歸納數(shù)列求和各種方法-預(yù)覽頁
【正文】 解或錯位相減來完成． ②不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列，往往通過裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等來求和． [例 1] (2022 3n － 1) ＝ 2( － 2) ＝－ n2＋ 20 n . (2) 由題意知 bn－ an＝ 3n － 1，所以 bn＝ 3n － 1＋ an＝ 3n － 1－ 2 n ＋ 21. Tn＝ Sn＋ (1 ＋ 3 ＋ … ＋ 3n － 1) ＝－ n2＋ 20 n ＋3n－ 12. [沖關(guān)錦囊 ] 分組求和常見類型及方法 (1)an＝ kn＋ b，利用等差數(shù)列前 n項和公式直接求解； (2)an＝ aan}的前 n項和 Sn. 解： Sn＝ a1＋ 2 a2＋ 22a3＋ … ＋ 2n － 1an① 2 Sn＝ 2 a1＋ 22a2＋ 23a3＋ … ＋ 2nan② ① － ② 得 － Sn＝ a1＋ 2( a2－ a1) ＋ 22( a3－ a2) ＋ … ＋ 2n － 1( an－ an － 1) － 2nan ＝ 1 － (2 ＋ 22＋ … ＋ 2n － 1) － 2n(2 － n ) ＝ 1 －2 ? 1 － 2n － 1?1 － 2－ 2n ＋ 1＋ n 溫州 調(diào)研 ) 將函數(shù) f ( x ) ＝ sin14x sin12( x ＋ 3π) ＝－14sin x . 其極值點為 x ＝ k π ＋π2( k ∈ Z) ． 它在 (0 ，＋ ∞ ) 內(nèi)的全部極值點構(gòu)成以π2為首項， π 為公差的等差數(shù)列． ∴ an＝π2＋ ( n － 1)22＋ … ＋ (2 n － 3 )23＋ … ＋ (2 n － 3 )22＋ 2 2n＋ 3] ． [沖關(guān)錦囊 ] 用錯位相減法求和時，應(yīng)注意 (1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù) 的情形； (2)在寫出 “Sn”與 “qSn”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式 “ 錯項對齊 ”以便下一步準確寫出 “Sn－ qSn”的表達式 . [ 精析考題 ] [ 例 3] (201 1 西南大學(xué)附中月考 ) 已知函數(shù) f ( x ) ＝ 2 x ＋ 1 ， g ( x ) ＝ x ， x ∈ R ，數(shù)列 { a n } ， { b n } 滿足條件： a 1 ＝ 1 ， a n ＝ f ( b n ) ＝ g ( b n ＋ 1 ) ， n ∈ N*. (1) 求證：數(shù)列 { b n ＋ 1} 為等比數(shù)列； (2) 令 C n ＝2na n qn－1，于是 Sn＝ 1 qn－1 若 q ≠ 1 ，將上式兩邊同乘以 q 有 qSn＝ 1 qn 兩式相減得到 ( q － 1) Sn＝ nqn－ 1 － q1－ q2－ … － qn － 1(7 分 ) ＝ nqn－qn－ 1q － 1＝n qn ＋ 1－ ? n ＋ 1 ? qn＋ 1q － 1. 于是， Sn＝nqn ＋ 1－ ? n ＋ 1 ? qn＋ 1? q － 1 ?2.(9 分 ) 若 q ＝ 1 ，則 Sn＝ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ n ＝n ? n ＋ 1 ?2.(1 1 分 ) 所以， Sn＝??????? n ? n ＋ 1 ?2 ? q ＝ 1 ? ，nqn ＋ 1－ ? n ＋ 1 ? qn＋ 1? q － 1 ?2 ? q ≠ 1 ? .(12 分 )
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