【正文】 ???212orrF d r m v??? ? ? ?????重大數(shù)理學院 趙承均 第一篇 力學 如果剛體既有平動又有轉(zhuǎn)動 —— 剛體的平面平行運動，則其總動能包含其（質(zhì)心）的平動動能和繞過質(zhì)心的垂直軸的轉(zhuǎn)動動能。 如果研究對象中既有平動物體（質(zhì)點、剛體）又有轉(zhuǎn)動剛體，在考慮剛體繞定軸轉(zhuǎn)動動能的情況下，可將質(zhì)點系的動能定理、功能原理和機械能守恒定律推廣到包含剛體的物體系。 注意： 重大數(shù)理學院 趙承均 第一篇 力學 四、應(yīng)用轉(zhuǎn)動動能定理解題方法 。 ，確定作功的力矩。 ， Eko、 Ek。 。 212o M d J??????? ? ? ?????重大數(shù)理學院 趙承均 第一篇 力學 ?mgo lm,解： 以桿為研究對象，只有重力產(chǎn)生力矩，且重力矩隨擺角變化而變化。 重力矩作功： 20W M d??? ?重20c o s2lmg d???? ?m gl21?例： 一細桿質(zhì)量為 m，長度為 l，一端固定在軸上，靜止從水平位置擺下，求細桿擺到鉛直位置時的角速度。 重大數(shù)理學院 趙承均 第一篇 力學 始末兩態(tài)轉(zhuǎn)動動能： 21 2?JE k ?由動能定理： 02121 2 ?? ?Jm g l231 mlJ ?22 )31(2121 ?mlm g l ?lg3??0koE ?本題也可用機械能守恒定律計算 kWE? ? ?因為： 得： ?重大數(shù)理學院 趙承均 第一篇 力學 五、質(zhì)點系的機械能守恒定律 當系統(tǒng)中（可能包含多個剛體與柔體）既有平動的物體又有轉(zhuǎn)動的剛體，且系統(tǒng)中只有保守力作功時，質(zhì)點系的機械能守恒，即： oEE?其中 : ? ?? 221 mvE ?? 221 ?J ?? m gh? 221 kx平動動能 轉(zhuǎn)動動能 重力勢能 彈性勢能 重大數(shù)理學院 趙承均 第一篇 力學 k RJ,hm解： 在物體 m 下落過程中只有重力和彈力保守力作功，物體系機械能守恒。 選擇彈簧原長為彈性 0 勢點，物體下落 h 時為重力 0 勢點。 ?? 221 mvm g h ?221 ?J 21 kh例： 如圖所示的物體系中，勁度系數(shù)為 k的彈簧開始時處在原長，定滑輪的半徑為 R、轉(zhuǎn)動慣量為 J，質(zhì)量為 m 的物體從靜止開始下落 ,求下落 h 時物體的速度 v。 ?Rv ?求解得： 22/2RJmkhm g hv???重大數(shù)理學院 趙承均 第一篇 力學 1m2mrR例 1： 如圖所示，兩個同心圓盤結(jié)合在一起可繞中心軸轉(zhuǎn)動，大圓盤質(zhì)量為 m半徑為 R，小圓盤質(zhì)量為 m半徑為 r，兩圓盤都用力 F 作用，求角加速度。 F解： 以 m m2 為研究對象，它們有共同的角加速度，只有兩主動力 F 產(chǎn)生力矩。 12()F r F R J J ?? ? ?由圓盤的轉(zhuǎn)動慣量： 思考題 F211 21 RmJ ? 222 21 rmJ ?22122 ( ) 0F r Rm R m r? ????得： ?為負表示順時針加速轉(zhuǎn)動。 重大數(shù)理學院 趙承均 第一篇 力學 例 2： 光滑斜面傾角為 ?，頂端固定半徑為 R ，質(zhì)量為 M 的定滑輪。質(zhì)量為 m 的物體用輕繩纏在定滑輪上沿斜面下滑，求：下滑加速度 a 。 ?RM,m解： 物體系中先以物體 m 研究對象，受力分析 , maTmg ???s i nmgTx在斜面 x 方向上 221 MRJ ?定滑輪可視為圓盤，轉(zhuǎn)動慣量： ?JTR ?對滑輪： 補充方程： ?Ra ?聯(lián)立得到： Mmmga?? 2s i n2 ?因待求量為加速度，所以不宜用功能關(guān)系或角動量定理處理。 重大數(shù)理學院 趙承均 第一篇 力學 例 3： 質(zhì)量為 m、長為 l 的細桿一端固定在地面的軸上可自由轉(zhuǎn)動，試計算當細桿 自由 擺至與豎直方向成 ? 角時的角加速度和角速度。 ?lm,解法一： 由轉(zhuǎn)動定律， ?JM ?mg?? 231s in2 mllmg ?lg2s in3 ?? ????? ?? dgld s in2300 ???lg( )c o s13 ?? ?lgdtddddtd2s i n3 ?????? ???垂直向里。 ??重大數(shù)理學院 趙承均 第一篇 力學 解法二： 機械能守恒定律。選擇地面為 0勢能面，以桿和地球為系統(tǒng)，有： 221co s2121 ?? Jm glm gl ??lg( )c o s13 ?? ??????? s i n23s i n3121 lglgdtd ????lm,mg?垂直向里。 重大數(shù)理學院 趙承均 第一篇 力學 例 4： 在光滑水平桌面上放置一個靜止的質(zhì)量為 M、長為 2l 、可繞中心轉(zhuǎn)動的細桿，有一質(zhì)量為 m 的小球以速度 vo 與桿的一端發(fā)生 完全彈性碰撞，求小球的反彈速度 v 及桿的轉(zhuǎn)動角速度 ? 。 解： 在水平面上，碰撞過程中系統(tǒng)角動量守恒， LL ?0?Jm lvm lv ??0 mlM 2,o彈性碰撞機械能守恒： 2220 212121 ?Jmvmv ??聯(lián)立得到： mMvMmv3)3( 0???lmMmv)3(6 0????重大數(shù)理學院 趙承均 第一篇 力學 m例 5： 細線一端連接一質(zhì)量 m 小球，另一端穿過水平桌面上的光滑小孔。若小球以角速度 ?0 轉(zhuǎn)動，用力 F 拉線，使轉(zhuǎn)動半徑從 r0 減小到 r0/2 。求： （ 1）小球的角速度； （ 2）拉力 F 做的功。 o解： （ 1）由于線的張力過軸，小球受的合外力矩為 0，角動量守恒。 LL ?0?? JJ ?00?? 2020 mrmr ?2/0rr ?04 ?? ?? 半徑減小角速度增加。 重大數(shù)理學院 趙承均 第一篇 力學 （ 2）拉力作功。 由動能定理： 0kk EEW ??20022121 ?? JJW ??2020202021)4()2(21 ?? mrrm ??023 2020 ?? ?mr請考慮合外力矩為 0，為什么拉力還作功呢？ 在定義力矩作功時，定軸轉(zhuǎn)動中只有切向力作功，而法向力與位移垂直不作功。 但在本題中，小球受的拉力與位移并不垂直，小球的運動軌跡為螺旋線，法向力要作功。