3第三章-剛體的定軸轉(zhuǎn)動-資料下載頁
2025-08-05 00:13本頁面
【正文】 受重力和支持力與軸平行 ， 對軸無力矩；桌面及軸皆光滑 ， 無摩擦力矩；軸對桿的反作用力過軸也無力矩 .因此 ， 球與桿在碰撞過程中 ，所受外力矩為零 ， 在水平面上 ， 碰撞過程中系統(tǒng)角動量守恒 . 即： 例：在光滑水平桌面上放置一個靜止的質(zhì)量為 m’、 長為2l、 可繞過與桿垂直的光滑軸中心轉(zhuǎn)動的細(xì)桿 .有一質(zhì)量為 m的小球以與桿垂直的速度 與桿的一端發(fā)生完全彈性碰撞 ， 求小球的反彈速度 及桿的轉(zhuǎn)動角速度 ?. 0v?v?彈性碰撞動能守恒 222212121 J ωmm ?? vv0（ 2） ωlmωlmJ 39。39。 2231)2(121 ??其中 mo 0v?聯(lián)立 (1)、 (2)式求解 mmm m3)3(39。39。?? 0vvlmmm)3(639。 ??0v? 例 行星運(yùn)動的開普勒第二定律認(rèn)為 ， 對于任一 行星 ， 由太陽到行星的徑矢在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積 。 試用角動量守恒定律證明之 。 解 將行星看為質(zhì)點 ,在 dt 時間內(nèi)以速度 完成的 位移為 ,矢徑 在 d t 時間內(nèi)掃過的面積為 dS（ 圖中陰影）。 v?tvd? r?tvrS d21d ?? ??根據(jù)質(zhì)點角動量的定義 )( vrmvmrl ????? ????則 tmlS d2d ?F? r?r?O m tvd?矢徑在單位時間內(nèi)掃過的面積（ 稱為 掠面速度 ） mltS2dd? 萬有引力屬于有心力 , 行星相對于太陽所在處 點 O的角動量是守恒的 , 即 = 恒矢量，故有 l???mltS2dd恒量 行星對太陽所在點 O 的角動量守恒 ， 不僅角動量的大小不隨時間變化 ， 即掠面速度恒定 ， 而且角動量的方向也是不隨時間變化的 ， 即行星的軌道平面在空間的取向是恒定的 。 例 質(zhì)量為 m的小球系于細(xì)繩的一端 ， 繩的另一端縛在一根豎直放置的細(xì)棒上 , 小球被約束在水平面內(nèi)繞細(xì)棒旋轉(zhuǎn) , 某時刻角速度為 ?1， 細(xì)繩的長度為 r1。當(dāng)旋轉(zhuǎn)了若干圈后 , 由于細(xì)繩纏繞在細(xì)棒上 , 繩長變?yōu)?r2, 求此時小球繞細(xì)棒旋轉(zhuǎn)的角速度 ?2。 2r1r解 小球受力 繩子的張力 ,指向細(xì)棒； 重力 ，豎直向下；支撐力 ,豎直向上。 與繩子平行 , 不產(chǎn)生力矩； 與 平衡，力矩始終為零。所以 , 作用于小 球的力對細(xì)棒的力矩始終等于零 , 故小 球?qū)?xì)棒的角動量必定是守恒的。 TF?gm? NF?TF? gm?NF?根據(jù)質(zhì)點對軸的角動量守恒定律 2211 rmvrmv ?式中 v1是半徑為 r1時小球的線速度 , v2是半徑為r2時小球的線速度。 代入上式得 222121 ?? mrmr ?解得 12212 )( ?? rr? 可見 , 由于細(xì)繩越轉(zhuǎn)越短 , , 小球的角速度 必定越轉(zhuǎn)越大 , 即 。 r r2 1?? ?2 1?222111 , rvrv ?? ??而 例 半徑為 R的光滑圓環(huán)上 A點有一質(zhì)量為 m的小球，從靜止開始下滑，若不計摩擦力，求小球到達(dá) B點時的角動量和角速度。 解 小球受重力矩作用，由角動量定理 ： tlm gRMddc o s ?? ?tdd ?? ?? ?2, mRm R vl ??lmRt ?dd 2??θ A B R nF?v?gm?利用初始條件對上式積分 ? ??l gRmll0 032 dc o sd ? ??? ? 2/12/3 s in2 ?gmRl ????s in2 2RgmRl?????? dc o sd 32 gRmll ?得到
環(huán)評公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1