【正文】 解： ( 1 ) 先求歸一化常數(shù)，由 ?????????02222)(1 dxexAdxxx?? 2341A?? ∴2/32 ??A xxex ??? 22/32)( ?? )0( ?x 。 47 3. 6 設(shè) t = 0 時(shí)，粒子的狀態(tài)為 ]c o s[ s i n)( 212 kxkxAx ??? 求此時(shí)粒子的平均動(dòng)量和平均動(dòng)能。 定態(tài)波函數(shù)為 ?? imm Ae?, A 為歸一化常數(shù)，由歸一化條件 ????????2121 220220*???????AAdAdmm ∴ 轉(zhuǎn)子的歸一化波函數(shù)為 ???imme21? 綜上所述，除 m = 0 外，能級(jí)是二重簡并的。1 ， 177。1 ， 177。 ( 2 ) 證明氫原子磁矩為 ???????????)( 2)( 2C G ScmeSImeMMz???? 原子磁矩與角動(dòng)量之比為 ??????????)( 2)( 2C GSceSIeLMzz?? 這個(gè)比值稱為回轉(zhuǎn)磁比率。 ∴ ?????eimimrieJmnmne?????)(s i n222???? ????ermemn???2s i n?? 可見，0?? ?eer JJ 2s i nmnermeJ???????? 42 3. 4 由上題可知，氫原子中的電流可以看作是由許多圓周電流組成的。 解： ( 1 )????????? ?drddrreadrrrar s i n1),(0220 0/23020? ? ?????? 37 ????0/233004draraar ?????01!naxnandxex 04030232!34aaa?????????? 02203020/2302020 0/2302020 02/23022214 4 s i n s i n1)()2(000aeaaedrreaedd r dreaedd r dreraereUararar?????????????????????? ? ?? ? ???????? ?? ????????? ( 3 ) 電子出現(xiàn)在 r + dr 球殼內(nèi)出現(xiàn)的幾率為 ? ??? ????????02022 s i n)],([)( ddr drrdrrdrreaar 2/23004?? 2/23004)( rearar??? 38 0/2030)22(4)( arreraadrrd ???? 令 0321 , ,0 0)(arrrdrrd?????? ，? 當(dāng)0)( ,0 21 ???? rrr ?時(shí)，為幾率最小位置 0/222003022)482(4)( areraraadrrd ????? 08)(230220?????eadrrdar? ∴ 0ar ?是最可幾半徑。 34 第三章 力學(xué)量的算符表示 3. 1 一維諧振子處在基態(tài) tixex?????2222)(???，求： ( 1 ) 勢能的平均值2221xU ???； ( 2 ) 動(dòng)能的平均值?22pT ?； ( 3 ) 動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。見附頁。 定態(tài) S 方程為 )()()()(2222xExxUxdxd???????? 對(duì)各區(qū)域的具體形式為 Ⅰ：)0( )(21112?????? xExU ????? Ⅱ：)0( 222022axEU ??????? ????? Ⅲ：)( 233132bxaEU ??????? ????? 29 Ⅳ：)( 02442xbE ?????? ???? 對(duì)于區(qū)域 Ⅰ，??)( xU，粒子不可能到達(dá)此區(qū)域，故 0)(1 ?x? 而 . 0)( 22202????? ????EU ① 0)( 23213????? ????EU ② 02424???? ????E ③ 對(duì)于束縛態(tài)來說，有0??? EU ∴ 02212 ???? ?? k 2021)( 2?EUk??? ④ 03233 ???? ?? k 2123)( 2?EUk??? ⑤ 04244 ???? ?? k 224 /2 ?Ek ??? ⑥ 各方程的解分別為 xkxkxkxkFeEexkDxkCBeAe331142232c o ss i n???????????? 30 由波函數(shù)的有限性，得 0 )(4 ??? E有限，? ∴ xkFe 34??? 由波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)，得 AB ???? )0()0( 21 ?? ∴ )( 332 xkxk eeA ???? akDakCeeAaa xkxk 2232 c o ss i n)()()( 33 ????? ??? ⑦ akDkakCkeeAkaa akak 2222133 s i nc o s)()()( 33 ??????? ??? ⑧ bkFebkDbkCbb 32243 c o ss i n)()(????? ?? ⑨ bkeFkbkDkbkCkbb 33222243 c o ss i n)()(???????? ?? ⑩ 由⑦、⑧，得akDakCakDakCeeeekkakakakak222221c oss i nc osc os1111??????? (11) 由 ⑨、⑩得DbkkCbkkDbkkCbkk )c o s()s i n()s i n()c o s( 23232222 ???? 0)s i nc os()s i nc os(22322232????? DbkbkkkCbkbkkk (12) 令211111kkeeeeakakakak???????，則①式變?yōu)? 0)s i nc o s()c o ss i n( 2222 ???? DakakCakak ?? 31 聯(lián)立 ( 12 ) 、 ( 13) 得，要此方程組有非零解，必須 0)s i nc o s()c o ss i n()c o ss i n()s i nc o s(222222322232??????akakakakbkbkkkbkbkkk?? )()1()( 0)1)(((c o s))((s i n 0c o sc o ss i nc o s )c o ss i ns i ns i ns i ns i n c o ss i ns i ns i nc o sc o s 0)c o ss i n( )c o ss i n()s i nc o s)(s i nc o s( 32322322322222222322232222222322232223222223222???????????????????????????????????????kkkkabt g kkkabkkkabkakbkakbkakbkkkakbkkkakbkakbkakbkkkakbkkkbkbkkkakakbkbkkkakak即 32 把?代入即得 )()1()( 111111112132322 akakakakakakakakeeeekkkkeeeekkabt gk???????????? 此即為所要求的束縛態(tài)能級(jí)所滿足的方程。 解：（最簡方法 平移坐標(biāo)軸法 ） Ⅰ：110122????EU ?????? （ χ ≤ 0 ） Ⅱ：2222???E????? （ 0 ＜ χ ＜ 2a） Ⅲ：330322????EU ?????? （ χ ≥ 2a） ????????????????????????0)(2020)(232032221201?????????