【文章內(nèi)容簡介】 ,那么式(26)可以寫成s2g1+c2g2=g3，經(jīng)過三角變換，得到 θ2=arctan()arctan(),上姿態(tài)時取正號，下姿態(tài)時取負號。 令式（24）兩邊（1,3）和（2,3）元素分別對應相等，有C3c4s5+s3c5=c2（c1ax+s1ay）s2az （27）S3c4s5c3c5=s2（c1ax+s1ay）c2az （28）式（27)x s3式（28）x c3 ，整理后得：C5=s32（c1ax+s1ay）+c32az ,代入θ1 、θ2 、θ3 ，即可求得θ5 。 令式(24)兩邊的(3,3)元素相等，得s4s5=s1ax+c1ay ,代入θ5 即可求得θ4 。令式(24)兩邊的(3,2)元素相等，得C4 = s6[?s1nx+c1ny]+c6[?s1ox+c1oy]，做三角變換，并代入θ1 、θ4 ，可以求得θ6 。 按照上述方法求解關節(jié)變量時，都存在多解的問題，這時可根據(jù) robtarget 數(shù)據(jù)類型的 robconf 來確定到底取哪個解。另外，當末端執(zhí)行器由前一個點位向后一個點位運動時，達到后一點位的位姿有多解時，可選擇最“接近”前一點位的解，即選擇關節(jié)變量解最靠近前一點的關節(jié)變量值。 需要指出的是，SR06型機器人的姿態(tài)并不是用 33 的旋轉矩陣表示的，而是用一個四維向量q來表示的，它們之間的關系為：q1= ,q2= , signq2=sign(ozay),q3= , signq3=sign(axnz),q4= ,signq4=sign(nyox).所以在求逆向解時要先將此四維向量轉換成旋轉矩陣。 運動學逆解： 圖24 顯示了機器人逆向運動學求解的計算結果。 微分運動學模型 機器人的微分運動是指當關節(jié)坐標變量（包括關節(jié)變量和連桿參數(shù)）產(chǎn)生微小變化而引起臂端（手部）位姿的某一微小變化。 設機器人運動鏈中某一桿件對于固定坐標系的位姿為 T，經(jīng)過微運動后該桿件對固定系的位姿變?yōu)?T+dT，若這個微運動是相對于固定系進行的，總可以用微小的平移和旋轉來表示，即 T + dT=Trans( dx,dy,dz)Rot(k,dθ)T dT = Trans(dx,dy,dz)Rot(k,dθ)T?T= [Trans(dx,dy,dz)Rot(k ,dθ)?I]T (29) 根據(jù)齊次變換的相對性，求微分運動是對于某個桿系 i 進行的，則 T+dT 可以表示為： T + dT=TTrans( dx,dy,dz)Rot(k,dθ) dT=TTrans(dx,dy,dz)Rot(k,dθ)?T= T[Trans (dx,dy,dz)Rot(k,dθ)?I] (210) 其中 Δ=Trans ( dx,dy,dz)Rot(k ,dθ)?I稱為微分變換矩陣。 于是，式(29)變?yōu)閐T =Δ0T，式(210)變?yōu)閐T = TΔi，此處 Δ 的下標不同是相對不同的坐標系，若變換 T 是若干變量qi (i=1,2,…,n)的函數(shù)，則 dT= (211) 微分平移與一般平移變換一樣，其變換矩陣為： Trans(dx ,dy ,dz )= (212)從幾何意義上講，旋轉矩陣可以表示為遵循右手法則繞軸K=做θ角的旋轉，展開后如式(213)所示： Rot(k,θ)= (213)這里 versθ=1?cosθ，常稱為正矢。那么微分旋轉可以由一般旋轉變換式求出：當θ→0時,sinθ→dθ，cosθ→1，versθ→0，因此可求得：Rot(k,dθ)= (214)因此Δ=Trans(dx,dy,dz)Rot(k,dθ)I= (215)Δ中的微分旋轉子矩陣是繞一般轉軸 k 轉動一個微量角dθ，可以用繞 x、y、z 軸轉動微量角 δx、δy、δz 來代替 Rot( k ,dθ)。在齊次變換中，矩陣左乘與右乘不同，但在微分旋轉中，繞三個軸作微分旋轉的變換結果與旋轉順序是無關的，而且，任意兩個微分旋轉的結果為繞每個軸轉動的元素的代數(shù)和，即微分旋轉可相加.令 δx =kxdθ, δy= kydθ， δz= kzdθ則等效微分矩陣為 Δ= (216) 因此Δ可看成由δ和d兩個矢量組成,δ叫微分旋轉矢量，d叫微分平移矢量，分別表示為：δ =δxi +δyj+δzk， d = dxi +dyj+dzk，δ 和 d 合稱為微分運動矢量，可表示為D =[ dx ,dy,dz,δx,δy,δz]T。 實際應用中往往需要求兩個坐標系 i 和 j 之間的微分運動關系，即Δi與Δj之間的關系。假設 j 系就是固定系即 0 系，由式和可得Δ0T=TΔi，由此可得 Δi=T1Δ0T (217)亦即= (218)將對應元素相等可得dxi=n[(δx p)+d]dyi=o[(δx p)+d]dzi=a[(δx p)+d] ,此式的矩陣表示形式為 δxi=nδδyi=oδδzi=aδ= (219)這個公式表示了相對于固定坐標系的微分旋轉與平移矢量δ和d與相對于i坐標系的δi和di的關系，由此可由一個系的微分運動求出另一系的微分運動。 假設只有第一個變換矩陣的連桿參數(shù)存在偏差，而其它的參數(shù)全為名義值，當 θ =[，,，, ]時，觀察此時機器人的定位誤差。由于 =, =,=, =, 根據(jù)式(211)可以得到dA1= (220)又因為dA=AδA （221）所以δA1=dA1=（222）對照式（216），得到微分運動矢量el為：el=== （223） 這樣便建立了在第一個連桿坐標系下的微分運動與機器人幾何參數(shù)偏差之間的數(shù)學模型。為了將微分運動與末端法蘭盤坐標系聯(lián)系起來，還要用到式(219)，這時用到的變換矩陣為T=A2A3A4A5A6 。隨機抽取一組偏差向量Δx =[, ]T，經(jīng)過計算，發(fā)現(xiàn)此時在末端坐標系產(chǎn)生的定位誤差為Δp =[,]T。 由此可見，連桿參數(shù)的微小偏差會給機器人絕對定位精度帶來不容忽視的影響。 本章小結 為了研究機器人的運動學問題，本章首先建立了廣泛應用的 DH 模型，這也正是 SR06型機器人使用的模型。在此基礎之上，編寫了正向運動學求解的函數(shù)，即當各根軸的轉角已知時就能確定末端法蘭盤坐標系相對于機器人基坐標系的位置和姿態(tài)。接著，還比較詳細地推導了逆向問題的求解過程，編寫了逆向運動學求解的函數(shù)，即當末端法蘭盤坐標系相對于機器人基坐標系的位姿已知時，就能確定各根軸的轉動角度。以上兩個部分都以界面的形式給出了程序運算的結果。在對機器人控制、誤差分析、動力分析和保證工作精度時，微分運動研究起著十分重要的作用，因此在本章最后還簡要介紹了機器人微分運動的數(shù)學模型，并隨機抽取了一組關節(jié)變量，考察單一變換矩陣參數(shù)偏差對機器人定位精度的影響。 第三章 SR06 型機器人的標定技術 機器人標定過程是通過修正機器人軟件配置來提高定位精度的，也就是確定從關節(jié)變量到末端執(zhí)行器在工作空間內(nèi)真實位置的更為精確的函數(shù)關系，并利用這種已確定的變換關系更新機器人的定位軟件，而不是試圖去改變機器人的結構設計或是控制系統(tǒng)。 從誤差源與機器人誤差之間的固有函數(shù)規(guī)律出發(fā)，采用精密測試儀器測得機器人的多點位置誤差，進而應用最小二乘等方法，辨識出各誤差源大小，最后通過采用附加控制算法或修改原控制算法來補償機器人的誤差，即為傳統(tǒng)意義上的標定技術。 標定是建模、測量、參數(shù)識別和誤差補償幾個步驟的集成過程，通常意義的標定過程包括如下幾個步驟： 1. 建立一個準確代表實際參數(shù)的機器人運動學模型； 2. 用較高精度的測量裝置測量出機器人的位姿； 3. 引入?yún)?shù)識別的算法； 4. 對原有的機器人運動學模型進行修正。 標定過程如圖 31 所示： 圖31 標定過程示意圖 對于整個標定過程來講，選擇合適的運動學模型和標定測量方法是機器人標定的前提，在此基礎上對標定數(shù)據(jù)進行處理實現(xiàn)誤差參數(shù)識別與校正是機器人標定的最終目的。 標定用運動學模型的建立 機器人標定用的運動學模型應當具有完整性和參數(shù)連續(xù)性的特點。一個完整的模型擁有足夠多的參數(shù)去表示機器人實際結構與名義設計之間的所有偏差。為了滿足這一點，模型必須包含一定數(shù)目的獨立參數(shù)，這個數(shù)目為 4N2P+6，N 為自由度，P 為移動關節(jié)數(shù)，對于關節(jié)型串聯(lián) 6 自由度的SR06機器人來說，至少需要 30 個獨立參數(shù)。參數(shù)連續(xù)性意味著模型應該沒有極點。通常，如果任意機器人關節(jié)軸線位姿的連續(xù)變化會導致模型連桿參數(shù)連續(xù)變化的話，該模型就是參數(shù)連續(xù)的。如果模型不具備參數(shù)連續(xù)特性的話可能造成誤差模型不準確，還有可能造成運動學參數(shù)識別過程中的數(shù)值不穩(wěn)定性。 經(jīng)典的 DH 模型既不是完整的，也不是參數(shù)連續(xù)的。如果相鄰的兩根軸線名義上絕對平行而實際上近乎平行時，參數(shù)會發(fā)生跳變。一個同樣嚴重的問題就是模型建立世界坐標系和工具坐標系規(guī)則的限制。如果世界坐標系和工具坐標系不能任意放置的話，它們的位置會隨著機器人幾何結構的變化而變化。因此，在進行機器人標定工作時，拋棄 DH 模型，而采用一種稱為 CPC(Complete and Parametrically Continuous)的機器人運動學模型。 直線的無極點表示法 如圖 32 所示，設三維空間中有一條直線 L，它的方向可以由其在參考坐標系{x，y，z}中的兩個方向余弦(bx ，by)來表示，平面IB過{x，y，z}的原點且與L垂直，那么IB與L的交點P可以用來確定L在空間中的位置。在平面IB上建立一個平面直角坐標系，原點與參考坐標系的原點重合，點 P 在該系中的坐標為lx 和ly ，那么直線 L 就可以由四個參數(shù){ bx ，by ，lx ，ly }表示。記 b為單位方向矢量，bx ，by ，bz 分別為 x，y，z 方向的分量，且有bz = (1?b?b)1/2。定義 b 指向參考坐標系的 z 軸正向，參考坐標系 x 軸在平面 IB 上的投影作為平面直角坐標系的 x 軸。令 z 為參考坐標系 z 軸方向的單位矢量，使參考坐標系繞軸 k 旋轉 α 角，在這里 K== (31)α=arccos()arccos(bz) (32)k為沿公法線的單位向量，繞 z 軸轉動的旋轉矩陣 R=Rot(k,α) (33) 將式(31)和(32)代入到式(33)中，化簡后可以得到 R= (34) 如果 b=z 的話，[bx,by,bz]T=[0,0,1]T，R 則變成單位矩陣。 圖 32 空間直線的表示方法 CPC 模型的建立 由于 SR06 型機器人的所有關節(jié)都是轉動關節(jié)，因此，下面采用 CPC 方法建模時都只針對轉動關節(jié)的情況，建立連桿坐標系要遵從以下原則： 軸必須與第 i+1 個關節(jié)的軸線重合。 {xi ,yi,zi }符合右手法則。 為了能夠任意地分配連桿坐標系，除bx ，by ，lx ，ly 之外，CPC 方法還定義了另外兩個參數(shù)：βi 和Li,z。Rot (z,βi)使得第 i 個坐標系能繞 z 軸做任意轉動， Trans(0,0,li,z)使得第 i 個坐標系能沿 z 軸方向做任意平動。變換矩陣是 7個連桿參數(shù){ bi,x ,bi,y ,bi,z ,li,x ,li,y ,li,z ,βi}以及關節(jié)變量θi 的函數(shù)。令li=[li,x,li,y,li,z ]T ,bi== [bi,x,bi,y,bi,z]，那么連桿參數(shù)和關節(jié)變量的指定如下(見圖 33)： 圖 33 CPC 模型連桿參數(shù)的定義 1．bi 是在第 i1 坐標系下表示的第 i+1 關節(jié)軸線的單位方向矢量。 2．βi 是xi 軸繞zi 軸旋轉的方向。 3．li是在第 i1 坐標系下表示的第 i 連桿坐標系的原點的位置。 4．關節(jié)變量θi (i=1,2,3,4,5,6)的零位與第 i 個關節(jié)角度傳感器的零讀數(shù)一致。 同時需要注意的是，若某關節(jié)軸線的序號為 i+1,那么其所在的坐標系的序號為 i，所以，第 i+1 根軸線是在第 i1 坐標系中被表示成bi 的。 定義一個 44 的旋轉矩陣Ri ，它是在第 i1 坐標系下表示的第 i+1 根軸線的單位方向余弦bi,x ,bi,y ,bi,z ,的函數(shù)。且Ri= (i=1,2,3,4,5,6)這里 ki=e3 bi/||e3 bi||,αi =arccos(e3 ?bi)，e3 =[0,0,1]T，即e3 為當前坐標 z軸的單位方向矢量。由式(34)可得Ri=