【正文】 保險(xiǎn)精算學(xué)中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院主講教師：王曉軍黃向陽(yáng)王 燕教材n 指定教材n Kellison,.， TheoryofInterest， 2ndEdition,SOA， 1991.n Bowers,， ActuarialMathematics， 2ndEdition， SOA， 1997.n 參考資料n 王曉軍等，保險(xiǎn)精算學(xué)，中國(guó)人民大學(xué)出版社，1995。課程結(jié)構(gòu)n 基礎(chǔ)利息理論基礎(chǔ) 生命表基礎(chǔ)n 核心n 保費(fèi)計(jì)算 n 責(zé)任準(zhǔn)備金計(jì)算n 多重?fù)p失模型n 保單的現(xiàn)金價(jià)值與紅利n 拓展n 特殊年金與保險(xiǎn)n 壽險(xiǎn)定價(jià)與負(fù)債評(píng)估n 償付能力與監(jiān)管第一章利息理論基礎(chǔ)利息理論要點(diǎn)n 利息的度量n 利息問(wèn)題求解的原則n 年金n 收益率n 分期償還表與償債基金第一節(jié)利息的度量第一節(jié)漢英名詞對(duì)照n 積累值n 現(xiàn)實(shí)值n 實(shí)質(zhì)利率n 單利n 復(fù)利n 名義利率n 貼現(xiàn)率n 利息效力n Accumulatedvaluen Presentvaluen Effectiveannualraten Simpleinterestn Compoundinterestn Nominalinterestn Discountraten Forceofinterest一、利息的定義n 定義：n 利息產(chǎn)生在資金的所有者和使用者不統(tǒng)一的場(chǎng)合，它的實(shí)質(zhì)是資金的使用者付給資金所有者的租金，用以補(bǔ)償所有者在資金租借期內(nèi)不能支配該筆資金而蒙受的損失。 n 影響利息大小的三要素：n 本金n 利率n 時(shí)期長(zhǎng)度二、利息的度量積累函數(shù)金額函數(shù)貼現(xiàn)函數(shù)第 N期利息0 t1K1利息度量一 ——計(jì)息時(shí)刻不同n 期末計(jì)息 ——利率n 第 N期實(shí)質(zhì)利率n 期初計(jì)息 ——貼現(xiàn)率n 第 N期實(shí)質(zhì)貼現(xiàn)率例 實(shí)質(zhì)利率 /貼現(xiàn)率n 某人存 1000元進(jìn)入銀行，第 1年末存款余額為 1020元，第 2年存款余額為 1050元，求分別等于多少？例 利息度量二 ——積累方式不同n 線形積累n 單利n 單貼現(xiàn)n 指數(shù)積累n 復(fù)利n 復(fù)貼現(xiàn)單復(fù)利計(jì)息之間的相關(guān)關(guān)系n 單利的實(shí)質(zhì)利率逐期遞減，復(fù)利的實(shí)質(zhì)利率保持恒定。n 單貼現(xiàn)的實(shí)質(zhì)利率逐期遞增，復(fù)貼現(xiàn)的實(shí)質(zhì)利率保持恒定。n 時(shí)，相同單復(fù)利場(chǎng)合，單利計(jì)息比復(fù)利計(jì)息產(chǎn)生更大的積累值。所以短期業(yè)務(wù)一般單利計(jì)息。n 時(shí)，相同單復(fù)利場(chǎng)合，復(fù)利計(jì)息比單利計(jì)息產(chǎn)生更大的積累值。所以長(zhǎng)期業(yè)務(wù)一般復(fù)利計(jì)息。例 n 某人存 5000元進(jìn)入銀行，若銀行分別以 2%的單利計(jì)息、復(fù)利計(jì)息、單貼現(xiàn)計(jì)息、復(fù)貼現(xiàn)計(jì)息，問(wèn)此人第 5年末分別能得到多少積累值？例 利息的度量三 ——利息轉(zhuǎn)換頻率不同n 實(shí)質(zhì)利率： 以一年為一個(gè)利息轉(zhuǎn)換期，該利率記為實(shí)質(zhì)利率，記為 n 名義利率： 在一年里有 m個(gè)利息轉(zhuǎn)換期，假如每一期的利率為 j， 記 為 這一年的名義利率， n 利息力： 假如連續(xù)計(jì)息，那么在任意時(shí)刻 t的瞬間利率叫作利息力，記為 n 實(shí)質(zhì)貼現(xiàn)率 和 名義貼現(xiàn)率 的定義與實(shí)質(zhì)利率、名義利率類似。實(shí)質(zhì)利率與實(shí)質(zhì)貼現(xiàn)率初始值 利息 積累值11名義利率n 名義利率11名義貼現(xiàn)率n 名義貼現(xiàn)率11例 確定 500元以季度轉(zhuǎn)換 8%年利率投資 5年的積累值。如以 6%年利，按半年為期預(yù)付及轉(zhuǎn)換，到第 6年末支付 1000元，求其現(xiàn)時(shí)值。確定季度轉(zhuǎn)換的名義利率，使其等于月度轉(zhuǎn)換 6%名義貼現(xiàn)率。例 利息效力n 定義：瞬間時(shí)刻利率強(qiáng)度等價(jià)公式n 一般公式n 恒定利息效力場(chǎng)合例 n 確定 1000元按如下利息效力投資 10年的積累值例 三、變利息n 什么是變利息？n 常見(jiàn)的變利息情況n 連續(xù)變化場(chǎng)合：函數(shù)利息力n 離散變化場(chǎng)合：例 如果 ，試確定 1在 n年末的積累值。如果實(shí)質(zhì)利率在頭 5年為 5%，隨之 5年為 %，最后 5年為 4%，試確定 1000元在 15年末的積累值。假定一筆資金頭 3年以半年度轉(zhuǎn)換年利率 6%計(jì)息，隨之 2年以季度轉(zhuǎn)換 8%的年貼現(xiàn)率計(jì)息，若5年后積累值為 1000元，問(wèn)這筆資金初始投資額應(yīng)該為多少？例 第二節(jié)利息問(wèn)題求解原則一、利息問(wèn)題求解四要素n 原始投資本金n 投資時(shí)期長(zhǎng)度n 利率及計(jì)息方式n 期初 /期末計(jì)息：利率 /貼現(xiàn)率n 積累方式：?jiǎn)卫?jì)息、復(fù)利計(jì)息n 利息轉(zhuǎn)換時(shí)期：實(shí)質(zhì)利率、名義利率、利息效力n 本金在投資期末的積累值 二、利息問(wèn)題求解原則n 本質(zhì)：任何一個(gè)有關(guān)利息問(wèn)題的求解本質(zhì)都是對(duì)四要素知三求一的問(wèn)題n 工具：現(xiàn)金流圖n 方法：建立現(xiàn)金流分析方程（求值方程）n 原則：在任意時(shí)間參照點(diǎn)，求值方程等號(hào)兩邊現(xiàn)時(shí)值相等。0現(xiàn)金流時(shí)間坐標(biāo)例 ：求本金n 某人為了能在第 7年末得到 1萬(wàn)元款項(xiàng)，他愿意在第一年末付出 1千元，第 3年末付出 4千元，第 8年末付出 X元，如果以 6%的年利率復(fù)利計(jì)息，問(wèn) X=？例 n 以第 7年末為時(shí)間參照點(diǎn)，有n 以第 8年末為時(shí)間參照點(diǎn)，有n 以其他時(shí)刻為時(shí)間參照點(diǎn)（同學(xué)們自己練習(xí)）例 ：求利率（ 1）某人現(xiàn)在投資 4000元， 3年后積累到5700元，問(wèn)季度計(jì)息的名義利率等于多少？（ 2）某人現(xiàn)在投資 3000元， 2年后再投資6000元，這兩筆錢(qián)在 4年末積累到 15000元，問(wèn)實(shí)質(zhì)利率 =？例 （ 1）（ 2）例 ：求時(shí)間n 假定 分別為 12%、 6%、 2%，問(wèn)在這三種不同的利率場(chǎng)合復(fù)利計(jì)息，本金翻倍分別需要幾年？例 例 ——ruleof72例 ：求積累值 n 某人現(xiàn)在投資 1000元，第 3年末再投資2023元，第 5年末再投資 2023元。其中前 4年以半年度轉(zhuǎn)換名義利率 5%復(fù)利計(jì)息，后三年以恒定利息力 3%計(jì)息，問(wèn)到第 7年末此人可獲得多少積累值？例 第三節(jié)年金第三節(jié)漢英名詞對(duì)照n 年金n 支付期n 延付年金n 初付年金n 永久年金n 變額年金n 遞增年金n 遞減年金n Annuityn Paymentperiodn Annuityimmediaten Annuityduen perpetuityn Varyingannuityn Increasingannuityn Decreasingannuity一、年金的定義與分類n 定義n 按一定的時(shí)間間隔支付的一系列付款稱為年金。原始含義是限于一年支付一次的付款，現(xiàn)已推廣到任意間隔長(zhǎng)度的系列付款。n 分類n 基本年金n 等時(shí)間間隔付款n 付款頻率與利息轉(zhuǎn)換頻率一致n 每次付款金額恒定n 一般年金n 不滿足基本年金三個(gè)約束條件的年金即為一般年金二、基本年金n 基本年金n 等時(shí)間間隔付款n 付款頻率與利息轉(zhuǎn)換頻率一致n 每次付款金額恒定n 分類n 付款時(shí)刻不同：初付年金 /延付年金n 付款期限不同：有限年金 /永久年金基本年金圖示0123nn+1n+211110011110001 11111111111延付永久年金初付永久年金延付年金初付年金基本年金公式推導(dǎo)例 n 一項(xiàng)年金在 20年內(nèi)每半年末付 500元，設(shè)利率為每半年轉(zhuǎn)換 9%，求此項(xiàng)年金的現(xiàn)時(shí)值。例 n 某人以月度轉(zhuǎn)換名義利率 %從銀行貸款 30萬(wàn)元，計(jì)劃在 15年里每月末等額償還。問(wèn)：（ 1）他每月等額還款額等于多少？（ 2）假如他想在第五年末提前還完貸款，問(wèn)除了該月等額還款額之外他還需一次性付給銀行多少錢(qián)？例 （ 1）（ 2）例 n 假定現(xiàn)在起立即開(kāi)始每 6個(gè)月付款 200直到滿 4年，隨后再每 6個(gè)月付款 100直到從現(xiàn)在起滿 10年，若求這些付款的現(xiàn)時(shí)值。例 n 方法一：n 方法二：例 n 有一企業(yè)想在一學(xué)校設(shè)立一永久獎(jiǎng)學(xué)金，假如每年發(fā)出 5萬(wàn)元獎(jiǎng)金，問(wèn)在年實(shí)質(zhì)利率為 20%的情況下，該獎(jiǎng)學(xué)金基金的本金至少為多少？例 ——永久年金n A留下一筆 100000元的遺產(chǎn)。這筆財(cái)產(chǎn)頭10年的利息付給受益人 B，第 2個(gè) 10年的利息付給受益人 C，此后的利息都付給慈善機(jī)構(gòu) D。若此項(xiàng)財(cái)產(chǎn)的年實(shí)質(zhì)利率為 7%，試確定 B， C， D在此筆財(cái)產(chǎn)中各占多少份額？例 基本年金公式總結(jié)年金有限年金 永久年金現(xiàn)時(shí)值 積累值 現(xiàn)時(shí)值延付初付未知時(shí)間問(wèn)題n 年金問(wèn)題四要素n 年金、利率、支付時(shí)期（次數(shù)）、積累值（現(xiàn)時(shí)值）n 關(guān)注最后一次付款問(wèn)題n 在最后一次正規(guī)付款之后，下一個(gè)付款期做一次較小付款（ droppayment）n 在最后一次正規(guī)付款的同時(shí)做一次附加付款（balloonpayment）例 n 有一筆 1000元的投資用于每年年底付 100元，時(shí)間盡可能長(zhǎng)。如果這筆基金的年實(shí)質(zhì)利率為 5%，試確定可以作多少次正規(guī)付款以及確定較小付款的金額，其中假定較小付款是：（ 1）在最后一次正規(guī)付款的日期支付。（ 2）在最后一次正規(guī)付款以后一年支付（ 3）按精算公式，在最后一次付款后的一年中間支付。（精算時(shí)刻）例 變利率年金問(wèn)題n 類型一：時(shí)期利率 (第 K個(gè)時(shí)期利率為 )變利率年金問(wèn)題n 類型二：付款利率（第 K次付款的年金始終以利率 計(jì)息）例 :n 某人每年年初存進(jìn)銀行 1000元 ,前 4年的年利率為 6%,后 6年由于通貨膨脹率 ,年利率升到 10%,計(jì)算第 10年年末時(shí)存款的積累值 .例 例 :n 某人每年年初存進(jìn)銀行 1000元 ,前 4次存款的年利率為 6%,后 6次付款的年利率升到10%,計(jì)算第 10年年末時(shí)存款的積累值 .例 三、一般年金n 一般年金n 利率在支付期發(fā)生變化n 付款頻率與利息轉(zhuǎn)換頻率不一致n 每次付款金額不恒定n 分類n 支付頻率不同于計(jì)息頻率的年金n 支付頻率小于計(jì)息頻率的年金n 支付頻率大于計(jì)息頻率的年金n 變額年金支付頻率不同于計(jì)息頻率年金n 分類n 支付頻率小于利息轉(zhuǎn)換頻率n 支付頻率大于利息轉(zhuǎn)換頻率n 方法n 通過(guò)名義利率轉(zhuǎn)換，求出與支付頻率相同的實(shí)際利率。n 年金的代數(shù)分析支付頻率小于計(jì)息頻率年金0 k 2k　　 … nk計(jì)息支付 1 1 … 1方法一 :利率轉(zhuǎn)換 方法二 :年金轉(zhuǎn)換例 :n 某人每年年初在銀行存款 2023元 ,假如每季度計(jì)息一次