（ 1）， |N|=1，即可求矩陣 M 的逆矩陣 N． 【解答】 解：（ 1）由題意，得 2a﹣ 1= ﹣ 1， 1+2b= +1， 所以 a=b= ． （ 2）由（ 1）， |N|=1，得矩陣 M 的逆矩陣 N= ． 【點評】 此題主要考查矩陣變換的問題，其中涉及到矩陣的乘法，逆矩陣，屬于中檔題． 22．（ 10 分）（ 2017?如皋市一模）已知曲線 C1的極坐標(biāo)方程為 ρ2﹣ 4ρcosθ﹣ 4=0，曲線 C2和曲線 C1關(guān)于直線 θ= 對稱，求曲線 C2的極坐標(biāo)方程． 【考點】 簡單曲線的極坐標(biāo)方程． 【分析】 根據(jù) ρ2=x2+y2， ρsinθ=y， ρcosθ=x，將極坐標(biāo)方程 ρ2﹣ 4ρcosθ﹣ 4=0 和直線 θ= 化為直角坐標(biāo)方程，利用對稱關(guān)系求解曲線 C2的直角坐標(biāo)方程，在轉(zhuǎn)化 為極坐標(biāo)方程． 【解答】 解：由題意：極坐標(biāo)方程 ρ2﹣ 4ρcosθ﹣ 4=0 轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為： x2+y2﹣ 4y﹣ 4=0， 直線 θ= 轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為 x=y， ∵ 曲線 C2和曲線 C1關(guān)于直線 y=x 對稱， ∴ 曲線 C2的直角坐標(biāo)方程為： x2+y2﹣ 4x﹣ 4=0， 由 ρ2=x2+y2， ρsinθ=y， ρcosθ=x， ∴ 曲線 C2極坐標(biāo)方程為： ρ2﹣ 4ρsinθ﹣ 4=0． 【點評】 本題主要考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互換． 23．（ 10 分）（ 2017?如皋市一模）甲、乙、丙三名同學(xué)參加歌唱、圍棋、舞蹈、閱讀、游泳 5 個課外活動，每個同學(xué)彼此獨立地選擇參加 3 個活動，其中甲同學(xué)喜歡唱歌但不喜歡下棋，所以必選歌唱，不選圍棋，另在舞蹈、閱讀、游泳中隨機(jī)選 2 個，同學(xué)乙和丙從 5 個課外活動中任選 3 個． （ 1）求甲同 學(xué)選中舞蹈且乙、丙兩名同學(xué)未選中舞蹈的概率； （ 2）設(shè) X 表示參加舞蹈的同學(xué)人數(shù)，求 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望． 【考點】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；古典概型及其概率計算公式；離散型隨機(jī)變量及其分布列． 【分析】 （ 1）設(shè) A 表示事件 “甲同學(xué)選中舞蹈 ”， B 表示事件 “乙同學(xué)選中舞蹈 ”，C 表示事件 “丙同學(xué)選中舞蹈，事件 A、 B、 C 相互獨立，甲同學(xué)選中舞蹈且乙、丙兩名同學(xué)未選中舞蹈的概率為 P（ A ） =P（ A） ?P（ ） ?P（ ） =P（ A） ?[1﹣ P（ B） ][1﹣ P（ C） ]，由此能求出結(jié)果． （ 2） X 可能的取值為 0， 1， 2， 3， 分別示出相應(yīng)的概率，由此能求出 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 E（ X）． 【解答】 解 （ 1）設(shè) A 表示事件 “甲同學(xué)選中舞蹈 ”， B 表示事件 “乙同學(xué)選中舞蹈 ”， C 表示事件 “丙同學(xué)選中舞蹈 ”， … （ 1 分） 則 P（ A） = = ， P（ B） = = ， P（ C） = = ． ∵ 事件 A、 B、 C 相互獨立， ∴ 甲同學(xué)選中舞蹈且乙、丙兩名同學(xué)未選中舞蹈的概率為： P（ A ） =P（ A） ?P（ ） ?P（ ） =P（ A） ?[1﹣ P（ B） ][1﹣ P（ C） ] = = ． … （ 4 分） （ 2） ∵ X 可能的取值為 0， 1， 2， 3，且取這些值的概率分別為 P（ X=0） = = ， P（ X=1） = + + = ， P（ X=2） = + + = ， P（ X=3） = = ， … （ 8 分） ∴ X 的分布列為： X 0 1 2 3 P ∴ X 的數(shù)學(xué)期望 E（ X） =0 +1 +2 +3 = = … （ 10 分） 【點評】 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意對立事件概率計算公式的合理運(yùn)用． 24．（ 10 分）（ 2017?如皋市一模）已知集合 A={a1， a2， …a n}（ n∈ N*），規(guī)定：若集合 A1∪ A2∪ … ∪ Am=A（ m≥ 2， m∈ N*），則稱 {A1， A2， … ， Am}為集合A 的一個分拆，當(dāng)且僅當(dāng)： A1=B1， A2=B2， …A m=Bm時， {A1， A2， … ， Am}與{B1， B2， … ， Bm}為同一分拆，所有不同的分拆種數(shù)記為 fn（ m）．例如：當(dāng)n=1， m=2 時，集合 A={a1}的所有分拆為： {a1}∪ {a1}， {a1}∪ ?， ?∪ {a3}，即f1（ 2） =3． （ 1）求 f2（ 2）； （ 2）試用 m、 n 表示 fn（ m）； （ 3）證明： fn（ i）與 m同為奇數(shù)或者 同為偶數(shù)（當(dāng) i=1 時，規(guī)定 fn（ 1） =1） 【考點】 集合的表示法． 【分析】 （ 1）集合 A1∪ A2=A，對于每一個 Aj（ j=1， 2）， a1都有進(jìn)入或不進(jìn)入兩種可能，由此能求出 f2（ 2） =9． （ 2） an 有 2m﹣ 1 種進(jìn)入 A1， A2， … ， Am的不同方法，根據(jù)分步計數(shù)原理， a1，a2， … ， an 進(jìn)入 A1， A2， … ， Am 共有（ 2m﹣ 1） n 種不同方法，從而求出． （ 3）運(yùn)用二項式定理將（ 2i﹣ 1） n 展開得（ 2i﹣ 1） n= = [（ 2i） n+（﹣ 1） C （ 2i） n﹣ 1+（﹣ 1） 2 +… +（﹣ 1） n]，由此能證明 fn（ i）與 m同為奇數(shù)或者同為偶數(shù)． 【解答】 解：（ 1）集合 A1∪ A2=A， 對于每一個 Aj（ j=1， 2）， a1都有進(jìn)入或不進(jìn)入兩種可能， 而且 a1至少進(jìn)入其中一個 Aj（ j=1， 2）， 所以 a1有 =3 種進(jìn)入 A1， A2的不同方法； 同理 a2有 =3 種進(jìn)入 A1， A2的不同方法； 根據(jù)分步計數(shù)原理， a1， a2進(jìn)入 A1， A2共有 3 3=9 種不同方法， 即 f2（ 2） =9． （ 2） ∵ 集合 A1∪ A2∪ … ∪ Am=A（ m≥ 2， m∈ N*）， 下面按 ai（ i=1， 2， … ， n）是否進(jìn)入 Aj（ j=1， 2， … ， m）分為 n 步求解： 第一步： 對于每一個 Aj（ j=1， 2， … ， m）， a1都有進(jìn)入或不進(jìn)入兩種可能， 而且 a 至少進(jìn)入其中一個 Aj（ j=1， 2， … ， m）， 所以 a1有 種進(jìn)入 A1， A2， … ， Am的不同方法； … （ 4 分） 第二步：同理 a2有 2m﹣ 1 種進(jìn)入 A1， A2， … ， Am的不同方法； … 第 n 步：同理 an 有 2m﹣ 1 種進(jìn)入 A1， A2， … ， Am的不同方法． 根據(jù)分步計數(shù)原理， a1， a2， … ， an 進(jìn)入 A1， A2， … ， Am 共有（ 2m﹣ 1） n 種不同方法， 即 ． … （ 6 分） （ 3）運(yùn)用二項式定理將（ 2i﹣ 1） n 展開可得： （ 2i﹣ 1） n= +… +（﹣ 1） n，其中 i=1，2， … ， m， ∴ = [（ 2i） n+（﹣ 1） C （ 2i） n﹣ 1+（﹣ 1） 2 +… +（﹣1） n] = +（﹣ 1） 2 +… + =2S+（﹣1） nn，其中 S∈ N*， 所以當(dāng) m為奇數(shù)時， 2S+（﹣ 1） nm為奇數(shù)； 當(dāng) m為偶數(shù)時， 2S+（﹣ 1） nm也為偶數(shù)， 即 fn（ i）與 m同為奇數(shù)或者同為偶數(shù)． 【點評】 本題考查函數(shù)表達(dá)式的求法，考查 fn（ i）與 m同為奇數(shù)或者同為偶數(shù)的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．