【正文】 1 第一章 導論 2 精算科學 (Actuarial Science) ?精算科學是以概率論與數(shù)理統(tǒng)計為基礎(chǔ)的，與經(jīng)濟學、金融學及保險理論相結(jié)合的應(yīng)用與交叉性的學科。在保險和社會保障領(lǐng)域，精算科學通過對風險事件及其損失的預(yù)先評價，實現(xiàn)科學的風險管理，為保險和社會保障事業(yè)的財務(wù)穩(wěn)健發(fā)展提供基本保障。 3 保險精算學的基本原理 (1) 要素 ? 未來事件 ? 不確定性 ? 財務(wù)收支 ? 預(yù)先評估 (2) 模型和方法 ? 模型：各因素相互關(guān)系的數(shù)學公式 ? 方法：借助精算模型實現(xiàn)預(yù)先評估 (3) 精算假設(shè) ? 對未來風險發(fā)生規(guī)律的假設(shè) ? 在過去經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，根據(jù)對未來的判斷預(yù)先做出 4 基本精算原理 例 ? 按照收支對等原則 如果 1人投保 1年期 100,000元壽險，假設(shè) 1年內(nèi)死亡概率 %，在不考慮保險公司的費用、投資收益、利潤的情況下： 保費 =期望損失 =100,000 3=430元（忽略利息） 5 精算師 ? 精算師被稱為金融、保險、投資和風險管理的工程師 ? 通過對風險和損失的預(yù)先評價，對風險事件做出預(yù)先的財務(wù)安排，保證風險經(jīng)營的財務(wù)穩(wěn)健性。 6 精算師的主要職業(yè)領(lǐng)域 ? 保險公司（壽險、非壽險、健康保險） ? 養(yǎng)老金計劃 ? 社會保障 ? 銀行、投資、公司財務(wù)、金融工程 ? 法律法規(guī) ? 教育 7 精算管理控制系統(tǒng) 環(huán)境因素（法律、社會、人口、稅收等） 風險分析 產(chǎn)品設(shè)計 定價 監(jiān)測和分析 經(jīng)驗數(shù)據(jù) 償付能力評估 資產(chǎn)負債管理 資產(chǎn)評估 利潤分析 負債評估 8 怎樣成為精算師 ? 考試制度：英國精算學會、北美壽險精算學、北美非壽險精算學會、美國養(yǎng)老金精算師學會、加拿大精算學會。 ? 教育認可制度：澳大利亞：初級課程認可，高級課程考試；德國、意大利、法國、瑞士、西班牙、荷蘭、巴西、墨西哥等國家主要采取學歷認可制度。 ? 國際精算協(xié)會的精算師后續(xù)教育制度 9 精算職業(yè)發(fā)展 ? 1775年，英國的公平人壽社團最早將精算師引入保險領(lǐng)域。 ? 1848年，英國在世界上最早成立了精算學會 ? 1889年，美國精算學會 ? 1892年，法國精算學會 ? 1895年，國際精算協(xié)會 ? 2023年，中國精算師協(xié)會 10 第二章 利息理論 11 累積函數(shù) ? 累積函數(shù)是單位本金的累計額，以 表示。 ? 其中， ， 。 )(ta )0()()(AtAta ?1)0( ?a )()0()( taAtA ??12 累積函數(shù) a(t) 0 1 t a(t) 0 1 t a(t) 0 1 t 圖 21 圖 22 圖 23 ? a(t)通常為 t 的連續(xù)函數(shù)，在坐標平面上表現(xiàn)為通過（ 0， 1）點的曲線，如圖 21和圖 22所示 ? a(t)為增函數(shù)時才能保證總額函數(shù)的遞增性和存在正的利息。 ? 有時，當利息定期結(jié)算時，也表現(xiàn)為不連續(xù)的階梯函數(shù)，在定期內(nèi)，為常數(shù)，定期結(jié)算后，上一個臺階，如圖 23所示。 13 利息率 ? 利息率 ? 1年內(nèi) 1單位本金的利息就是實際年利息率 以 表示第 n個基本計息時間單位的實際利率 )1()1()(1)(??????nAnAnAnainni )0()0()1(1)1(1 AAAai ????14 單利和復利 ?單利 ：只在本金上生息 ?設(shè)第 t年實際利率 it， 1年末的累積額為 : ? ?第 2年末的累積額為 : ?當各年利率均為 i時，有 itta ?? 1)()1)(0()0()0()1( 11 iAiAAA ???? 1 2 1 2( 2) ( 0) ( 1 ) ( 0) ( 0) ( 1 )A A i A i A i i? ? ? ? ? ?)1)(0()( itAtA ??15 單利和復利 ?復利 ：在本金和利息上生息 ?設(shè)第 t年實際利率 it， 1年末的累積額為 : ? ?第 2年末的累積額為 : ?當各年利率均為 i時，有 )1)(0()0()0()1( 11 iAiAAA ???? )1)(1)(0()1)(0()1)(0()2( 21211 iiAiiAiAA ???????niAnA )1)(0()( ?? tita )1() ??16 現(xiàn)值和貼現(xiàn)率 17 現(xiàn)值和貼現(xiàn)率 ? 在復利下， tti )1(1???18 現(xiàn)值和貼現(xiàn)率 ? 在單利下， 19 現(xiàn)值和貼現(xiàn)率 ? 貼現(xiàn)率：單位貨幣在單位時間內(nèi)的貼現(xiàn)額，單位時間以年度衡量時，成為實際貼現(xiàn)率。 d表示一年的貼現(xiàn)率 : dn表示第 n年貼現(xiàn)率 : iiiiaaAAAd??????????1111)1(1)1()1()0()1()()1()()()1()(nanananAnAnAdn??????20 ?iiiiiaad ???? ????? 11 1)1()1( 1)1( ???????? iiid11111 ddi?? 1可見 ， di 現(xiàn)值和貼現(xiàn)率 21 現(xiàn)值和貼現(xiàn)率 22 現(xiàn)值和貼現(xiàn)率 23 名義利率與名義貼現(xiàn)率 ? 名義利率 :一年結(jié)算多次的規(guī)定的年利率。 以 表示， m表示結(jié)算次數(shù)， )(mimmmii ]1[1)(???24 名義利率與名義貼現(xiàn)率 ? 名義貼現(xiàn)率 :一年結(jié)算多次的規(guī)定的年貼現(xiàn)率。 以 表示， m表示結(jié)算次數(shù)， ()md id???111 mmmdd ]1[1)(???25 利息力 ? 利息力：衡量確切時點上利率水平的指標。 定義利息力 δ為， )1ln(11)1(li m]1]1[li mli m11)( imiimimmmmmm????????????????ie ?? 1?故 ， ?? ?? e26 年金 ? 年金：每隔一個相等的時間間隔的一系列固定數(shù)額的收付款方式。 ? 期首付年金 ? 期末付年金 27 期首付年金現(xiàn)值 1321 ??????? nna ???? ???????11 n= dn??1= 28 期末付年金現(xiàn)值 nna ???? ???? ?32?????1)1( n= in??1= 29 期首付年金終值 ( 1 )( 1 ) 1nnnns a iid???????? ?30 期末付年金終值 nnn ias )1( ??nnii)1(1 ??? ?ii n 1)1( ???31 等額確定年金的終值和現(xiàn)值 n年定期的每年 1單位元期首付年金、期末付年金的現(xiàn)值和終值間關(guān)系圖 32 一年多次收付的年金 對于 n 年定期，每年收付 m次，每次 1/m元的期首付年金現(xiàn)值，以 表示， ( ) 1 / 2 / ( 1 ) ( 1 ) /1/()1 1 1 11111m m m n m mnnmnmam m m mmd? ? ????? ? ?? ? ? ? ????????? ? ?????????? ?｜)(mna??33 一年多次收付的年金 對于 n 年定期，每年收付 m次，每次 1/m 元的期末付年金現(xiàn)值以 表示， )(mna( ) 1 / 2 /()1 1 11m m m nnnmam m mi? ? ??? ? ? ????????? ?34 一年多次收付的年金 對于 n 年定期，每年收付 m次，每次 1/m 元的期首付年金在 n 年末的終值為， ()()1 nmmnsd???35 一年多次收付的年金 對于 n 年定期，每年收付 m次，每次 1/m 元的期末付年金在 n 年末的終值為， ()()1 nmmnsi???36 永續(xù)年金 定義：收付時期沒有限制，每隔一個間隔永遠連續(xù)收付的年金，相當于前面定期年金當時期 n趨于無窮大時的值。 每年一元期末付永續(xù)年金現(xiàn)值 為， iaa nn1lim ????? ｜｜37 永續(xù)年金 daa nn1lim ????? ｜｜????)()( 1mmia ??｜ )()( 1mmda ??｜??其他永續(xù)年金現(xiàn)值為： 38 變額年金 變額年金是每次收付額不等的年金 常見的有， ? 每次收付額等差遞增或遞減 ? 每次收付額等比遞增 39 變額遞增年金 如果在 n年定期內(nèi)，第一年末收付 1單位元，第 2年末收付 2單位元，以后每次比上一次遞增 1單位元的期末付年金現(xiàn)值以 表示。 ｜（ nIa) 23( ) 2 3 nnI a n? ? ? ?? ? ? ? ?｜40 變額遞增年金 21( 1 ) ( ) 1 2 3 nni I a n? ? ? ?? ? ? ? ? ?｜21( ) 1 nnnnni I a nan? ? ? ???? ? ? ? ? ? ????????????? ? ?｜｜inaIannn??? ｜｜??)(dnaaInnn??? ｜｜???? )(兩者相減后得 代入上式后得 上述年金期首付時，年金現(xiàn)值為 41 變額遞減年金 當?shù)谝荒晔崭?n元，以后每隔一年收付額減少一單位元的n年定期遞減的期末付年金為， ianDa nn ｜｜??)(上述定期遞減年金在期首付時，為 iainaD nn ｜｜???? ??? )1()( 變額年金的終值是相應(yīng)年金現(xiàn)值與利率累積系數(shù)之積 42 等比遞增年金 對等比遞增的年金，如果第一年 1單位元，以后收付額 每年遞增 j比例， n年定期的年金現(xiàn)值為： 2 2 1 1211 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 ) 39。139。1 39。 39。 39。39。39。39。 1 39。 39。1 39。 1nnnnPV j j jjPVdi i jdiij? ? ????? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ??? ? ? ???設(shè) ， 上 式 成 為 ：其 中 ， ，43 等額分期償還 ? 等額分期償還債務(wù)的方法是在規(guī)定的還款期內(nèi)每次償還相等數(shù)額的還款方式。 ? 每次償還金額為 ? 第 k 期末的未償還本金余額 貸款本金是 B0 ，是 Bk,還款期限為 n 年，每年末還款，年實際利率為 i 44 等額分期償還表 時期 付款金額 支付利息 償還本金 未償還貸款 余額 0 — — — 1 R R(1vn) Rvn … … … … … k R R(1vnk+1) Rvnk+1 … … … … … n R R(1v) Rv 0 總計 nR innR Ra? ｜inRa｜1inRa?｜inkRa?｜0inRa B?｜45 變額分期償還