【正文】 的齊次矩陣，分別表示沿軸移動(dòng)的距離。繞x、y、z軸旋轉(zhuǎn)的可以表示為（）符號為表示旋轉(zhuǎn)的齊次矩陣，表示繞軸，表示轉(zhuǎn)過的角度。 ，式（）是基本的齊次變換陣。當(dāng)兩個(gè)坐標(biāo)系之間變換時(shí)，可以通過基本的齊次坐標(biāo)變換矩陣相乘可以得到最后的齊次變換矩陣。但是當(dāng)兩個(gè)矩陣存在多次變換時(shí)，可以相對于共同的參考系，也可以相對變換過程中不同的坐標(biāo)系，這樣就存在矩陣的相乘順序。左乘、右乘情況如下【25】：1)若坐標(biāo)系變換的過程中始終相對于同一個(gè)參考（基礎(chǔ)）坐標(biāo)系，則齊次變換矩陣左乘。 2)若坐標(biāo)系之間的變換是相對于一個(gè)變化的坐標(biāo)系進(jìn)行變換時(shí)，則其次變化矩陣右乘。通過齊次變換矩陣把在坐標(biāo)系中的描述用齊次坐標(biāo)表示的矢量映射到基礎(chǔ)坐標(biāo)系【49】即： （） （）. DenavtHartenberg(DH)表示法為了描述機(jī)器人各關(guān)節(jié)之間的變換關(guān)系，1955年，Denavit和Hartenberg提出了在每個(gè)桿件關(guān)節(jié)處建立44齊次變換矩陣，來描述兩個(gè)桿件之間的關(guān)系，即DH法【43】。它的基本思想是：首先設(shè)立一個(gè)基礎(chǔ)坐標(biāo)系，然后在機(jī)器人每個(gè)關(guān)節(jié)上建立坐標(biāo)系坐，確定從到齊次變化矩陣，將所有變化矩陣相乘起來，就確定了末端執(zhí)行器與基坐標(biāo)系之間的總變化齊次變化矩陣，建立運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。本文基于法建立坐標(biāo)系并求解裝配加工機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。關(guān)節(jié)機(jī)器人需要建立個(gè)坐標(biāo)系，其中基礎(chǔ)坐標(biāo)系表示為，末端執(zhí)行器的坐標(biāo)系為，第個(gè)關(guān)節(jié)上的坐標(biāo)系為,確定和建立坐標(biāo)系應(yīng)遵循以下幾個(gè)規(guī)則【26】：1)軸與第個(gè)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)軸重合，正方向的確定以坐標(biāo)變換方便為原則。2)軸垂直于和軸并指向離開軸的方向.3)軸按右手坐標(biāo)系的要求建立.最終用法建立串聯(lián)機(jī)器人的坐標(biāo)系如圖36圖36 機(jī)器人坐標(biāo)系Fig36 Robot coordinateDH表示法取決于四個(gè)幾何參數(shù)【50】：：從軸到軸沿軸測量的距離，代表連桿的長度，因此規(guī)定。：從軸到軸繞軸旋轉(zhuǎn)的角度，的值可正、可負(fù)。：從軸到軸沿軸測量的距離，的值可正、可負(fù)。：從軸到軸繞軸旋轉(zhuǎn)的角度，的值可正、可負(fù)。機(jī)器人各連桿參數(shù)及關(guān)節(jié)變量如表31所示：表31 機(jī)器人連桿參數(shù)Table 31 Link parameters of robot關(guān)節(jié)變量其他參數(shù)0100a0均為設(shè)計(jì)參數(shù)，其中1200b23n0034d00045e90005mf0000基于法建立了機(jī)器人各桿件坐標(biāo)系后，坐標(biāo)系與間的變換可以用齊次變換矩陣表示， 與四個(gè)參數(shù)有關(guān)。經(jīng)以下變換得到的【50】:(1)繞軸旋轉(zhuǎn)角；(2)沿軸平移；(3)繞軸旋轉(zhuǎn)角；(4)沿軸平移；上述變換時(shí)坐標(biāo)系在每次轉(zhuǎn)動(dòng)或者移動(dòng)后都發(fā)生了變動(dòng)，后一次的變換都是相對前一次坐標(biāo)變換的，所以右乘就得到坐標(biāo)系與坐標(biāo)系的齊次變換矩陣為： （）將表31中的各連桿參數(shù)代入式()，可以得到到坐標(biāo)系下的位姿變換矩陣,結(jié)果如下： （）其中,最后得到機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為： （）式中 當(dāng)給定各個(gè)關(guān)節(jié)的變量時(shí)，就可以求出具體的數(shù)值，即根據(jù)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求出運(yùn)動(dòng)學(xué)正解。分別給定三組值如表32所示。表32 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解Table 32 kinematics positive solutions關(guān)節(jié)變量10200300302303000304530300306030代入式（）正解如下：通過編程，分別讓, 的速度同時(shí)旋轉(zhuǎn)5秒，繪制出末端執(zhí)行器相對基礎(chǔ)坐標(biāo)系在X、Y、Z方向的位移曲線如圖37，在仿真曲線如圖38所示。分別取三組值將解析解和仿真解進(jìn)行對比，如表33所示。圖37機(jī)器人解析的末端位置變化曲線Fig37 Robot end displacement curve圖38機(jī)器人仿真的末端位置變化曲線Fig38 Robot end displacement curve表33 解析解與仿真解對比Table 33Analytical solution amp。 simulation solutions contrast解析解仿真解202010100404020200808040400通過圖37，圖38，表33可以看出解析結(jié)果與仿真結(jié)果基本相同，驗(yàn)證了解析解得正確性。機(jī)器人的工作空間指的是機(jī)器人的末端執(zhí)行器在空間運(yùn)動(dòng)時(shí)能達(dá)到的最大工作范圍，它與機(jī)器人的形式（串聯(lián)、并聯(lián)）、自由度數(shù)目、關(guān)節(jié)類型（移動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)）以及配置形式有很大的關(guān)系。通常機(jī)器人的工作空間是由臂部的運(yùn)動(dòng)確定的，不同的自由度數(shù)和關(guān)節(jié)類型，就可以構(gòu)成不同的工作空間。工作空間的大小和形狀反映了機(jī)器人實(shí)際的工作能力，它對機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)、完成作業(yè)任務(wù)、避障有十分重要的意義。 圖解法、解析法、以及把兩種方法綜合起來數(shù)圖解法是求解機(jī)器人工作空間的常用方法，對于結(jié)構(gòu)簡單、自由度數(shù)目比較少的機(jī)器人，可以用幾何算法，一般可以在基座坐標(biāo)系中用工作空間的截面圖來表示，但對于結(jié)構(gòu)復(fù)雜，自由度數(shù)多的機(jī)器人，采用圖解法就比較繁瑣。所以對于多自由度結(jié)構(gòu)復(fù)雜的機(jī)器人采用解析法，即求機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程進(jìn)行計(jì)算和判別。本文使用的蒙特卡洛法()又稱隨機(jī)數(shù)模擬法來求解機(jī)器人的工作空間。其基本思想是利用隨機(jī)抽樣值，然后進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理，結(jié)果作為問題解的一種數(shù)值方法。即在機(jī)器人各關(guān)節(jié)的取值范圍內(nèi)，各關(guān)節(jié)的值隨機(jī)選取，代入運(yùn)動(dòng)學(xué)方程就可以求出末端執(zhí)行器相對基礎(chǔ)坐標(biāo)系的點(diǎn)坐標(biāo)，所有點(diǎn)坐標(biāo)的集合就構(gòu)成了機(jī)器人的工作空間【27】。根據(jù)式（38）所求出的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程得到末端執(zhí)行器相對基礎(chǔ)坐標(biāo)系 （）本文利用mat lab軟件進(jìn)行編程計(jì)算工作空間，工作空間的計(jì)算框圖如圖39圖39 計(jì)算框圖Fig39 Calculation diagram代入機(jī)器人各桿件的參數(shù)后即可以通過自編程序得到機(jī)器人的工作空間，分別設(shè)時(shí)得到機(jī)器人工作空間的三維圖、XOY平面圖如圖310, 311.圖310 N=10000時(shí)工作空間Fig 310 Work space of robot at 10000 point圖311 N=30000工作空間Fig311 Work space of robot at 30000 point可以看出點(diǎn)數(shù)越多，越接近實(shí)際的工作空間，其工作空間是一外徑約為1650mm，內(nèi)徑為350mm，高為1300mm的空心圓柱，這樣的工作空間滿足實(shí)際的工作要求?？梢酝ㄟ^分析機(jī)器人工作空間來確定機(jī)器人各桿件的尺寸參數(shù)，滿足給定的工作要求。 機(jī)器人逆解就是求解運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的逆解，即知道機(jī)器人末端執(zhí)行器在基礎(chǔ)坐標(biāo)系下所描述的位置和姿態(tài)時(shí)，如何根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求出機(jī)器人每個(gè)時(shí)刻各關(guān)節(jié)的變量值。本文主要采用遞推逆變換法求逆解，遞推逆變換法是將相鄰桿件的齊次變換矩陣的逆矩陣左乘裝配加工機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，得到的矩陣方程可以確定一組方程式，這些方程式只包含一個(gè)或者多個(gè)待求關(guān)節(jié)變量，求解方程各關(guān)節(jié)的變化量。從而求解。推導(dǎo)過程如下： （） 一步一步遞推下去，遞推過程不一定要全部完成，就可以利用矩陣對應(yīng)元素相等，求出全部關(guān)節(jié)變量，即求出機(jī)器人的逆解。機(jī)器人的正解是唯一的，但機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的逆解卻有無解、唯一解和多解三種情況。機(jī)器人逆解的數(shù)目與機(jī)器人自由度數(shù)、關(guān)節(jié)數(shù)目、連桿參數(shù)、關(guān)節(jié)類型、關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)范圍都和機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的數(shù)量有很大的關(guān)系【28】。有時(shí)候雖然有解，但是由于各種因素不一定采用，通常自由度越多，可動(dòng)桿件的數(shù)目就越多，機(jī)器人就越靈活，到達(dá)指定目標(biāo)的路徑就越多，相應(yīng)的逆解數(shù)目也就越多。多解的情況下就存在所有的可行解中選擇最優(yōu)解的問題，在關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的范圍之內(nèi)，一般按照最短路徑、多移動(dòng)小關(guān)節(jié)，少移動(dòng)大關(guān)節(jié)來擇優(yōu)選取。由上節(jié)求出的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可知 （） (312)由上式對應(yīng)元素相等可以得到可以求出 可以求出在聯(lián)立方程組 (313)令： 求解 同理:到此，已經(jīng)全部解出。利用編程的軟件求解給定的三組正解的逆解如表34，與其進(jìn)行比較。Table 34 The inverse solution組數(shù)逆解1102003022003021300231030030圖312為三組逆解值在平面的臂行。圖312機(jī)器人逆解臂形 Robotarmshaped of inverse solution按照最短路徑、多移動(dòng)小關(guān)節(jié)，少移動(dòng)大關(guān)節(jié)，減少機(jī)器人的慣性力的影響，從圖312可以看出①臂是最優(yōu)解。對于圖37所示的解析出機(jī)器人末端X、Y、Z向位移曲線進(jìn)行求逆解，得到各個(gè)時(shí)刻關(guān)節(jié)位移的曲線如圖313：從圖313可以看出從初始位置到對于末端執(zhí)行器的位姿有兩組逆解當(dāng)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)時(shí)就有一組逆解，這是因?yàn)槟娼獾牡诙M解的第四個(gè)關(guān)節(jié)，達(dá)到了第四個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)范圍的最大值，所以只有一組解。圖313機(jī)器人的逆解曲線Fig313 Inverse solution curve of robot對于逆解的仿真是通過在中對末端執(zhí)行器施加多自由度點(diǎn)驅(qū)動(dòng)，進(jìn)行機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解仿真，一般的點(diǎn)驅(qū)動(dòng)可以施加三個(gè)方向的位移函數(shù)或旋轉(zhuǎn)函數(shù)。最后將仿真出逆解位移曲線與解析所求的逆解得到的各關(guān)節(jié)角位移曲線相對比，驗(yàn)證解析解的正確性。仿真出的位移曲線如圖314所示.圖314 逆解位移曲線Fig314 Inverse solution displacement curve從圖314可以看出，ADAMS仿真出逆解位移曲線與解析所求的逆解得到的各關(guān)節(jié)角位移曲線與相差很大。原因是機(jī)器人起始位置的大臂、小臂、末端執(zhí)行器處于同一條直線上,是機(jī)器人的奇異形位；末端位移曲線擬合成樣條函數(shù)時(shí)產(chǎn)生了誤差；主要原因是對末端執(zhí)行器施加點(diǎn)驅(qū)動(dòng)時(shí)，沒有考慮到機(jī)器人末端執(zhí)行器的位姿，造成末端執(zhí)行器正解輸出的角位移和仿真出的末端執(zhí)行器的角位移驅(qū)動(dòng)函數(shù)的不同，由此可見末端執(zhí)行器的位姿對各關(guān)節(jié)位移有很大的影響【29】。然而對于確定的位姿，逆解也可能有多組解，由于關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)范圍的限制要將其中一些不符合要求的解舍去。在軌跡插補(bǔ)的過程中。一般在剩下的所有解中選擇與機(jī)器人當(dāng)前位置最接近的那一組解，當(dāng)做機(jī)器人的解，具體的做法是：先解出所有的解，然后舍去超過機(jī)器人運(yùn)動(dòng)范圍的那些解，然后選擇機(jī)器人在每個(gè)間隔時(shí)間內(nèi)得到逆解，與前一個(gè)位置的差值最小原理選擇合適的那組解。如圖黑色的物體為工件，在工件上打一個(gè)深100mm的孔，孔坐標(biāo)為（1500,100,）相對于大地坐標(biāo)系。取機(jī)器人大臂、小臂、手腕在一條直線上為初始位置，要進(jìn)行打孔，機(jī)器人末端執(zhí)行器的位姿必須從初始位置先到達(dá)如圖315的位姿。圖315 機(jī)器人的位姿Fig315 robot pose預(yù)先到達(dá)圖315所示的末端執(zhí)行器的位姿，通過解析有兩種逆解如表35表35 機(jī)器人逆解Table35 the inverse solution of robot組數(shù)1300023000從表35可以看出，第一組解相對于機(jī)器人初始位置的差值和最小，所以選擇第一組解為機(jī)器人在打孔中的初始位置。在打孔的過程中末端執(zhí)行器的位姿一直不變，只是在X軸有變化，設(shè)末端執(zhí)行器沿X軸運(yùn)行的速度為20mm/s,完成整個(gè)過程需要五秒。通過解析解得到各關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)位移如圖316圖316 各關(guān)節(jié)位移曲線Fig316 Each joint displacement curve由于在運(yùn)動(dòng)的過程中恒等于0，通過計(jì)算算出三個(gè)關(guān)節(jié)相對初始位置所轉(zhuǎn)過的角度如圖317，通過Adams仿真出的各關(guān)節(jié)相對初始位置轉(zhuǎn)過角度為圖318圖317 解析的各關(guān)節(jié)相對位移曲線Fig317 Each joint relative displacement curve圖318 仿真的各關(guān)節(jié)位移曲線Fig 318 Simulation of each joint relative displacement curve分別取三組值將解析解和仿真解進(jìn)行對比，如表36表36 解析解與仿真解對比Table 36 Analytical solution amp。 simulation solutions contrast解析解仿真解124通過比較圖313與314,得知解析解與仿真解曲線變化的趨勢相同，由表36可知解析解出的相對位移與仿真出來的相對位移基本相同，驗(yàn)證了解析解的正確性。3. 5雅可比矩陣的推算和速度分析機(jī)器人的雅克比矩陣不但可以建立末端執(zhí)行器在基礎(chǔ)坐標(biāo)的速度與各關(guān)節(jié)