信息安全數(shù)學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題答案-資料下載頁(yè)
2025-06-20 03:50本頁(yè)面
【正文】 因?yàn)?271(mod81) 2181(mod81) 所以2是模81的原根7．證明：因?yàn)椋╝, m）=1, 故由ordm(a)=st知：ast≡1(mod m) 即(as)t≡1(mod m) 不妨令ordm(as)=r 則asr≡1(mod m) 所以st|sr由(as)t≡1(mod m)得r|t 即t＝k*r kN≥1 r≤t 所以sr≤st所以sr=st 所以r=t所以ordm(as)=t8．解：存在 舉例：如n=7,d=3 因?yàn)?7)=6 d=3|6 存在a=2 (2,7)=1, 2(7)≡1(mod 7) 又23≡1(mod 7) 所以ord7(2)=3 滿足條件。10．證明：因?yàn)閜為一個(gè)奇素?cái)?shù)，p1/2也是一個(gè)奇素?cái)?shù) 所以(p)=p1=2*(p1)/2 即(p)的不同素因數(shù)為2，p1/2 又因?yàn)閍(p)/2=ap1/21(mod p) a(p)/[(p1)/2]=a21(mod p) 。15．證明：反證法 假設(shè)n是一個(gè)合數(shù)，令ordn(a)=m 則am≡1(mod n) 因?yàn)閍n1≡1(mod n) |n1 即n1=k*m 對(duì)n1的所有素因數(shù)q，必可找到一個(gè)q1使m|((n1)/q1) 所以an1/q=am*t≡1(mod n) 與已知條件矛盾，故假設(shè)不成立，原結(jié)論得證。16．解：因?yàn)閐=(n,(m))=(22,(41))=(22,40)=2 ind5=22 所以(n,(m))|ind5，同余式有解 等價(jià)同余式為22indx≡ind5(mod40) 即11indx≡11(mod20) 解得：indx=1,21(mod40) 所以原同余式解為x=6,35(mod41)17．解：因?yàn)閐=(n,(m))=(22,(41))=(22,40)=2 ind29=7 (2,7)=1 所以原同余式無(wú)解。 第六章．素性檢驗(yàn)1．證明：因?yàn)?1=13*7是奇合數(shù)， (3,91)=1 又36=729≡1(mod91) 則3911=390≡(36)15≡1(mod91) 則91是對(duì)于基3的擬素?cái)?shù)。2．證明：因?yàn)?5=5*3*3是奇合數(shù)， (17,45)=1 由Euler定理：174≡1(mod5) 172≡1(mod3) 所以174≡1(mod3) 所以174≡1(mod45) 則17451=1744≡(174)11≡1(mod45) 則45是對(duì)于基17的擬素?cái)?shù)。 同理45是對(duì)于基19的擬素?cái)?shù)。10．證明：25=5*5是奇素?cái)?shù) 設(shè)n=25 n1=24=23*3 則t=3 (7,25)=1 73≡18(mod25) 72*3≡1(mod25) 所以25是基于7的強(qiáng)擬素?cái)?shù)。15．證明：n=561=3*11*17 為奇素?cái)?shù) （561,2）=1 b(n1)/2≡2(5611)/2≡2280≡1(mod561) (b/n)=(2/561)=(1)(561*5611)/8=1 所以2280≡(2/561)(mod561) 所以561是對(duì)于基2的Euler擬素?cái)?shù)。第八章．群2. 證明：群是交換群的充要條件是對(duì)任意，有。證明：必要性：若是交換群，則對(duì)任意，有，從而。充分性：若對(duì)任意，有。那么。因此群是交換群。4. 設(shè)是階有限群。證明：對(duì)任意元，有。證明：任取，考慮生成的循環(huán)群。不妨設(shè)。根據(jù)拉格朗日定理，有，從而存在正整數(shù)，使得。因?yàn)椋ǚ駝t），所以。6. 設(shè)是一個(gè)群。記。證明：是的正規(guī)子群。證明：首先證明是的子群。任取。計(jì)算。因此，從而是的子群。再證明是的正規(guī)子群。任取。那么存在，使得。由的交換性，有。從而，是的正規(guī)子群。7. 設(shè)是群的一個(gè)元素。證明：映射是到自身的自同構(gòu)。證明：（1）任取。計(jì)算因此是同態(tài)映射。（2）若，且。那么，從而，因此是單射。（3）任取。由于，故是滿射。綜上所述，映射是到自身的自同構(gòu)。8. 設(shè)是群的子群。在中定義關(guān)系。證明：（i）是等價(jià)關(guān)系。（ii）的充要條件是。證明：（i）任取。既然是群的子群，那么。因此，這說(shuō)明，即滿足自反性。取滿足。那么。根據(jù)是群的子群以及逆元的性質(zhì)，我們有，這說(shuō)明，即滿足對(duì)稱性。取滿足。那么。根據(jù)是群的子群，我們有。 從而成立，即滿足傳遞性。綜上所述是等價(jià)關(guān)系。（ii）即要證明：。充分性：設(shè)，則，于是存在使得，左右兩邊同乘，得。必要性：如果。對(duì)任意，存在使得。進(jìn)而，因此。 同樣，對(duì)任意，存在使得，進(jìn)而。因此，故。2007年試題1 證明：如果是整數(shù)，則能被3整除。2 用廣義歐幾里德算法求最大公因子3 設(shè)是一個(gè)正整數(shù)，如果，證明：。4 解方程5 解方程組6 計(jì)算3模19的指數(shù)。7 計(jì)算的Legendre符號(hào)8 證明：91是對(duì)基3的擬素?cái)?shù)。9 設(shè)是群到的一個(gè)同態(tài)，其中是的單位元。證明：是的子群。10 設(shè)是群的一個(gè)元素。證明：映射是到自身的自同構(gòu)。2007年試題答案1 證明：因?yàn)閍3a=(a1)a(a+1) 當(dāng)a=3k，kZ 3|a 則3|a3a 當(dāng)a=3k1，kZ 3|a+1 則3|a3a 當(dāng)a=3k+1，kZ 3|a1 則3|a3a 所以a3a能被3整除。2. 12075=2*4655+2765 4655=1*2765+1890 2765=1*1890+875 1890=2*875+140 875=6*140+35 140=4*35所以=353. 因?yàn)閐|m，所以存在整數(shù)使得。又因?yàn)?，所以存在整?shù)使得。該式又可以寫(xiě)成。故。4.計(jì)算最大公因式(987,2668)=1，所以原同余式有解且只有一個(gè)解。利用廣義歐幾里德除法，求同余式的解為。再寫(xiě)出同余式的解為。5 令， 。分別求解同余式（i=1,2,3）得到。故同余式的解為6 解：因?yàn)?19)=18,所以只需對(duì)18的因數(shù)d=1,2,3,6,9,18計(jì)算ad(mod12) 因?yàn)?1≡3, 32≡9, 33≡8, 36≡7, 39≡1, 218≡1(mod13) 所以3模19的指數(shù)為18；7 8 證明：因?yàn)?1=13*7是奇合數(shù)， (3,91)=1 又36=729≡1(mod91) 則3911=390≡(36)15≡1(mod91) 則91是對(duì)于基3的擬素?cái)?shù)。9 對(duì)任意，有，從而。因此，是群的子群。10 證明：（1）任取。計(jì)算因此是同態(tài)映射。（2）若，且。那么，從而，因此是單射。（3）任取。由于，故是滿射。綜上所述，映射是到自身的自同構(gòu)。15
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