歸納數(shù)列求和各種方法-資料下載頁
2025-08-05 06:50本頁面
【正文】 12 n ＋ 1， ∴ Sn＝12??????????????1 －13＋??????13－15＋ … ＋????????12 n － 1－12 n ＋ 1 ＝12????????1 －12 n ＋ 1＝n2 n ＋ 1. [ 理 ] (2022 西南大學附中月考 ) 已知函數(shù) f ( x ) ＝ 2 x ＋ 1 ， g ( x ) ＝ x ， x ∈ R ，數(shù)列 { a n } ， { b n } 滿足條件： a 1 ＝ 1 ， a n ＝ f ( b n ) ＝ g ( b n ＋ 1 ) ， n ∈ N*. (1) 求證：數(shù)列 { b n ＋ 1} 為等比數(shù)列； (2) 令 C n ＝2na n a n ＋ 1， T n 是數(shù)列 { C n } 的前 n 項和，求使 T n 2 01 12 012成立的 最小的 n 值． 解： (1)證明：由題意得 2bn＋ 1＝ bn＋ 1， ∴ bn＋ 1＋ 1＝ 2bn＋ 2＝ 2(bn＋ 1)． 又 ∵ a1＝ 2b1＋ 1＝ 1， ∴ b1＝ 0， b1＋ 1＝ 1≠0. 故數(shù)列 {bn＋ 1}是以 1為首項， 2為公比的等比數(shù)列． (2) 由 (1) 可知， bn＋ 1 ＝ 2n － 1， ∴ an＝ 2 bn＋ 1 ＝ 2n－ 1. 故 Cn＝2nan an ＋ 1＝2n? 2n－ 1 ?? 2n ＋ 1－ 1 ?＝12n－ 1－12n ＋ 1－ 1. ∴ Tn＝ C1＋ C2＋ … ＋ Cn ＝ (1 －13) ＋ (13－17) ＋ … ＋ (12n－ 1－12n ＋ 1－ 1) ＝ 1 －12n ＋ 1－ 1. 由 Tn2 0 112 012，得 2n ＋ 12 013 ，解得 n ≥ 10. ∴ 滿足條件的 n 的最小值為 10. (12分 )(2022四川高考 )已知等差數(shù)列 {an}的前 3項和為 6，前 8項和為－ 4. (1)求數(shù)列 {an}的通項公式； (2)設 bn＝ (4－ an)qn－ 1(q≠0， n∈ N*)，求數(shù)列 {bn}的前 n項和 Sn. ( 1) an＝ 3 － ( n － 1) ＝ 4 － n ( 2) 由 ( 1) 可得， bn＝ n qn－1，于是 Sn＝ 1 q0＋ 2 q1＋ 3 q2＋ … ＋ n qn－1 若 q ≠ 1 ，將上式兩邊同乘以 q 有 qSn＝ 1 q1＋ 2 q2＋ … ＋ ( n － 1 ) qn－1＋ n qn 兩式相減得到 ( q － 1) Sn＝ nqn－ 1 － q1－ q2－ … － qn － 1(7 分 ) ＝ nqn－qn－ 1q － 1＝n qn ＋ 1－ ? n ＋ 1 ? qn＋ 1q － 1. 于是， Sn＝nqn ＋ 1－ ? n ＋ 1 ? qn＋ 1? q － 1 ?2.(9 分 ) 若 q ＝ 1 ，則 Sn＝ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ n ＝n ? n ＋ 1 ?2.(1 1 分 ) 所以， Sn＝??????? n ? n ＋ 1 ?2 ? q ＝ 1 ? ，nqn ＋ 1－ ? n ＋ 1 ? qn＋ 1? q － 1 ?2 ? q ≠ 1 ? .(12 分 )
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