數(shù)列極限部分較難習(xí)題-資料下載頁(yè)
2025-08-05 07:27本頁(yè)面
【正文】 界原理）若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加且有界，則極限都存在.六．兩個(gè)重要極限 在前面，用夾逼準(zhǔn)則分別得到的兩個(gè)極限以后要經(jīng)常用到，故特單獨(dú)提出來(lái)，冠以“兩個(gè)重要極限”.它們是： （1）或； （2）.例20．；例21．；例22．；例23．；例24．；例25．；例26．；例27．；例28．；例29．；例30．.注意：以上的例24至例30 的結(jié)論要會(huì)背.第一章 函數(shù)的極限第三節(jié) 無(wú)窮小與無(wú)窮大一．無(wú)窮大1．無(wú)窮大的概念（1）定義1（描述性的定義）如果當(dāng)或（）時(shí)，可以任意地大（即可以大于預(yù)先指定的任何很大的正數(shù)M），這時(shí)，稱為“當(dāng)”時(shí)（或“當(dāng)”時(shí)）的無(wú)窮大，記為：.（2）.定義1的 等價(jià)定義（數(shù)學(xué)定義）：如果對(duì)（無(wú)論它多大），總，使當(dāng)時(shí)，都有：，這時(shí)，稱為“當(dāng)”時(shí)（或“當(dāng)”時(shí)）的無(wú)窮大，記為：.2．幾點(diǎn)注意（1）無(wú)窮大是一個(gè)函數(shù)，而非一個(gè)很大很大的數(shù)！（2）同一個(gè)函數(shù)是否為無(wú)窮大要結(jié)合具體的極限過(guò)程.（3）只是形式記號(hào)，不是說(shuō)， 存在，而恰恰相反，它是極限不存在的情形之一.（4）代表無(wú)窮大的符號(hào)不是實(shí)數(shù)，對(duì)它不能進(jìn)行任何運(yùn)算。（5）試考慮以下的極限如何定義：或？二．無(wú)窮小1．無(wú)窮小的概念（1）定義2（描述性的定義）：如果當(dāng)或（）時(shí)，則稱為“當(dāng)”時(shí)（或“當(dāng)”時(shí)）的無(wú)窮小.（2）定義2的等價(jià)定義（數(shù)學(xué)定義）：如果對(duì)，使當(dāng)時(shí)（或時(shí)），有，這時(shí)稱為“當(dāng)”時(shí)（或“當(dāng)”時(shí)）的無(wú)窮小.注意：（1）無(wú)窮小其實(shí)就是本章第一節(jié)中講過(guò)的極限為0的函數(shù)而已；（2）不可把無(wú)窮小理解為很小很小的數(shù)；（3）同一函數(shù)是否無(wú)窮小還要結(jié)合具體的極限過(guò)程；（4）但是任何極限過(guò)程中的無(wú)窮小.2．無(wú)窮小與有極限函數(shù)間的關(guān)系定理1.三．無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系，如果為無(wú)窮大，則為無(wú)窮小；反之，如果為無(wú)窮小，而且，則為無(wú)窮大.四．無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì) （1） （2） （3）有界函數(shù)乘以無(wú)窮小還是無(wú)窮??；推論：推廣：有限個(gè)無(wú)窮小之和或乘積仍為無(wú)窮小。注意：前面提到過(guò)的函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則可利用無(wú)窮小的性質(zhì)及無(wú)窮小與有極限函數(shù)間的關(guān)系證明.五．無(wú)窮小的比較1．， （1）若則稱是的高階無(wú)窮小，計(jì)為； （2）若，則稱是與同階的無(wú)窮??；（3）若則稱是與等價(jià)的無(wú)窮小，計(jì)為；（4）若（k是正數(shù)），稱是的k階無(wú)窮小.注意：（1）等價(jià)無(wú)窮小是同階無(wú)窮小的特例； （2）等價(jià)無(wú)窮小的三性質(zhì)：反身性、對(duì)稱性、傳遞性.例如：，則稱是的二階無(wú)窮小.2．幾種常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小 .3．等價(jià)無(wú)窮小替換（設(shè)為）的四個(gè)無(wú)窮小，且有存在（或?yàn)椋瑒t也存在（或?yàn)椋?并且=.；解法一：解法二：.注意：解法二是對(duì)的而解法一是錯(cuò)誤的，為何？請(qǐng)大家自己思考：.練習(xí)： 求；.（設(shè)為）的四個(gè)無(wú)窮小，且有存在（或?yàn)椋瑒t也存在（或?yàn)椋?26
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