微積分在積分不等式證明中的應(yīng)用-資料下載頁
2025-08-22 22:57本頁面
【正文】 ()()2.由于 且在 上單調(diào)遞減，因此， ，)(?xf??, 0)(??f從而 ，故命題得證.?I 積分中值定理證明積分不等式引理 [11]（積分第一中值定理） 若 在 上連續(xù)，則至少存)(xf??ba,在一點 ，使得??ba,??)(fdxfba????.臨沂大學(xué) 2022 本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 16 引理 [11]（推廣的積分第一中值定理） 若 與 都在 上)(xfg??ba,連續(xù)，且 在 上不變號，則至少存在一點 ，使得)(xg??ba, ??ba,??.dgfdxgfbba???)()(引理 [11]（積分第二中值定理） 設(shè)函數(shù) 在 上可積.)(xf,（i）若函數(shù) 在 上遞減，且 ，則存在 ，使得)(xg??, 0)(???ba?dfagdxfba????)(；（ii）若函數(shù) 在 上遞增，且 ，則存在 ，使得)(,)(,??xfbfba?)()(.引理 [11]（推廣的積分第二中值定理） 設(shè)函數(shù) 在 ??ba,若 為單調(diào)函數(shù)，則存在 ，使得)(xg??b,??.dxfbgdxfagdxfba ???????)()()(例 設(shè) 在 上連續(xù)且單調(diào)遞增，求證：, xfxfbaba???)(2)(.證 1 （推廣的積分第一中值定理）因為 .0)(()(2)( ????????? dxfxdfdxf bababa又，??0)(8)( )2(2())(( 2 22???????? ??? ????fab dxbafdxbf ffxxfbx bbaaba其中 ， .????????2,a????????,2?故 .dxfbdxfaba??)()(證 2 （推廣的積分第二中值定理）因為 單調(diào)，由積分第二中值定理得)(xf臨沂大學(xué) 2022 本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 17 ??)()2()2(12()(2( afbabdxfdxafdxfbax bb ????????????? ??? ??? ,其中 .??ba,??而 , .0)2(2???）（ 0)(?afb又因為 單調(diào)遞增，故 .)xf 2(???dxfxa例 設(shè)函數(shù) 在 上有定義，而且單調(diào)不減，證明：對于任何)f??1,0有)1,0(?a.dxfaxfa???100)()(證 （推廣的積分第一中值定理）對任意 ，由 ，)1,0(affdfaa?????1010 )()()(得 .dxxxdxf? ??0函數(shù) 在 上有定義，且單調(diào)不減，即是說 在 連續(xù).)(??1, )(f??1,0從而,)()(11)1())( 100100 ??faafdxfxdfadxfaxf aa ???????其中 ，)1,0(),(???，再 在 上有定義，且單調(diào)不減，而 ，xf?? )1,0(),(??，于是 ，即 .)(f?dxfaxfa???100))(臨沂大學(xué) 2022 本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 18 結(jié) 論積分不等式是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，論證積分不等式的方法很多，利用微積分的思想證明積分不等式, 可使積分不等式的證明過程大大簡化, 技巧性降低；同時能夠體現(xiàn)高等數(shù)學(xué)對初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用．本文著重介紹用微積分知識證明積分不等式的幾種常用方法，常見的方法有 Lagrange 中值定理，Taylor 公式，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的凹凸性，定積分的性質(zhì)，Schwarz 不等式,重積分法，積分中值定理．這些方法能夠使積分不等式的證明思路變得簡單，從而利于問題的求解．臨沂大學(xué) 2022 本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 19 參 考 文 獻[1]Wilfred Kaplan. Advanced Calculus[M]. (Fifth Edition)China:Publishing House of Electronics Industry,2022.[2]James Stewart. Calculus[M]. (Fifth Edition) China:Higher Education Press,2022.[3]Marvin L. Bittinger. Calculus and Its Applications[J].China Machine Press,2022,19:135145.[4]P．Calabrese. Calculus and Its Applications [J].Amer Math Monthly,1999,20:215217.[5][M].北京:高等教育出版社,2022.[6][M].北京：高等教育出版社,1993.[7][M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,1984.[8]歐陽光中,[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,1993.[9]陳傳璋,[M].北京:高等教育出版社,2022.[10]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,2022.[11][M].北京:北京高教出版社,1994.[12][J].雁北師范學(xué)院學(xué)報,2022,16(1):7376.[13][J].成都教育學(xué)院學(xué)報,2022,16(2):1821.[14][J].佳木斯教育學(xué)院學(xué)報,2022,18(2):5558.[15][J].中國科技信息,2022,15(3):112119.臨沂大學(xué) 2022 本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 20 [16][J].科技風(fēng),2022,19(1):3640.致 謝在此，我首先感謝我的指導(dǎo)教師鄭慶玉老師，由于他的關(guān)心、支持和鼓勵使我有信心來完成此論文，并且論文寫作過程中為我提供了很多有助于論文進展的設(shè)計思想和輔助材料．在論文初步完成是他在百忙之中審閱了我的論文，并提出了寶貴意見．因為采納了老師的改進意見，使本論文的質(zhì)量進一步得到提高．雖然此文歷經(jīng)幾次修改，但由于我的學(xué)術(shù)水平有限，文中仍會存在許多不足和缺陷，敬請諸位老師和學(xué)友不吝批評指正，以使我更加深入地研究和提高！ 2022 年 3 月 20 日
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