【正文】 些數(shù)據(jù)被用來(lái)當(dāng)作機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的真實(shí)值，那么測(cè)量設(shè)備、測(cè)量方式都將影響數(shù)據(jù)的精度，從而影響機(jī)器人標(biāo)定的結(jié)果。一方面，要使測(cè)量過(guò)程盡量簡(jiǎn)單；另一方面，又要保證測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確性。激光跟蹤儀作為一種高精度便攜式的三坐標(biāo)測(cè)量設(shè)備（Coordinate Measurement Machine），以其快捷、簡(jiǎn)便、精確、可靠的特點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用到機(jī)械制造業(yè)及工業(yè)設(shè)計(jì)行業(yè)，諸如汽車(chē)、航空航天、模具、船舶制造、鋼鐵、軍事工業(yè)、廚房設(shè)備設(shè)計(jì)等領(lǐng)域。利用激光跟蹤儀作為測(cè)量工具，即能保證測(cè)量精度，又能簡(jiǎn)化測(cè)量過(guò)程。 本文同樣使用了一臺(tái)激光跟蹤儀來(lái)獲取原始數(shù)據(jù)。該激光跟蹤儀是美國(guó) FARO 公司生產(chǎn)的Xi型激光跟蹤儀，它通過(guò)內(nèi)置的激光干涉器、紅外線激光發(fā)射器、光靶反射球測(cè)量長(zhǎng)度、光柵編碼器測(cè)量水平和仰視角度來(lái)實(shí)現(xiàn)三維大體積現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量。它具有 70 米的測(cè)量范圍，干涉和絕對(duì)測(cè)量模式使測(cè)量過(guò)程更精確、更靈活，XtremeADM（絕對(duì)距離測(cè)量、斷電續(xù)接）功能可保證系統(tǒng)的穩(wěn)定精度性,是實(shí)現(xiàn)三維坐標(biāo)測(cè)量的非常先進(jìn)和方便的儀器。使用此測(cè)量系統(tǒng)，操作人員只須用三腳架支起激光跟蹤儀，并用標(biāo)靶反射鏡接觸或沿著測(cè)量工件便面移動(dòng)。激光跟蹤儀投射光束，反光鏡將其反射回接受器，計(jì)算并記錄 70米范圍內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)的位置。如果激光跟蹤儀及靶球之間的光束被意外阻擋，超級(jí)絕對(duì)測(cè)量功能允許在任意位置重新獲取光束立即測(cè)量，而無(wú)需返回參考點(diǎn)。系統(tǒng)具有自我校準(zhǔn)及比較功能，其它獨(dú)特的功能如快速預(yù)熱及熱補(bǔ)償?shù)却_保了在惡劣的測(cè)量環(huán)境下穩(wěn)定并高精度的測(cè)量。 由于激光跟蹤儀的測(cè)量精度與測(cè)量距離有關(guān)，所以在進(jìn)行數(shù)據(jù)采集時(shí)，在保證測(cè)量范圍的同時(shí)，要盡量使激光跟蹤儀靠近機(jī)器人以獲得較高的測(cè)量精度。本文采用的是絕對(duì)距離測(cè)量模式，跟蹤儀工作距離大概為 2~3 米，那么此時(shí) 3D 單點(diǎn)的測(cè)量精度應(yīng)該處在 到 之間. 與激光跟蹤儀硬件系統(tǒng)配套使用的 CAM2 軟件具有強(qiáng)大的三維測(cè)量處理能力，它能通過(guò)多種途徑擬合出各種幾何特征，如點(diǎn)、線、圓、面、柱體、槽等，還能根據(jù)已有的幾何特征構(gòu)造出坐標(biāo)系，并且允許將任意坐標(biāo)系設(shè)置成活動(dòng)的坐標(biāo)系，這樣一來(lái)就能方便地得到激光跟蹤儀坐標(biāo)系下的機(jī)器人法蘭盤(pán)坐標(biāo)系的位姿數(shù)據(jù)。 當(dāng)機(jī)器人處于某一姿態(tài)時(shí)，進(jìn)行以下步驟獲得所需數(shù)據(jù)（法蘭盤(pán)側(cè)面圓柱面較窄，因此選取體積最小的 英寸的靶標(biāo)球）： 1. 將靶標(biāo)球分別緊靠在法蘭盤(pán)端面幾個(gè)不同的位置，用激光跟蹤儀測(cè)量相關(guān)數(shù)據(jù)。測(cè)得的數(shù)據(jù)用于擬合法蘭盤(pán)端面所在的平面，該平面的法矢量方向或反方向就是機(jī)器人末端法蘭盤(pán)坐標(biāo)系z(mì)軸的方向?？紤]到噪聲的影響，實(shí)際測(cè)量了6個(gè)點(diǎn)來(lái)擬合平面，以獲得較好的擬合效果。 2. 將靶標(biāo)球分別緊靠在法蘭盤(pán)側(cè)面6個(gè)不同的位置，用激光跟蹤儀測(cè)量相關(guān)數(shù)據(jù)。將測(cè)得的點(diǎn)投影到先前構(gòu)建的平面上，得到法蘭盤(pán)外輪廓線的投影，該投影是一個(gè)圓，其圓心亦即法蘭盤(pán)坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)。 3．法蘭盤(pán)端面上有一個(gè)定位孔，它與法蘭盤(pán)坐標(biāo)系x軸的方向密切相關(guān)。將激光跟蹤儀提供的圓柱銷靶標(biāo)座裝配到定位孔內(nèi)，用激光跟蹤儀測(cè)量該點(diǎn)的位置，并投影到先前構(gòu)建的平面上，投影點(diǎn)到圓心的方向即為末端法蘭盤(pán)坐標(biāo)系x軸的方向。 4．法蘭盤(pán)坐標(biāo)系y軸的方向滿足右手定則，即y=z x。 實(shí)驗(yàn)操作過(guò)程中，對(duì)每個(gè)幾何特征都進(jìn)行了 6 個(gè)點(diǎn)的測(cè)量，它們的擬合誤差 數(shù)據(jù)處理 齊次坐標(biāo)變換矩陣與繞任意軸的旋轉(zhuǎn)矩陣之間的關(guān)系 我們知道，齊次坐標(biāo)變換矩陣可以被看作一個(gè)坐標(biāo)系相對(duì)于另一個(gè)坐標(biāo)系的相對(duì)位置和方向。若只考慮旋轉(zhuǎn)的話，它的元素通常表示為下面的形式： T= （41）令n= ，o= ，a=由于 T 的左上方 3X3 的子矩陣是兩坐標(biāo)系之間的相對(duì)方向，可以把它看作旋轉(zhuǎn)子矩陣，并且矩陣 T 滿足正交矩陣的 6 個(gè)約束條件。 式(41)和無(wú)平移運(yùn)動(dòng)的式(213)兩個(gè)矩陣元素對(duì)應(yīng)相等，即 =（42）將兩端矩陣的對(duì)角線元素分別相加，仍然相等，則有：+++1=++++++1利用 ++=1可得 ++=(++)versθ +3cosθ=1+2cosθ 假設(shè)旋轉(zhuǎn)子矩陣不是單位矩陣，則相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角θ和旋轉(zhuǎn)軸 k 能夠被求得。如果是一個(gè)單位矩陣（它相當(dāng)于零旋轉(zhuǎn)），則不能確定 k，這是由于繞任意軸做零旋轉(zhuǎn)也會(huì)產(chǎn)生單位矩陣。為了保證解的唯一性，在整個(gè)算法的研究中，將遵循0 ≤θ ≤π的約定。 將式(42)兩端矩陣的對(duì)角線元素分別相加，仍然相等，可以求得： Cosθ=(++1) (43) 再由式(42)兩端矩陣的非對(duì)角線上對(duì)稱元素之差仍相等，則有： (44)= (45)由于 0 ≤θ ≤π，所以上式只取正號(hào)，這樣只求得 θ 的一個(gè)解： (46)式(42)兩端矩陣部分的對(duì)角線元素等同，得到 ,求得 (47)通過(guò)式(47)確定的 k 的最大分量應(yīng)于nx ，oy 和az 中的最大的正分量對(duì)應(yīng)。又由于旋轉(zhuǎn)角 θ 的正弦必須為正，所以由式(47)確定的 k 的各分量符號(hào)必須與其對(duì)應(yīng)的式(44)左端符號(hào)相同。式(47)僅僅確定了矢量 k 的最大元素，它對(duì)應(yīng)于nx ，oy 和az 中最大的正元素。其余的元素由以下方程確定更精確，它們是由式中非對(duì)角元素對(duì)相加而建立的?？砂词?47)中的最大值計(jì)算該分量，其余兩個(gè)分量可按以下公式計(jì)算。 (48)若nx 是最大的正元素，那么有下式： (49)當(dāng)oy 是最大的正元素，那么有下式： (410)當(dāng)az 是最大的正元素，那么有下式： (411) 從幾何上來(lái)講，當(dāng) θ = π時(shí)，k 有兩個(gè)符號(hào)相反的解。當(dāng) θ = π時(shí)，從(43)式可知： oz?ay=0 ,ax?nz=0 ,ny?ox=0，在這種情況下，(49)、(410)、(411)三式中既可以用 sgn（ 0 ）=+1，也可以用 sgn（ 0 ）=?1，所以就得到 k 的兩個(gè)解。然而希望遵循某個(gè)約定，使當(dāng) θ = π時(shí)，也能夠得到唯一的一個(gè) k 解。所以約定：sgn（ 0 ）=+1 ，以使對(duì)于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣都有唯一的 θ 和 k 值。 方程RA Rx= RxRb的求解 由于式(313)可以改寫(xiě)成rot(z,Δθi)= ,所以rot(z,Δθi)與Ci 是相似矩陣，它們具有相同的特征值和特征向量，如果都寫(xiě)成繞一般軸的旋轉(zhuǎn)，那么它們的旋轉(zhuǎn)角是相等的。 由 Shiu的理論：若 A 的旋轉(zhuǎn)角既不是 0 也不是π ，則形式如RA Rx=RxRB 的旋轉(zhuǎn)方程是可解的，并且其通解是： RX = Rot（kA ，β）RXP (412) 式中： kA ——旋轉(zhuǎn)矩陣RA 的旋轉(zhuǎn)軸； β ——任意解； RXP ——方程(412)的特解。 因此，要確定RX 的通解，首先需要求解方程的特解RXP 。 Shiu 指出：任何一個(gè)滿足式的旋轉(zhuǎn)矩陣R是式RARX=RXRB的一個(gè)解，這里kA為RA的旋轉(zhuǎn)軸。那么從對(duì)通解的幾何解釋，任何使kB到kA的旋轉(zhuǎn)變換是方程（412）的一個(gè)解，用數(shù)學(xué)式描述為：kA=RkB （413）即：滿足式（413）的旋轉(zhuǎn)矩陣R是方程（412）的一個(gè)特解RXP找到特解RXP的最簡(jiǎn)單的方式是繞同時(shí)垂直于kB和kA的軸ν 旋轉(zhuǎn)? 角所得到的旋轉(zhuǎn)矩陣，按照(213)式的形式表達(dá)為： RXP=Rot（ν ，?） （414）式中：v 為kB kA單位化之后的向量，? = a tan2（|kBkA|，kB?kA）。 當(dāng)kA 和kB 同向平行或反向平行時(shí)不能使用上述方法，因?yàn)檫@時(shí)會(huì)生成一個(gè)零向量，但可通過(guò)其他方法容易地找到特解：若兩個(gè)方向矢量同向平行，則單位矩陣就是一個(gè)特解；若兩個(gè)方向矢量反向平行，則任何一個(gè)旋轉(zhuǎn)軸垂直于kA 并且旋轉(zhuǎn)角度為π 的旋轉(zhuǎn)矩陣都是一個(gè)特解。 為了使Rx 獲得唯一解，可以將其通解的兩個(gè)方程聯(lián)立起來(lái)，即： 也就是至少要讓各根軸做兩次單獨(dú)的轉(zhuǎn)動(dòng)，并記錄下相應(yīng)的姿態(tài)數(shù)據(jù)。 由(412)式的結(jié)論，設(shè)Rot （ kA1，β1 ）RXP1和Rot （ kA2，β2 ）RXP2分別是(415)和(516)式的通解，則有： Rot（ kA1，β1 ）RXP1= Rot（kA2，β2）RXP2 (417) 由本節(jié)開(kāi)始所述方程特解的求解方法，可以分別得到方程(415)和(416)的特解：RXP1 和RXP2 ，且被表達(dá)為下面矩陣的形式： RXPi=，i=1,2 （418）把(418)式展開(kāi)并合并成更緊密、規(guī)則的矩陣形式如(417)式，其中形式如（u v）w表示的是向量叉乘 u v的 w 分量， w = x,y,z。 = （419）其中各個(gè)符號(hào)的含義與各個(gè)向量對(duì)應(yīng)如下： ，，，， 把式(419)簡(jiǎn)寫(xiě)為矩陣方程 CY=D 的形式，可以看出這是一個(gè)超定方程組。在理想環(huán)境中，如果矩陣 C 的秩為 4，則一定能夠找到 C 中 4 個(gè)相互獨(dú)立的行用來(lái)求解向量 Y，并且 Y 是唯一的。然而通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法所獲得的所有數(shù)據(jù)都是有噪音的，所以利用最小二乘擬合法求解 Y，即： （420） 由式(420)可以分別得到cos β1 、sin β1 、cos β2 和sin β2 ， 按 照β1=atan2(sinβ1,cosβ1)和β2=atan2(sinβ2,cosβ2)求得 β1和 β2，再取 β1代入式(417)式左邊的表達(dá)式，展開(kāi)后可以得到旋轉(zhuǎn)方程RA Rx= RxRB的通解Rx 。 本章小結(jié) 本章詳細(xì)闡述了標(biāo)定實(shí)驗(yàn)的設(shè)備配置以及具體的數(shù)據(jù)采集方法，通過(guò)介紹的手段可以精確、方便地獲得末端法蘭盤(pán)坐標(biāo)系的真實(shí)位姿數(shù)據(jù)。此外，由于旋轉(zhuǎn)矩陣的求解比較復(fù)雜，所以又簡(jiǎn)單介紹了求解Rx 的主要推導(dǎo)過(guò)程和算法。最后，根據(jù)標(biāo)定結(jié)果，并以距離誤差作為評(píng)價(jià)準(zhǔn)則考察了標(biāo)定前后機(jī)器人定位精度的變化。 第五章 總結(jié)與展望 本文立足于機(jī)器人標(biāo)定方面的研究，在內(nèi)容編排上層層深入、環(huán)環(huán)相扣。首先交代了課題背景和意義，明確了課題的任務(wù)，然后對(duì)機(jī)器人進(jìn)行簡(jiǎn)單的介紹，目的是掌握機(jī)器人的基本操作，為標(biāo)定實(shí)驗(yàn)中控制機(jī)器人動(dòng)作以獲得特定姿態(tài)數(shù)據(jù)做準(zhǔn)備。為獲得機(jī)器人理論姿態(tài)數(shù)據(jù)，探究了機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，建立起 DH 模型，解決正向運(yùn)動(dòng)和逆向運(yùn)動(dòng)求解的問(wèn)題，進(jìn)一步地，借助微分運(yùn)動(dòng)學(xué)考察了單根軸連桿參數(shù)偏差對(duì)機(jī)器人末端定位精度的影響，由此從一定角度證明了機(jī)器人標(biāo)定的必要性。接著，進(jìn)入本文的重點(diǎn)內(nèi)容，即標(biāo)定方法的論述。為期待獲得較為理想的標(biāo)定效果，采用了一種新的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型——CPC 模型（Complete and Parametrically Continuous Model），該模型具有參數(shù)連續(xù)性和完整性的優(yōu)點(diǎn)，因此，它比 DH 模型更具優(yōu)勢(shì)。使用 CPC 模型，并采取特殊的步驟獲取姿態(tài)數(shù)據(jù)，就能找到一種通過(guò)分兩步求解線性方程組確定機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的方法：根據(jù)齊次變換的性質(zhì)，分離出只包含旋轉(zhuǎn)參數(shù)的旋轉(zhuǎn)方程，逐個(gè)獲得該方程的解，待全部的旋轉(zhuǎn)參數(shù)確定后一齊代入到既包含旋轉(zhuǎn)參數(shù)又包含平移參數(shù)的線性方程中，求取余下的平移參數(shù)。這種方法簡(jiǎn)單、直觀，并且事先不需要確定機(jī)器人基坐標(biāo)系與世界坐標(biāo)系的相互關(guān)系，所有的測(cè)量數(shù)據(jù)都限定在世界坐標(biāo)系下，這樣在一定程度上保證了待處理的數(shù)據(jù)的精度。接下來(lái)，詳細(xì)敘述了標(biāo)定實(shí)驗(yàn)的過(guò)程，著重論述了數(shù)據(jù)處理時(shí)涉及的方程的求解方法，最終識(shí)別出實(shí)際參數(shù)并給出相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)論。 由于時(shí)間倉(cāng)促，還有些進(jìn)一步的工作沒(méi)有完成。例如： 1. 能否通過(guò)改進(jìn)算法來(lái)減小參數(shù)求解過(guò)程中誤差傳遞的影響。旋轉(zhuǎn)參數(shù)是通過(guò)回代的方式依次獲得的，這個(gè)過(guò)程中的傳遞誤差會(huì)逐漸積累，如果能找到對(duì)傳遞誤差較為不敏感的算法，可以期待獲得更接近真實(shí)值的連桿參數(shù)。 2. 能否通過(guò)多組數(shù)據(jù)來(lái)提高參數(shù)識(shí)別的準(zhǔn)確性。由三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x測(cè)量的姿態(tài)數(shù)據(jù)所得到的旋轉(zhuǎn)矩陣并不是理想的單位正交矩陣，也就是說(shuō)在數(shù)據(jù)處理的源頭上就包含著誤差。解決的一個(gè)方法就是多測(cè)量幾組數(shù)據(jù)，并嘗試所測(cè)量的數(shù)據(jù)分布在機(jī)器人的整個(gè)工作空間內(nèi)，然后采用最小二乘法去求解旋轉(zhuǎn)參數(shù)和平移參數(shù)。 3. 考察其它誤差源的影響。例如對(duì)于溫度變化的影響，可以在機(jī)器人的某些部位上安裝溫度傳感器，繪制溫度與定位誤差關(guān)系曲線，從而進(jìn)行一定的誤差補(bǔ)償。 致謝 本論文的工作是在我的導(dǎo)師李鷺揚(yáng)教授的悉心指導(dǎo)下完成的，李鷺揚(yáng)教授嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和科學(xué)的工作方法給了我極大的幫助和影響。在此衷心感謝李鷺揚(yáng)老師對(duì)我的關(guān)心和指導(dǎo)。 邾繼貴教授悉心指導(dǎo)我們完成了實(shí)驗(yàn)室的科研工