數(shù)學(xué)分析(二)知識點(diǎn)總結(jié)-資料下載頁
2025-08-05 07:29本頁面
【正文】 數(shù)存在收斂半徑。 收斂半徑的求法： （ 1）根式法， （ 2）比式法， 定理 2 如果冪級數(shù) ??? 0nnn xa 的所有系數(shù) 0?na ,設(shè) ?????nnn aa 1lim ( 或 ????nnn al i m )(1 ) 則當(dāng) 0?? 時(shí) ,??1R 。(3) 當(dāng) ???? 時(shí) , 0?R .( 2 ) 當(dāng) 0?? 時(shí) , ???R 。這個(gè)方法不適合求缺項(xiàng)級數(shù)的收斂半徑。 冪級數(shù)在收斂區(qū)間端點(diǎn)的收斂情況，轉(zhuǎn)化成數(shù)項(xiàng)級數(shù)的判斂問題。 二、冪級數(shù)的性質(zhì) （ 1）在收斂區(qū)間內(nèi)閉一致收斂， （ 2）和函數(shù)在收斂區(qū)間連續(xù)， （ 3）在收斂區(qū)間可以逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積，且所得冪級數(shù)收斂半徑不變。 三、冪級數(shù)的求和 通常采用逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積，并利用一些已知級數(shù)的和函數(shù)。 .1|| ,1 1 0??????xxxnn常用注意這個(gè)級數(shù)的各種變異。 記住下列冪級數(shù)的和函數(shù)： 。1 1)1(0 xxnn?????。1 1)1()4( 202xxnnn??????。1)3( 202xaaxnn?????。1 1)()2(0 xxnn??????.1|| ?x四、函數(shù)展開成冪級數(shù) 如果 )( xf 在點(diǎn) 0x 處任意階可導(dǎo) , 則冪級數(shù)nnnxxnxf)(!)(000)(????稱為 )( xf 在點(diǎn) 0x 的 泰勒級數(shù) . 如果 f(x) 能展成冪級數(shù)，則這個(gè)冪級數(shù)是唯一的，就是 f(x)的泰勒級數(shù)。 ? 0)(lim ???xR nn. 如果 )( xf 在點(diǎn) 0x 處任意階可導(dǎo) , 則 f ( x ) ～ nnnxxnxf)(!)(000)(????. f ( x ) = nnnxxn xf )(! )( 000)(???? (泰勒級數(shù)法 ) 步驟 : 不能展成冪級數(shù)；不存在，說明，若求)()(!)()1( 0)(0)(xfxfnxfa knn ?).()(0)(limxfIxfxR n內(nèi)收斂于區(qū)間的泰勒級數(shù)在收斂，則若 ?,0)(lim(2 ) IxR nn 的范圍考察 ??? 根據(jù)唯一性 , 利用常見展開式 , 通過 變量代換 , 四則運(yùn)算 , 恒等變形 , 逐項(xiàng)求導(dǎo) , 逐項(xiàng)積分 等方法 ,求展開式 . 記住幾個(gè)特殊函數(shù)的展開式： ),1l n ( ,1 1 ,1 1 ,c o s ,s i n , xxxxxe x ???注意收斂范圍。 本章討論了下面三類問題： 冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域。 冪級數(shù)的一致收斂性，及和函數(shù)的性質(zhì)。 函數(shù)展開成冪級數(shù)的條件及方法。 請同學(xué)體會求冪級數(shù)和函數(shù)的方法，并注意在逐項(xiàng)求積時(shí)，收斂域可能擴(kuò)大，只要冪級數(shù)在端點(diǎn)收斂，而和函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)有定義，那么和函數(shù)成立的區(qū)間就可以包含這個(gè)端點(diǎn)。（ 這是 果 ） 逐項(xiàng)求導(dǎo)時(shí)，一般收斂域會減少。 如 ,)(12????nnnxxf ,)(11??????nnnxxf,)1()(22????????nnnxnxf 它們的收斂半徑都是 1, 但它們的收斂域各是 )1,1(),1,1[],1,1[ ???第十五章 傅里葉級數(shù)的理論基礎(chǔ)： ?? ,s i n,co s,2s i n,2co s,s i n,co s,1 nxnxxxxx三角函數(shù)系的正交性 （ 1）它們的最小公共周期為 ,2?（ 2）任何兩個(gè)不同的函數(shù)相乘在 上積分為 0， ],[ ???（ 3）任何一個(gè)函數(shù)的平方在 上積分不為 0， ],[ ???本章重點(diǎn)研究函數(shù)展成三角級數(shù)的方法。 如果 f(x)能展成一致收斂的三角級數(shù)，則這個(gè)三角級數(shù)必是 f(x) 的傅里葉級數(shù)。 ???????????????????),2,1(,s i n)(1),2,1,0(,c o s)(1??nn x d xxfbnn x d xxfann f(x)的傅里葉系數(shù) f(x)的傅里葉級數(shù) ? ???? 10 )s i nc o s(2 n nn nxbnxaa),2,1,0(,c o s)(1 ???? ?? ndxl xnxfla l ln),2,1(,s i n)(1 ???? ?? ndxl xnxflb l ln)s i nc o s(210lxnblxnaannn??????? f(x)的傅里葉系數(shù) f(x)的傅里葉級數(shù) 收斂定理 設(shè) )( xf 是以 ?2 為周期的周期函數(shù) . 如果 f( x ) 在],[ ??? 按段光滑 , 則 )( xf 的傅里葉級數(shù)收斂 ， 且 2)0()0( ??? xfxf= ?????10 )s i nc o s(2 n nn nxbnxaa ，且則它的傅里葉級數(shù)收斂按段光滑在且的周期函數(shù)設(shè)周期為,],[)(),(2 llxfxfl ?),s i nc o s(22 )0()0(10lxnblxnaaxfxfnnn??????????? 如果 )( xf 為奇函數(shù) , 則傅氏級數(shù)為 l xnbnn?si n1??? 如果 )( xf 為偶函數(shù) , 則傅氏級數(shù)為 l xnaann?cos2 10 ???? 本章常見題型： 展成傅里葉級數(shù)。將收斂定理，）為周期的函數(shù)，滿足（是以、f( x )lxf 22)(1 ?展成傅里葉級數(shù)。將，有定義，滿足收斂定理，或，只在、f( x )llxf ][][)(2 ?? ??數(shù)。展成正弦級數(shù)或余弦級將有定義，且按段光滑，或，只在、f( x)lxf ]0[]0[)(3 ?對 f(x)作周期延拓，使之成為周期為 2 （ 2l）的函數(shù)。 ?）的奇函數(shù)或偶函數(shù)。（周期為作周期延拓，使之成為作奇延拓或偶延拓，再對lxf22)(?展成三角級數(shù)。將有定義，且按段光滑，或，只在、f( x)lxf ]0[]0[)(4 ?）的函數(shù)。（為周期為再作周期延拓，使之成或，域?yàn)樽魅我庋油?，使其定義對lllxf22],[][)(??? ??此時(shí)答案不唯一。 上述 3類問題，均不需把延拓結(jié)果寫出。
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