計算物理-蒙特卡羅方法基礎-資料下載頁
2025-08-07 11:00本頁面
【正文】 差 =0 }{}{}{ yVxVyxV ???27 五 大數(shù)法則和中心極限定理 概率論中的大數(shù)法則和中心極限定理是蒙特卡洛方法的基礎。 1 大數(shù)法則 反映了大量隨機數(shù)之和的性質。 如果函數(shù)在 [a,b]區(qū)間 ， 以 均勻 的概率分布密度隨機地取 n個數(shù) ui， 對每個計算出函數(shù)值 h[ui]。 大數(shù)法則告訴我們這些函數(shù)值之和除以 n所得的值將收斂于函數(shù) h在區(qū)間 [a,b]的期望值 ， 即 nnniinbaIuhnduuhabI????????? ?? lim)(1lim)(11 大數(shù)法則保證了在抽取 足夠多 的隨機樣本后 ， 計算得到的積分的蒙特卡洛 估計值 將收斂于該積分的 正確結果 。 28 2 中心極限定理 中心極限定理 告訴我們：在有足夠大 ， 但又有限的抽樣數(shù) n的情況下 ， 蒙特卡洛 估計值 是如何 分布 的 。 該定理指出：無論隨機變量的分布如何 ， 它的若干個獨立隨機變量抽樣值之和總是滿足正則分布 (即高斯分布 )。 例如： 有一個隨機變量 η， 它滿足分布密度函數(shù) f(x)。 如果我們將 n個滿足分布密度函數(shù) f(x)的獨立隨機數(shù)相加： nnR ??? ?????? 21 則 Rn滿足高斯分布 。 高斯分布可以由給定的期望值 μ和方差 σ完全確定下來 。 ]2/)(e xp [21),N( 222 ?????? ??? x29 IduuhabIuhn bannniin ???? ?? ?????)(1lim)(1lim1]2/)(e xp [21),N( 222 ?????? ??? x當 n充分大時 ， 對任意的 λ， 由列維定理知： })()({l i m nfIInfP nn???? ??????nfIIn)(????這說明 ， 該積分的 期望值 與蒙特卡羅 估計值 之差在范圍 ?? ? ??? ???? 121 2/2 dte t內的 概率為 1 α。 30 nfIIn)(????積分的 期望值 與蒙特卡羅 估計值 之差在范圍 內的 概率為 1 α。 顯著水平 ： α ，置信水平： 1 α 。 減小蒙特卡羅 估計值 標準誤差的辦法： (1) 適當選取最優(yōu)的隨機變量，使其方差變??； (2) 提高實驗次數(shù)； 這里蒙特卡羅方法 精度 的概念不是通常意義下收斂真值 ，而是在某一置信度 ， 或者說是某一概率下收斂于真值 。 σ2為蒙特卡羅 估計值 標準誤差， nfV /)(2 ??31 蒙特卡羅方法的特點 ? 優(yōu)點 1) 能夠比較逼真地描述具有隨機性質的事物的特點及物理實驗過程。 2) 受幾何條件限制小。 3) 收斂速度與問題的維數(shù)無關。 4) 具有同時計算多個方案與多個未知量的能力。 5) 誤差容易確定。 6) 程序結構簡單，易于實現(xiàn)。 ? 缺點 1) 收斂速度慢。 2) 誤差具有概率性。 3) 在粒子輸運問題中，計算結果與系統(tǒng)大小有關。
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