【正文】 ??146 如果年金收付額 系列為 1， 2， 3 … 等差遞增，這一年金稱為標(biāo)準(zhǔn)等差遞增年金，對終身期首付標(biāo)準(zhǔn)遞增年金，其精算現(xiàn)值用 表示，如下圖所示： 等差遞增生存年金 yb xaI )( ?? ???????0)1()(kxkkx pkaI ??? 147 ? 期末付終身標(biāo)準(zhǔn)遞增年金精算現(xiàn)值， ? 期首付 n年定期標(biāo)準(zhǔn)等差遞增年金精算現(xiàn)值 ? 期末付 n年定期標(biāo)準(zhǔn)等差遞增年金精算現(xiàn)值 等差遞增生存年金 ??????1)(kxkkx pkIa ???????1n0: )1()(kxkknx pkaI ??? ?????nkxkknx pkIa1:)( ? 148 等差遞增生存年金 0x x ttSN???? ?1111121100()tx t xttttt x t x t xtttx x xx k xxkkk xxI a tv pv p v p v pa a aNSaDD??????????? ? ????? ? ? ?? ? ? ?? ? ???????為了得出數(shù)字結(jié)果，引入轉(zhuǎn)換函數(shù)，設(shè) 有， 149 當(dāng)變額年金收付額 系列為 n， n1， …1等差遞減時，這時期首付的年金現(xiàn)值以 表示，如下圖所示： 等差遞減生存年金 yb nxaD :)( ?? ?????1n0: )()(kxkknx pknaD ??? ????n1:)()(kxkknx pknDa ?期末付的年金現(xiàn)值 150 設(shè) ，即 上式成為， ? 實踐中，某些給付確定型養(yǎng)老金計劃和社會養(yǎng)老保險的 收付額等比例遞增，這種等比例遞增的年金精算現(xiàn)值有一個簡化計算公式。 ? 如果對 (x)的 n年定期期首付生存年金，給付額在年齡 x， x+1， …，x+n1上分別為 b， b(1+g)， b(1+g)2， …， b(1+g)n1，其精算現(xiàn)值為， ? ?????? ????1)1()(nxxyxxyxyxyx pgbAP V ?jg ???? 1 1)1( 39。??ggij ??? 1jnxnxxyxxyxyx abpbAP V :139。 )()( ????? ???????（這是一個以利率 j計算的給付額為 b的確定年金的精算現(xiàn)值） 等比例變額生存年金 151 生存年金遞推公式 ? 可見，對 (x)的終身生存年金的躉繳凈保費，等于永續(xù)年金與一系列逐年因死亡不能得到的將來年金部分之差。 152 第七章 保險費 153 總保費與凈保費的意義 ? 保險產(chǎn)品的出售價格就是購買保險必須繳付的總保費，或簡稱保費。理論上，保險產(chǎn)品的總保費可以分為性質(zhì)不同的兩部分，一部分是作為保險金給付來源的保費，稱為凈保費或純保費另一部分是作為保險公司補償費用支出并獲得一定利潤的保費，稱為附加保費。 154 ? 設(shè)保險金的現(xiàn)值為 A，每次凈保費為 P，每次 1單位的生存年金現(xiàn)值為 ，有： 均衡凈保費 a?a? A=P 155 一般地，對 (x)的 1單位元 n年定期壽險，保險金在死亡年末賠付，如保險費在 t年內(nèi)繳清 (tn)，這時，年繳凈保費用 表示，由收支平衡關(guān)系式，有， nxt P:1當(dāng)繳費期與保險期限相等時，用 表示年繳凈保費， 定期壽險年繳凈保費 txnxnxt aAP:::11 ???nxP:111:::xnxnxnAPa?156 txnxnxt aAAP:::11 )(???nxtPi:1??11 :::() xnxnxnAPAa? nxPi:1??凈保費 若保險金在被保險人死亡時賠付， t年限期繳費的年繳凈保費以 表示， （在死亡均勻分布假設(shè)下） 當(dāng) t=n時，以 表示年繳凈保費， （在死亡均勻分布假設(shè)下） )( :1 nxt AP )( :1 nxAP157 對 (x)的死亡年末賠付 1單位元終身壽險，如果規(guī)定保費每年一次終身繳付，這時保險費的現(xiàn)值是終身生存年金精算現(xiàn)值，以 Px表示這一保險的年繳均衡凈保費，有， 終身壽險年繳凈保費 xxx AaP ??? xxx aAP??? 158 ?死亡時賠付年繳凈保費 ? n年繳清保費、 1元死亡年末賠付終身壽險的年繳凈保費 ? n年繳清保費、 1元死亡時賠付終身壽險的年繳凈保費 終身壽險年繳凈保費 () xx xxAiP A Pa ??? nxxxn aAP:???:() xxn n xxnAiP A Pa ???（在死亡均勻分布假設(shè)下） 實踐中，終身壽險往往采取在 n年內(nèi)繳費的方式。繳費期越多，保險公司收回成本的時間越短，相應(yīng)的風(fēng)險就越低。 （在死亡均勻分布假設(shè)下） 159 當(dāng) t=n時，年繳凈保費以 表示，有， 采取定期壽險和終身壽險相同的計算方法，很容易給出兩全保險的年繳凈保費計算公式。對 (x)的 1單位元 n年定期兩全保險，如果死亡賠付在死亡年年末，保費在 t年內(nèi)每年一次、均衡繳付， tn，這時，年繳凈保費以 表示。 兩全保險年繳凈保費 nxt P: txnxnxt aAP::: ???nxP: nxnxnx aAP::: ??? 160 兩全保險年繳凈保費 txnxnxt aAAP::: )( ???nxnxnx aAAP::: )( ???txnxnxt aAP:::11 ????t年繳清死亡時 賠付兩全保險 的年繳凈保費 ? 在上式中，當(dāng) t=n時的年繳凈保費 ? n年 1元純粹生存保險， t年繳清的年繳凈保費 161 對（ x）的 n年延期生存年金，若年金每年支付一次，每次 1單位元，保費在 t年內(nèi)繳清 (t≤n)。年繳均衡凈保費以 表示，按照保險金支付與凈保費收入的平衡關(guān)系，有， 延期年金年繳凈保費 )( xnt aP ?? txxnxnt aaaP:)(?????? ? 162 表示每年分 ｍ 次等額繳費的 年繳凈保費 ， 表示每年１元繳付 ｍ 次的年金現(xiàn)值， Ａ 表示保險金現(xiàn)值，以收支平衡原則，有， 如果保費每半年、一季、一月等繳付一次，這時未來凈保費現(xiàn)值是一個一年多次收付的生存年金現(xiàn)值。如果以 一年多次繳費的凈保費 )(mP)(ma?? AaP mm ?)()( ?? )()(mmaAP???163 一年 ｍ 次繳費凈保費計算公式 164 一年 ｍ 次繳費凈保費計算公式 165 一年多次繳費的凈保費 ? 期首 支付，一年 m次繳費的 延期生存年金 ，年繳凈保費： ? 期末 支付，一年 m次繳費的 延期生存年金 ，年繳凈保費： )(:)( )(mnxxnxnmaaap??? )(:)( )(mnxxnxnmaaap?????? ?166 退還保費保單的凈保費 ? 【 例 】 對 (x)的 n 年定期壽險，如果被保險人在保險期內(nèi)死亡，除了賠付 10 000 元外，還退還過去已繳凈保費的累積，假設(shè)保險賠付在死亡年年末，保險費每年繳付一次， n年付清。計算下面兩種情況下的年繳均衡凈保費。 ? (1)退還的保費部分不計利息。 ? (2)退還的保費部分以不同于保單預(yù)定利率 i 的利率 j 復(fù)利累計。 ? (3)退還的保費部分以保單定價預(yù)定利率復(fù)利累計。 167 例題解答 ? (1) 設(shè)每年的凈保費為 P，如果退還的保費不計息，這時，在被保險人死亡年年末退還的保費部分是過去已繳凈保費的累加，其給付以被保險人死亡為條件，故，構(gòu)成一個定期遞增的壽險，其收支平衡公式為， 168 例題解答 ? (2) 如果退還的保費部分以利率 j 計息，退還保費部分的給付額是一個隨被保險人死亡時間變動的年金終值。即， ，其現(xiàn)值變量為， 169 例題解答 ? (3) 如果退還保費的累積利率等于預(yù)定利率，這時在 (2)中的 E(w)成為， 170 總保費 ? 在保險精算實務(wù)中，傳統(tǒng)的總保費計算方法是將總保費分解為凈保費和附加保費兩部分，在凈保費上，加上補償費用和預(yù)防不利偏差的附加保費，形成總保費，這種方法稱為凈保費加成法。隨著精算技術(shù)和計算機技術(shù)的發(fā)展，考慮更多未來變動因素的現(xiàn)金流量定價法開始使用，在這種方法下，保費不需要分解為凈保費和附加保費，而是按照滿足未來賠付或給付、費用、退保、稅金、紅利等所有可能支出并獲得合理利潤的原則下，根據(jù)對未來現(xiàn)金流量的預(yù)測確定。 171 凈保費加成法 ? 固定比例法 ? 變動比例法 ? 三元素法 172 現(xiàn)金流量法 ? 現(xiàn)金流量法是通過對一組保單未來保單年度預(yù)期收入和預(yù)期支出的估計，研究保單組隨被保險人死亡、退保、分紅、滿期等的過程，在一定的定價策略和利潤目標(biāo)下，給出保單的定價。在現(xiàn)金流量方法下，對一個保單組，年度收入為保單組的所有保費收入和投資收入，年度支出包括保險賠付、費用、退保、滿期給付、紅利、準(zhǔn)備金增加額等，年度利潤就是年度收入與年度支出的差。這樣， ? 利潤 = 保費 +投資收入 －費用－賠付支出－退保支出－紅利－準(zhǔn)備金增加 173 第八章 責(zé)任準(zhǔn)備金 174 準(zhǔn)備金的意義 ? 準(zhǔn)備金 (reserve)：為將來某項支出而預(yù)先留存的儲備金，是將來給付支出現(xiàn)值與將來凈保費收入現(xiàn)值之差。 ? 準(zhǔn)備金數(shù)額由準(zhǔn)備金計算方法、相關(guān)的保險法律、法規(guī)、會計實務(wù)標(biāo)準(zhǔn)等決定。在保險實踐中，給付準(zhǔn)備金的積累保證了保險公司的到期償付能力。 175 準(zhǔn)備金的種類 ? 償付能力準(zhǔn)備金 (Solvency Reserves) ：為評估保險公司的償付能力而計算的準(zhǔn)備金。 ? 收入準(zhǔn)備金 (Earnings Reserves) ：為評估收入和盈利而計算的準(zhǔn)備金。 (收益 =保費收入 +投資收入－賠付支出－展業(yè)費用－維持費用－準(zhǔn)備金提存 ) ? 稅收準(zhǔn)備金 (Tax Reserves) ：為評估應(yīng)稅收入或應(yīng)稅收益而計算的準(zhǔn)備金。 176 凈保費責(zé)任準(zhǔn)備金計算方法 ? 未來法（ prospective method） ：責(zé)任準(zhǔn)備金是保險人未來的凈責(zé)任，用未來給付現(xiàn)值減去未來凈保費現(xiàn)值來衡量。 ? 過去法（ retrospective method） ：責(zé)任準(zhǔn)備金是保險人過去凈保費收入大于賠付支出的部分，用過去凈保費終值減去過去給付的保險金終值計算。 177 將來法 —— 引例 假如有 100個 40歲的人同時投保 1 000元 5年定期壽險，保費在 5年內(nèi)均衡繳付。設(shè)預(yù)定利率為 6％，預(yù)定死亡率采用 CL 9093表數(shù)據(jù)，保費繳付在保單年初，保險賠付在保單年末，不考慮費用、退保和分紅等。計算未來 5年的預(yù)期凈保費收入和預(yù)期賠付支出。 178 解答 人均年繳均衡凈保費為， 預(yù)期凈保費收入、預(yù)期賠付支出，如下表所示， 40 4540 451 460 .7 1 339 .51 000 1 000 13134 156 .4 93 953 .9MMPNN? ?? ? ? ? ? ???? 元179 180 推導(dǎo) 1 ? 從表中數(shù)據(jù)可見，在 2年內(nèi)，當(dāng)年凈保費收入大于當(dāng)年保險賠付支出，凈保費有結(jié)余；但從 3年起，當(dāng)年凈保費收入不足當(dāng)年賠付支出。為了保證賠付，必須動用過去積累的準(zhǔn)備金。 準(zhǔn)備金的數(shù)額正是保證未來賠付支出超出未來凈保費收入的金額。 ? 某時點的給付準(zhǔn)備金 +未來凈保費