【正文】 00330 )1(421??? paaipipa??? 222204400330)(24??? ??paaaa ? 222202/30)()2(?????paa? 動(dòng)量幾率分布函數(shù) 422025302)(8)()(?????paapcp?? 3. 3 證明氫原子中電子運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的電流密度在球極坐標(biāo)中的分量是 0?? ?eer JJ 2s i n mnermeJ??????? 41 證：電子的電流密度為 )(2**mnmnmnmneieJeJ??????????????????? ?在球極坐標(biāo)中為 ???????????????s i n11reerrer??? 式中?? eee r???、為單位矢量 ])s i n11( )s i n11([2**mnrmnmnrmnereerrereerreieJeJ????????????????????????????????????????????????? )]s i n1s i n1()1 1()([2******mnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnrrrerrerreie???????????????????????????????????????????????????????? mn ?? ?中的r和?部分是實(shí)數(shù)。 ∴ ?????eimimrieJmnmne?????)(s i n222???? ????ermemn???2s i n?? 可見，0?? ?eer JJ 2s i nmnermeJ???????? 42 3. 4 由上題可知，氫原子中的電流可以看作是由許多圓周電流組成的。 ( 1 ) 求一圓周電流的磁矩。 ( 2 ) 證明氫原子磁矩為 ???????????)( 2)( 2C G ScmeSImeMMz???? 原子磁矩與角動(dòng)量之比為 ??????????)( 2)( 2C GSceSIeLMzz?? 這個(gè)比值稱為回轉(zhuǎn)磁比率。 解： ( 1 ) 一圓周電流的磁矩為 AdSJiAdM e ??? ? （i為圓周電流，A為圓周所圍面積） 22)s i n(s i n?????rdSrmemn????? 43 dSrmemn2s i n???????? ?????dr drmemn22s i n???? )( ?r d r ddS ? ( 2 ) 氫原子的磁矩為 ? ? ???????????0 022 s i n dr drmedMMmn ?? ? ??????????? 0 022 s i n22dr drmemn ?? ?????? ?ddr drmemn? ? ????20 0 022 s i n2?? ?2me ??? )( SI 在C G S單位制中 cmeM?2???? 原子磁矩與角動(dòng)量之比為 )( 2SIeLMLMzzz???? )( 2CG SceLMzz??? 44 3. 5 一剛性轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 I ，它的能量的經(jīng)典表示式是ILH22?， L 為角動(dòng)量，求與此對(duì)應(yīng)的量子體系在下列情況下的定態(tài)能量及波函數(shù)： ( 1) 轉(zhuǎn)子繞一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)： ( 2) 轉(zhuǎn)子繞一固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)： 解： ( 1) 設(shè)該固定 軸沿 Z 軸方向，則有 22ZLL ? 哈米頓算符 22222?21??ddILIHZ????, 其本征方程為 (tH 與?無(wú)關(guān)，屬定態(tài)問(wèn)題 ) )(2)( )()(2222222????????????IEddEddI???? 令 222?IEm ?，則 0)()( 222?? ?????mdd 取其解為 ??? imAe?)( (m可正可負(fù)可為零 ) 45 由波函數(shù)的單值性，應(yīng)有 ???????? imim ee ???? ? )2()()2( 即 12 ??mie, ∴ m = 0 ， 177。1 ， 177。2 ， … 轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為ImEm222?? ( m = 0 ， 177。1 ， 177。2 ， …) 可見能量只能取一系列分立值，構(gòu)成分立譜。 定態(tài)波函數(shù)為 ?? imm Ae?, A 為歸一化常數(shù)，由歸一化條件 ????????2121 220220*???????AAdAdmm ∴ 轉(zhuǎn)子的歸一化波函數(shù)為 ???imme21? 綜上所述，除 m = 0 外，能級(jí)是二重簡(jiǎn)并的。 46 ( 2) 取固定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則轉(zhuǎn)子的哈米頓算符為 2?21? LIH ? tH 與?無(wú)關(guān)，屬定態(tài)問(wèn)題，其本征方程為 ),(),(?21 2???? EYYLI? ( 式中),( ??Y設(shè)為 H? 的本征函數(shù)，E為其本征值 ) ),(2),(? 2 ???? I E YYL ? 令 22 ???IE，則有 ),(),(? 22 ????? YYL ?? 此即為角動(dòng)量 2?L 的本征方程，其本征值為 ) ,2 ,1 ,0( )1( 222 ?????? ???? ?L 其波函數(shù)為球諧函數(shù)???? immmm ePNY )(c os),( ??? ? ∴ 轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為 2)1(2IE?????? 可見，能量是分立的，且是)12( ??重簡(jiǎn)并的。 47 3. 6 設(shè) t = 0 時(shí)，粒子的狀態(tài)為 ]c o s[ s i n)( 212 kxkxAx ??? 求此時(shí)粒子的平均動(dòng)量和平均動(dòng)能。 解：]c o s)2c o s1([]c o s[ s i n)(2121212 kxkxAkxkxAx ?????? ]c os2c os1[2kxkxA??? )]()(1[2212221 i kxi kxkxikxieeeeA??????? ????21][2221212212210???????? i kxi kxkxikxixieeeeeA 可見，動(dòng)量np的可能值為???? kkkk ?? 2 2 0 動(dòng)能?22np的可能值為???? 2 2 2 2 022222222???? kkkk 對(duì)應(yīng)的幾率n?應(yīng)為 ??2)16 16 16 16 4(22222?AAAAA ??2)81 81 81 81 21( A? 上述的 A 為歸一化常數(shù)，可由歸一化條件，得 ?? ??? 222)1644(1222??????? ?AAAnn ∴ ??/1?A 48 ∴ 動(dòng)量p的平均值為 02162162162216202222??????????????? ????????? ?????AkAkAkAkppnnn ???nnnppT ??? 2222 2812281202222??????????? kk ?8522?k? 49 3. 7 一維運(yùn)動(dòng)粒子的狀態(tài)是 ???????0 ,0 0 ,)(xxAxexx當(dāng)當(dāng)?? 其中0??，求： ( 1 ) 粒子動(dòng)量的幾率分布函數(shù)； ( 2) 粒子的平均動(dòng)量。 解： ( 1 ) 先求歸一化常數(shù)，由 ?????????02222)(1 dxexAdxxx?? 2341A?? ∴2/32 ??A xxex ??? 22/32)( ?? )0( ?x