【文章內(nèi)容簡介】 xyxt yqtqyxstyxsyxsq????????? 1)()()(xxtx tqqxsxstxsxsxstxstxs????????????? 1)]1()([)()1()()()(39。? (0≤t≤１ , 0≤y≤１ ,0≤t+y≤１ ) 81 當假設死亡力在 x~x+1上恒定時， (x為整數(shù)， 0≤t≤1)， 死亡力恒定假設 ?? ??txxttx pdtd ln????0txt dtp e e? ?? ? ???由死亡力的定義， 82 死亡力恒定假設 2/1?x? tx??1 / 2 lnxx p? ? ??1 / 2 () txt x xt μp e p????若以 表示 ，有 此時， 83 巴爾杜奇 (Balducci)假設 以意大利精算師巴爾杜奇的名字命名，這一假設是當 x為整數(shù)， 0≤t≤1時，生存函數(shù)的倒數(shù)是 t的線性函數(shù)，即 )1()()1()(1????? xstxsttxs84 巴爾杜奇 (Balducci)假設 xxxt qttqq)1(1 ???xxyxt qtytqq)1(1 ?????xtxt qtq )1(1 ???? （其中， 0≤ t≤1, 0≤ y≤1, 0≤ t+y≤1 ） 此時， 85 三種假定下的生命表函數(shù) 函數(shù) 均勻分布 常數(shù)死亡力 Ballucci xtqxt p txy q ?())Tt x x tftp ? ???? ????xtq ute??1 xtq?1 ute?1 (1 )xxptq??xxtqyq1 (1 )xxyqy t q? ? ?xq ue ut??2[1 (1 ) ]xxxpqtq???ute??1t?? xxtqq?1?1 (1 )xxqtq(1 )xxtqtq?? ? ?86 生命表的編制 ? 一、生命表編制的一般方法 ? 二、選擇生命表 87 生命表編制的一般方法 ? 時期生命表 (假設同批人生命表 )：采用假設同批人方法編制，描述某一時期處于不同年齡人群的死亡水平，反映了假定一批人按這一時期各年齡死亡水平度過一生時的生命過程。 Dx：某年齡 x歲的死亡人數(shù)； ： x歲的平均人數(shù)，即年初 x歲人數(shù)與年末 x歲人數(shù)的平均數(shù)，有時也用年中人數(shù)代替。 P88 ?x歲的中心死亡率 （ 分年齡死亡率） 為， 生命表編制的一般方法 xm39。 xxxPDm ?39。 ? 生命表分年齡中心死亡率 ：生命表分年齡死亡人數(shù)在分年齡生存人年數(shù)中的比例。 x xxx Ldm ?89 生命表編制的一般方法 xxx Ldm ?xxxxxxxxx qqdldlldm???????2222)(211xxx mmq?? 22xm39。 xm39。在死亡均勻分布假設下，有， 變換后， 通常 與 非常接近，實際中常用 近似 90 選擇生命表 ? 選擇生命表構(gòu)造的原因 ? 需要構(gòu)造選擇生命表的原因：剛剛接受體檢的新成員的健康狀況會優(yōu)于很早以前接受體檢的老成員。 ? 需要構(gòu)造終極生命表的原因：選擇效力會隨時間而逐漸消失 ? 選擇生命表的使用 91 nxnxnx ldq??? ?][][][選擇生命表函數(shù)關系 1][][][ ???? ?? nxnxnx lld nxnxnx llp???? ?][1][][nxnxmnxm ldq??? ?][][][nxmnxmnxnxm lllq?????????][1][][][｜92 第四章 多減因表 93 定義 ? 研究同批人受兩個或兩個以上減因影響陸續(xù)減少的數(shù)學模型就是多減因模型。與生命表一樣，多減因模型通常用多減因表的形式表示，稱為多減因表。 94 多減因表基本函數(shù) ? ：確切年齡 x 歲時，受 (1),(2),??（ m)等 m 個減因影響的人數(shù)。或者說 x 歲暴露于 m 個減因下的人數(shù)。 ? ： x~x+n 歲由 (k)減因減少的人數(shù)， k=1,2,??m，當 n=1 時，記為 ? ： x~x+n 歲由所有減因減少的總?cè)藬?shù)，當 n=1 時，記為 ()Txl ()knxd ()Tnxd()kxd()Txd95 多減因表基本函數(shù) ? ： x~x+n 歲由 （ k） 減因產(chǎn)生的減少概率，也就是 （ k） 減因使（ x） 離開 的概率，當 n=1 時，記 ? ： x 歲的人在 x~x+n 由所有減因?qū)е碌臏p少概率 ? ： x 歲的人在 x~x+n 保留在原群體中的概率 ()knxq ()Txl()Tnxq ()Tnxp()kxq96 減因力 ? 與生命表死亡力類似，在多減因下也有減因力， x＋ t 時的總減因力定義為： 97 中心減力 ()()()TT xx TxdmL? ???? 與中心死亡率的概念類似，在多減因分析中也有總中心減率和分減因中心減率，以 表示總中心減率，定義為， ()Txm( ) ( )mTkxxkmm??? ????()()()112kk xxTxmqm? ????()()()112TT xxTxmqm? ????98 ? 構(gòu)成多減因表的各個減因都可以依各自獨立的死亡力構(gòu)成單減因表，把由多減因表的各個減因構(gòu)成的單減因表稱為聯(lián)合單減因表，它是單獨考慮各個減因時生成的生命表。設聯(lián)合單減因表的存活函數(shù) 聯(lián)合單減因表 39。( )ktxp99 各減因力的估計 ? 恒定假設下 ? 均勻分布假設下 100 聯(lián)合單減因表的各減因均勻分布假設下的估計 101 聯(lián)合單減因表的各減因均勻分布假設下的估計 ? 當 m=2 時，有， ? 當 m=3時，有， 102 第五章 人壽保險 103 傳統(tǒng)人壽保險產(chǎn)品 ? 傳統(tǒng)個人壽險產(chǎn)品的被保險人是單個人，以被保險人在保險期內(nèi)死亡或生存為保險賠付或給付條件，預先規(guī)定保險金額的水平及其給付方式，并根據(jù)經(jīng)驗生命表和預定利率等預先確定保費水平和保單退保現(xiàn)金價值。 ? 在實踐中，傳統(tǒng)個人壽險產(chǎn)品又分為定期壽險、終身壽險、兩全保險等。 104 定期壽險 ? 均衡保費定期壽險 簡稱為定期壽險，保險費在約定的繳費期內(nèi)均衡繳付，通常繳費期與保險期相同。 ? 遞增保費定期壽險 的保險費在繳費期內(nèi)遞增，在實踐中常見的遞增保費定期壽險是每年更新定期壽險。 ? 保額遞減定期壽險 的死亡賠付金額隨著已投保時期的延長而降低，保險費通常采取均衡方式。實踐中最常見的保額遞減壽險是以抵押貸款余額為死亡賠付額，以還款期為保險期的定期保險。 105 兩全保險 ? 定義： 在規(guī)定的保險期內(nèi)，如果被保險人死亡，保險人賠付死亡保險金，如果被保險人在保險滿期存活，保險人給付生存保險金的保險產(chǎn)品。 ? 非分紅保險 根據(jù)精算假設和規(guī)定的保險金額確定保費和現(xiàn)金價值，投保人不分享公司紅利。 ? 分紅保險 的投保人每年以紅利方式分享公司利潤的一部分，實際上相當于增加了保險金額，或者在規(guī)定的保險金額下減少了保險費。 106 死亡年年末賠付壽險精算現(xiàn)值 引例：定期壽險 假如有 100個 40歲的人投保了 1 000元 5年期定期壽險，死亡賠付在死亡年年末。如果預定年利率為 3％，各年預計的死亡人數(shù)為分別為 5人，這時，每年的賠付支出及其折現(xiàn)值如表 41所示： 107 保單精算現(xiàn)值 將各年的賠付現(xiàn)值加總，可以得到發(fā)行 100張保單的未來賠付支出現(xiàn)值（元）： 1 2 3 4 51 000 3 2 000 3 3 000 3 4 000 3 5 000 3 13 468 .48? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以，平均每一保單的未來賠付現(xiàn)值為 。 這一現(xiàn)值被稱為這一 保單的 精算 現(xiàn)值 。 108 ? (x) ： x歲開始投保的人 ? ：對 (x)的 1單位元死亡年年末賠付的 n年期定期壽險 的精算現(xiàn)值。 ? ： (x)在 x+k~x+k+1歲間死亡，年末 x+k+1歲上的 1單位 元賠付在利率 i下折現(xiàn)到投保時的現(xiàn)值。 ? ：被保險人 (x)在 x+k~x+k+1歲間死亡的概率 ? ：被保險人 (x)在 x+k~x+k+1歲間死亡產(chǎn)生的死亡 賠付期望現(xiàn)值 基本符號 1k??1:xnA1kxk q?? ?xk q1k? ?109 定期壽險 1:xnA 112 n 11 n 1:0nkx x x xkxnkA q q q q? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ??｜ ｜ ｜｜定期壽險精算現(xiàn)值 在投保時一次性繳清方式的凈保費稱為 躉繳凈保費 ， 也就是保單發(fā)行時的精算現(xiàn)值。 110 終身壽險 ?Ax： 對 (x)的 1單位元死亡年年末賠付的終身壽險的精算現(xiàn)值。由于投保人 (x)可能在 k=0,1,2…… 上死亡，因此，終身壽險精算現(xiàn)值 Ax正是 (x)在各年死亡賠付期望現(xiàn)值之和。 ???? ??01kxkkx qA ｜?上式的求和上限實際為 ωx1 其中， ω是生命表極限年齡， ω1是按生命表能夠存活的最大年齡。 111 生存保險 ? ： n年純生存保險精算現(xiàn)值。 ? 定義： n年純生存保險是以滿期被保險人仍然存活為給付條件的生存保險。 ｜1:nxA112 兩全保險 xnnnkxkknxnxnxpqAAA ????? ???? ??101:::= 11 ｜｜｜｜? ：對 (x)的 1單位元 n年兩全保險精算現(xiàn)值。 ?定義：對 (x)的 1單位元 n年兩全保險，是對 (x)的 n年定期壽險和 n年純生存保險的合險。 ｜nxA :113 ? ：對 (x)的 1單位元 m年延期終身壽險的精算現(xiàn)值。 ?定義： 對 (x)的 1單位元 m年延期終身壽險 ，是從x+m歲起到被保險人終身止的 1單位元壽險。 延期 m年終身壽險 xmA ???? ??mkxkkxm qA1?終身壽險可以看成由一個 n年定期壽險與一個延期 n年終身壽險組合 xnnxx AAA ?? ｜:1 114 ? ：對 (x)的 1單位元延期 m年 n年定期壽險的精算現(xiàn)值。 ?定義： 對 (x)的 1單位元延期 m年 n年定期壽險 是從 x+m歲起到 x+m+n年的定期壽險。 延期 m年的 n年定期壽險 xmA ????? ??11nmmkxkkxnm qA ?｜｜ mxnmxAA::11 ???115 標準遞增變額壽險 ? 定義：標準遞增的變額壽險，是賠付額 bK+1=k+1， k是從投保開始到死亡時存活的整數(shù)年數(shù)的變額壽險。 ? (IA)x ：標準遞增的終身壽險的精算現(xiàn)值。 ? ：標準遞增的 n年定期壽險的精算現(xiàn)值。 100( ) ( 1 ) kx x xkkkkI A k q A??????? ? ? ? ??? ｜｜ ｜nxIA :1)(1111: 00( ) ( 1 )nnkxxk k n kxnkkI A k q A???????? ? ? ? ?