【正文】 功內(nèi)力功由得若塑性鉸在、處形成，設(shè)到得距離為，此時(shí)有外力功內(nèi)力功由得令得將代入的表達(dá)式比較以上兩種可知該梁的極限荷載為解2：該連續(xù)梁形成破壞機(jī)構(gòu)有如下三種形式：（1） 形成兩個(gè)塑性鉸產(chǎn)生局部破壞有兩處可能，圖（b）、形成塑性鉸故 由得圖（c）、兩點(diǎn)形成塑性鉸，此時(shí)有故由得（2） 形成三個(gè)塑性鉸，產(chǎn)生局部破壞有三種可能：圖（d）在、三點(diǎn)形成塑性鉸，此時(shí)有由得圖（e）在、三點(diǎn)形成塑性鉸，此時(shí) 由得圖（f）在、三點(diǎn)形成塑性鉸，此時(shí) 由得（3） 形成三個(gè)塑性鉸，產(chǎn)生整體破壞，只有一種可能性，如圖（g），此時(shí)由得比較上述六種情況，以（g）的情況為最小，而且此載荷滿足的塑性彎矩條件。故破壞載荷為解3：該梁的可能破壞結(jié)構(gòu)與第一題完全相同若塑性鉸在、處形成若塑性鉸在、處形成比較可知梁的極限載荷為解4：此梁為一次超靜定結(jié)構(gòu)，當(dāng)形成兩個(gè)塑性鉸時(shí)，梁即成為破壞機(jī)構(gòu)，其破壞形式有（b）（c）（d）三種可能。按圖（b）形式破壞時(shí) 由得按圖（c）形式破壞時(shí)，同上得按圖（d）形式破壞時(shí) 由得比較得．解（a）設(shè)如圖在四點(diǎn)形成塑性鉸，由得得且此值滿足，條件所以解2：如圖設(shè)在四點(diǎn)形成塑性鉸，由點(diǎn)到點(diǎn)的距離待定。由得化簡(jiǎn)得令得故 解3：如圖設(shè)在等處形成塑性鉸。外力功內(nèi)力功由得故，受半徑為軸對(duì)稱均布載荷作用，試求其極限載荷． 解：圓板的平衡方程為當(dāng)，對(duì)應(yīng)于條件的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)于條件的B點(diǎn)，圓板從0到對(duì)應(yīng)圖上的線，即，故平衡方程可寫(xiě)為在處，存在如下平衡關(guān)系：即平衡方程為積分上式得由處，所以因此有在處即故此時(shí)區(qū)域的平衡方程為積分上式得在處連續(xù)條件，可得如因此有當(dāng)時(shí)，如得此式即為所求的極限載荷。，利用上限定理求極限載荷q.解 1）對(duì)破損機(jī)構(gòu)（a）可得由，得代入上式，得 （a）2）對(duì)破損機(jī)構(gòu)（b） 由，得，代入上式得， （b）當(dāng)（a）式和（b）式相等時(shí)，故有，高度h線性變化的矩形截面梁，簡(jiǎn)支座截面高為，固定端處截面高為。集中力據(jù)簡(jiǎn)支端距離為，對(duì)兩種情況用上限方法求塑性極限載荷P值。解 由于各截面的值不同，因此除集中力作用點(diǎn)能形成鉸外，另一鉸距點(diǎn)距離為，而不一定總在固定端，如圖所示。由外力功率，內(nèi)力功率，得令，得 （a）上式中是定值，調(diào)整使最小，由，得 （b）1） 當(dāng)時(shí)，即，代入（b）式，得。因?yàn)?，而現(xiàn)在，故最小值的只能取在固定端處，將代入（a）式，得2） 當(dāng)時(shí)，即，代入（b）式，得。因?yàn)?，這表明鉸不在固定端，將代入（a）式，得 用上限和下限方法求圖示剛架的極限載荷P。解 1）上限法：圖示破損機(jī)構(gòu)（a），（b），（c），（d）都是分別由一個(gè)外載荷引起的。機(jī)構(gòu)（a），點(diǎn)8，10，11成鉸 （a）機(jī)構(gòu)（b），點(diǎn)4，5，6成鉸 （b）機(jī)構(gòu)（c），點(diǎn)1，4，6，9，11，12成鉸 （c）機(jī)構(gòu)（d），只上層剛架傾斜，點(diǎn)3，8，11，12成鉸 （d）對(duì)比之下，方案（c）對(duì)應(yīng)的值最小，為要進(jìn)一步減小值應(yīng)減小內(nèi)力功率，而增加外力功率所相應(yīng)的速度項(xiàng)。在圖示機(jī)構(gòu)（e）中，與機(jī)構(gòu)（c）時(shí)一樣，但較小，點(diǎn)1，6，9，10轉(zhuǎn)角為，而點(diǎn)4，10，12轉(zhuǎn)角為，由此得出 （e）這比機(jī)構(gòu)（c）有了進(jìn)一步改進(jìn)，是否最小的上限值還可用下限法作進(jìn)一步檢驗(yàn)。3） 下限法：從機(jī)構(gòu)（e）出發(fā)，規(guī)定桿內(nèi)表層受拉時(shí)彎矩為正，這時(shí)有，，，，未知的彎矩是?？闪谐銎胶夥匠虂?lái)求出這些未知彎矩。由結(jié)點(diǎn)的平衡，得，得由機(jī)構(gòu)（b），得平衡方程 得由機(jī)構(gòu)（c）得平衡方程 得由機(jī)構(gòu)（a），得平衡方程 得最后由結(jié)點(diǎn)的平衡，得 得由于所有的，故所得的又是極限載荷的下限，因此是極限載荷值。（即下限法）求圖示剛架的極限載荷P，要求把問(wèn)題歸結(jié)為標(biāo)準(zhǔn)的線性規(guī)劃問(wèn)題，并用單純形法求解。解 該鋼架為二次超靜定結(jié)構(gòu)，可以列出兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，選用兩種破損機(jī)構(gòu)作為虛位移，可由虛功原理求得兩個(gè)平衡方程為 （a）引進(jìn)量綱為一的量，則上式可表示成 （b）這些截面的彎矩絕對(duì)值不允許超過(guò)，故有 （c）標(biāo)準(zhǔn)的線性規(guī)劃問(wèn)題的提法為：求，使取極小值。并滿足下列約束條件： 現(xiàn)在要把滿足方程（b），（c）及使取最大值的問(wèn)題化成標(biāo)準(zhǔn)的線性規(guī)劃問(wèn)題，這時(shí)可作下列變換：（1）令 （2）令，把求最大變成求最小。（3）增加變量，使不等式約束變成等式約束。（4）在方程（b）中消去成為一個(gè)等式約束。這樣問(wèn)題就變成如下標(biāo)準(zhǔn)的線性規(guī)劃問(wèn)題：求，使最小。滿足：下面我們采用單純形法求解，用列表方式進(jìn)行。表中的值方程的系數(shù)，最后一行是的系數(shù)。初始基本可行解：取，基本變量為。由于滿足，故是基本可行解，對(duì)應(yīng)的。接著要進(jìn)行換基，從最后一行看有哪些的系數(shù)是負(fù)的，現(xiàn)在只有一個(gè)系數(shù)負(fù)的。因此要進(jìn)基，然后看這一列的系數(shù)，以這些系數(shù)為分母，右邊的系數(shù)為分子，第一行為，第四行為，其余的行分母為零不考慮，的值為最小，故取出基，對(duì)第3列進(jìn)行消去法，變成1，0，0，0，0，0形式，結(jié)果如下表：這時(shí)的解為。已經(jīng)比初始基本解有了進(jìn)步，但最后一行系數(shù)還有負(fù)的，故尚需換基，現(xiàn)在要進(jìn)基，由于第三行為，第四行為，因此要出基，將第二行消成0，0，1，0，0，0形式如下表所示：這時(shí)對(duì)應(yīng)的解為，由于最后一行系數(shù)都是正的，表示已求得線性規(guī)劃問(wèn)題的解，將結(jié)果恢復(fù)到原問(wèn)題則有這表示點(diǎn)1，2，4成鉸，對(duì)應(yīng)的破損機(jī)構(gòu)如圖所示。由于求線性規(guī)劃問(wèn)題的單純形法已有成熟的計(jì)算機(jī)程序可以利用，因此可以對(duì)復(fù)雜剛架用靜力法求極限載荷問(wèn)題，使用單純形法求解。，短半軸為b的橢圓環(huán)，受力如圖所示，假設(shè)環(huán)截面的屈服條件為，這里，分別表示純彎時(shí)的極限彎矩及純拉時(shí)的極限拉力，試用靜力法求極限載荷P,給定參數(shù)如下：，試給出隨的變化規(guī)律。解 由于對(duì)稱性，只取四分之一環(huán)，如圖所示。對(duì)點(diǎn)1取矩得 （a）由于只受集中力作用，只能是截面1，2進(jìn)入屈服，代入屈服條件，得 （b）代入式（a），得 （c）解出 （d）將等代入，可簡(jiǎn)化為 （e）使用上式時(shí)有如下限制，由（b）式 ， （f）由于，故，因此屈服條件要求即 （g）對(duì)不同的值代入（e）式，可得下列結(jié)果。020當(dāng)后，這就違反了（g）式，故（e）式只適用于情況。對(duì)于較大的值，圖示的彎矩符號(hào)都要改號(hào)，方程（a）變?yōu)? （h）類似的可導(dǎo)出與的關(guān)系為 （i）對(duì)不同的值，可求得值如下120當(dāng)時(shí)，違反式（g），故（i）式適用于范圍。對(duì)時(shí)，點(diǎn)2處已拉伸屈服，即使點(diǎn)1處未屈服，整個(gè)環(huán)也已破損，故這是都對(duì)應(yīng)于。 82