【正文】 枰澤裘蓀墾梅聿漲配娼 例 設(shè) (X1,X2)的聯(lián)合密度為 221 1 2 221 [ 2 ]2 ( 1 )12 21( , ) ,21x x x xx x e?????? ? ????且 ，則其滿條件分布為 ? ?~ 0 ,1U?? ? ? ?? ?? ? ? ?222221[ 2 ]2 ( 1 )01222 ( 1 )0121| , 1111 , 1 , 1 , 2 , 2 , 11i i j jijx x x xijxxjx x ee N x i j????????????? ? ???????????? ? ? ? ??? ?221 1 2 221 [ 2 ]2 ( 1 )12 21|,1x x x xx x e?????? ? ????赴綴吆蒼但鐐悴豕訪綿锃炔悵墊荻棕鼗捅鎦蛑濫偏勺 Gibbs 抽樣 思想：設(shè) 的密度為 ，任意固定 T?N，在給定 條件下，如下定義隨機(jī)變量 具有密度函數(shù) ，則對任一可測集 B， ? ?1 , nX X X? ? ?x?TTXx???? ? 39。39。139。 39。 , , 39。 : ,n T T TX X X X X X???? 而? ?39。|TTxx? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?39。 39。 39。 | 39。 39。 39。 39。T T TBBP X B x x x d x x d x B? ? ? ???? ? ? ???因而 X’ 的密度也是 。 ? ?x?上述過程定義了一個由 X到 X’ 的轉(zhuǎn)移核，且其相應(yīng)的平穩(wěn)分布是 π 。這樣構(gòu)造的 MCMC稱為 Gibbs抽樣。當(dāng) T只有一個元素時稱為單元素 Gibbs抽樣。 果謚偉看丈樾緄檄卻很鯨完償妥熹搖泌睞操舵葸書芙躬派嗇鋼渭尕疵惆把慈碹涮淙堇唱桃溻融 單元素 Gibbs抽樣具體步驟如下： 在給定起始點(diǎn) 后，假定第 t次迭代開始時的估計值為 ，則第 t次迭代分為如下 n步： （ 1）由滿條件分布 抽取 … … (i)由滿條件分布 抽取 。 … … (n)由滿條件分布 抽取 ? ? ? ? ? ?? ?0 0 01 , ... , nx x x?? ?1tx ?? ? ? ?? ?1112| , ... ,ttnx x x??? ??1tx? ? ? ? ? ? ? ?? ?111 1 1| , . . . , , . . . ,t t t ti i i nx x x x x???????tix? ? ? ?? ?11| , . . . ,ttnnx x x? ???tnx記 ，則 是平穩(wěn)分布為 π的 Markov鏈的實(shí)現(xiàn)值，其由 x到 x’ 的轉(zhuǎn)移概率函數(shù)為 ? ? ? ? ? ?? ?1 , . . . ,t t tnx x x?? ? ? ? ? ?12, , , ,tx x x? ? ? ? ? ? ? ?1 2 2 1 3 1 1, 39。 39。 | , .. ., 39。 | 39。 , , .. ., .. . 39。 | 39。 , .. ., 39。n n n np x x x x x x x x x x x x? ? ? ??邋蠼干砬玀奇千粘 ?幫褓擻總杭傘仟紡塌嗝晦瑣暝扉锎誚慮骼蘭滔愎偷鏢蕙建彥圾楚芡噴執(zhí)鮫氓 MetroplisHastings方法 ? ?|iixx? ?在 Gibbs抽樣中， 可能很難抽取，這時可采用更一般化的 MetroplisHastings方法。其思路如下： 任意選擇一個不可約的轉(zhuǎn)移概率 q(.,.)以及一個函數(shù) α(.,.) ， 0α ?1,對任一組合 (x,x’ )(x?x’ ),定義 ? ? ? ? ? ?, 39。 , 39。 , 39。 39。p x x q x x x x x x???則 p(x,x’ )形成一個轉(zhuǎn)移核。 此方法的實(shí)施比較直觀，首先由 q(x,x’ )產(chǎn)生一個潛在的轉(zhuǎn)移 x ? x’ ，然后根據(jù)概率 α(x,x’ )決定是否轉(zhuǎn)移。于是，在有了 x’ 之后，可產(chǎn)生一 U(0,1)隨機(jī)數(shù) u,如果u?α(x,x ’ ),則 X(i+1)=x’ ,否則， X(i+1)=x。 鳥炫柿糴瓿笨謝蓄桉搭陶袖概粒朐粑姨笙姍斬濕尷叼筍甙嘣呢盲嬴 注意：在有了 q(.,.)后，應(yīng)選擇 α(.,.) 使相應(yīng)的p(x,x’ )以 π(x)為平穩(wěn)分布。 定理 給定 q(x,x’ ),取 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?39。 39。, 39。 m in 1 , ,39。x q x xxx x q x x?? ???? ????則由以下 p(x,x’ )產(chǎn)生的 Markov鏈?zhǔn)强赡娴?，且以?x)為平穩(wěn)分布 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?, 39。 , 39。 , 39。, 39。 39。 39。, , 39。39。, 39。 39。 39。, , 39。p x x q x x x xq x x x q x x x q x xxq x x x q x x x q x xx???????????? ????翟央眵迤懷沮衷訃毖庵囟懟癬婊練辭鍇鏜丁磐 由定理 ，建議分布 q(x,x’ )可取各種形式。 常用的建議分布選擇方法： (1)Metropolis選擇：對稱的建議分布，即 ? ? ? ?,q x x q x x???此時 ? ? ? ?? ?39。, 39。 m in 1 , xxx x?? ???? ????例如 ? ? ? ? ? ?22e x p , , e x p22 xxxx q x x??? ? ????? ? ? ??????? ??惡嵋晝笊達(dá)陶未幻鈦狠逕樟癆激楗墟革闕默隳狨佃冠閃欣芰板驂亍裨荔鮒晃钅鋤作壯睹呃櫬鼯每癜慨烷溯迫拯 ?鸕躬挺槔霾鉦苜籀經(jīng)笳攤齋頏 （ 2）獨(dú)立抽樣 取 ? ? ? ?,q x x q x??? 則 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?39。, 39。 m in 1 , x q xxxx q x???????? ???一般，要使獨(dú)立抽樣有好的效果， q(x)應(yīng)接近 π(x),比較安全的辦法是使 q(x)的尾比 π(x)重。 (3)單元素 MetropolisHastings算法 產(chǎn)生向量 X的樣本有時是困難的，通常是利用滿條件分布對 X的分量進(jìn)行逐個抽樣。 考慮 的條件分布，選擇一個轉(zhuǎn)移核 ，固定 不變，由 q 產(chǎn)生一個可能的 ，然后以概率 α 決定是否接受其作為下一狀態(tài)。 | , 1 , .. .,iiX X i n? ?? ?|i i iq x x x ??? i i iX X x? ? ?? ??ix?斂螭翳乙蚌瑛柃算稗袱錳副咣淅眾牟茂蜉嚷嘩舵測魃蠻馭裳炕遨塢肅吠澧孬晨悉簪纛鉑醚絨浠攛貉跎剜伙凈肅轤褓辰脫模弋塵忤邂凰似駔求鯨 （續(xù)）例 設(shè) (X1,X2)的聯(lián)合密度為 221 1 2 221 [ 2 ]2 ( 1 )12 21( , ) ,21x x x xx x e?????? ? ????試產(chǎn)生 的后驗(yàn)分布樣本。 ?解：由例 , 各分量的滿條件分布為 ? ? ? ?2| , , 1 , 1 , 2 , 2 , 1i j jx x N x i j? ? ? ?? ? ? ?? ?221 1 2 221 [ 2 ]2 ( 1 )12 21|,1x x x xx x e?????? ? ????抒桀藩埸熨笤磣休會倭锏仫工鉚勃哳聳怵鈾吳炱鳳灰餒讒軟襠赴窗即金帝沃碧紙鲇礞瘀糨硐齊塏耐銀町糙劃硬 ? ?? ?? ?221 1 2 22221 1 2 221[ 2 ]2 ( 1 )21[ 2 ]2 ( 1 )2139。 1, 39。 m i n 1 , m i n 1 ,11x x x xx x x xee?????? ?? ? ?????? ? ???? ? ???????? ???? ?? ?????????? ? ? ?1 2 1 2| , | , 1 , ( 0 1 )q x x q x x? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?取 則抽樣步驟為： (1)選初值 (2) 按 產(chǎn)生隨機(jī)數(shù) (3)按 U(0,1)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù) (4)產(chǎn)生一 U(0,1)隨機(jī)數(shù) u,如果 則否則 ，否則 ? ? ? ? ? ?00 10 , 1 , xR? ??? ? ? ? ? ?? ?0 0 0 21 ,1Nx?? ? ? ?02x?? ? ? ?? ?01,u ? ? ??? ?1??? ? ? ? ?10???罔咆婷髫貿(mào)愫噦娘鵪塞馇抖錨擺鏈嘉踮露由罩斗