高一數(shù)學必修1函數(shù)知識總結及例題-資料下載頁
2024-11-14 05:18本頁面
【導讀】于x函數(shù)的y=f［g］叫做函數(shù)f與g的復合函數(shù)，u叫中間量.、已知fx()的定義域，求??，所以f的作用范圍為D，又f對gx()作。用，作用范圍不變，所以Dxg?()1，，故函數(shù)fx的定義域為（1，e）。ffx()的定義域為______________。11，，則fx2的定義域為____________。圍是f的作用范圍，f的作用對象可以變，但f的作用范圍不會變。利用這種理念求此類定。義域問題會有“得來全不費功夫”的感覺，值得大家探討。a時，定義域為}.232|{axax???證明：在區(qū)間ba,(）內(nèi)任取兩個數(shù)21,xx，使bxxa???在區(qū)間ba,(）上是減函數(shù)，所以)()(21xgxg?在區(qū)間ba,(）上是增函數(shù).復合函數(shù)的單調性是由兩個函數(shù)共同決定。為了記憶方便，我們把它們總結成一個圖表：。以上規(guī)律還可總結為：“同向得增，異向得減”或“同增異減”.的單調性判斷步驟：。ⅱ將復合函數(shù)分解成兩個簡單函數(shù)：)(ufy?
【正文】 反函數(shù)之間定義域與值域的關系求解． 設函數(shù) f（ x）的反函數(shù) f－ 1（ x）與工軸的交點為（ x0， 0）．根據(jù)函數(shù)與反函數(shù)之間定 義域與值域的關系可知， f（ x）與 y 軸的交點是（ 0， x0），將（ 0， x0）代入 f（ x），解得 x0＝ 52 ．所以函數(shù) y＝ f－ 1（ x）的圖象與 x 軸有交點，交點為（ 52 ， 0）。 一． 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) ． 同底的指數(shù)函數(shù) xya? 與對數(shù)函數(shù) logayx? 互為反函數(shù) ； （二）主要方法： 1．解決與 對數(shù)函數(shù)有關的問題，要特別 重視 定義域 ； 2． 指數(shù)函數(shù)、對數(shù) 函數(shù) 的單調性決定于底數(shù)大于 1 還是小于 1，要注意對底數(shù)的討論； 3．比較幾個數(shù)的大小的常用方法有：①以 0 和 1為橋梁；②利用函數(shù)的單調性；③作差 ． （三）例題分析： 例 1．（ 1）若 2 1a b a? ? ? ，則 logbba， logba ， logab 從小到大依次為 ； （ 2）若 2 3 5x y z??，且 x ， y ， z 都是正數(shù)，則 2x ， 3y ， 5z 從小到大依次為 ； （ 3）設 0x? ，且 1xxab??（ 0a? ， 0b? ），則 a 與 b 的大小關系是 （ ） （ A ） 1ba?? （ B ） 1ab?? （ C ） 1 ba?? （ D ） 1 ab?? 解：（ 1）由 2 1a b a? ? ? 得 b aa? ，故 logbba? logba 1??logab ． （ 2）令 2 3 5x y z t? ? ? ，則 1t? ， lglg2tx?， lglg3ty?， lglg5tz?， ∴ 2 lg 3 lg lg ( lg 9 lg 8 )2 3 0lg 2 lg 3 lg 2 lg 3t t txy ??? ? ? ? ??， ∴ 23xy? ； 同理可得： 2 5 0xz??， ∴ 25xz? ，∴ 3 2 5y x z??．（ 3）取 1x? ，知選 （ B ） ． 例 2．已知函數(shù) 2() 1x xf x a x??? ?( 1)a? ， 求證：（ 1）函數(shù) ()fx在 ( 1, )? ?? 上為增函數(shù)； （ 2）方程 ( ) 0fx? 沒有負數(shù)根． 證明：（ 1）設 121 xx? ? ? ， 則121212 22( ) ( ) 11xxxxf x f x a a??? ? ? ? ??? 1 2 1 21 2 1 21 2 1 22 2 3 ( )1 1 ( 1 ) ( 1 )x x x xx x x xa a a ax x x x? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?， ∵ 121 xx? ? ? ，∴ 1 10x?? ， 2 10x ?? ， 120xx??， ∴ 12123( ) 0( 1)( 1)xxxx? ???； 高中 數(shù)學輔導網(wǎng) 京翰教育 1 對 1 家教 ∵ 121 xx? ? ? ，且 1a? ，∴ 12xxaa? ，∴ 120xxaa??， ∴ 12( ) ( ) 0f x f x??，即 12( ) ( )f x f x? ，∴ 函數(shù) ()fx在 ( 1, )? ?? 上為增函數(shù)； （ 2）假設 0x 是 方程 ( ) 0fx? 的負數(shù)根，且 0 1x?? ，則0 002 01x xa x ???? ， 即0 000 0 02 3 ( 1 ) 3 11 1 1x xxa x x x? ? ?? ? ? ?? ? ?， ① 當 010x? ? ? 時， 00 1 1x? ? ? ，∴03 31x ?? ，∴03 121x ??? ，而由 1a? 知 0 1xa ? ， ∴①式不成立； 當 0 1x?? 時， 0 10x ?? ，∴03 01x ?? ，∴03 111x ? ??? ，而 0 0xa ? ， ∴①式不成立． 綜上所述，方程 ( ) 0fx? 沒有負數(shù)根． 例 3．已知函數(shù) ( ) log ( 1)xaf x a??（ 0a? 且 1a? ） ．（ 《高考 A 計劃》考點 15，例 4）． 求證：（ 1）函數(shù) ()fx的圖象在 y 軸的 一側； （ 2）函數(shù) ()fx圖象上任意兩點連線的斜率都大于 0 ． 證明：（ 1）由 10xa ?? 得： 1xa? ， ∴當 1a? 時， 0x? ，即 函數(shù) ()fx的定義域為 (0, )?? ，此時函數(shù) ()fx的圖象在 y 軸的右側 ； 當 01a??時， 0x? ，即 函數(shù) ()fx的定義域為 ( ,0)?? ，此時函數(shù) ()fx的圖象在 y 軸的左側． ∴ 函數(shù) ()fx的圖象在 y 軸的一側； （ 2）設 11( , )Ax y 、 22( , )Bx y 是函數(shù) ()fx圖象上任意兩點，且 12xx? ， 則直線 AB 的斜率 1212yyk xx?? ? ， 1122121l o g ( 1 ) l o g ( 1 ) l o g 1xxxa a a xay y a a a ?? ? ? ? ? ? ?， 當 1a? 時，由（ 1）知 120 xx??， ∴ 121 xxaa??，∴ 12020xxaa? ? ? ?， ∴ 121011xxaa ???? ，∴ 120yy??，又 120xx??，∴ 0k? ； 當 01a??時，由（ 1）知 120xx??， ∴ 121xxaa??，∴ 121 1 0xxaa? ? ? ?， ∴ 121 11xxaa ? ?? ，∴ 120yy??，又 120xx??，∴ 0k? ． ∴函數(shù) ()fx圖 象上任意兩點連線的斜率都大于 0 ．
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