山東高考數(shù)學(xué)真題-資料下載頁
2025-08-05 06:01本頁面
【正文】 面角E﹣AF﹣C的平面角，在Rt△AOE中，，又F是PC的中點，在Rt△ASO中，又，在Rt△ESO中，即所求二面角的余弦值為．21．（12分）（2008?山東）已知函數(shù)，其中n∈N*，a為常數(shù)．（Ⅰ）當n=2時，求函數(shù)f（x）的極值；（Ⅱ）當a=1時，證明：對任意的正整數(shù)n，當x≥2時，有f（x）≤x﹣1．【分析】（1）欲求：“當n=2時，”的極值，利用導(dǎo)數(shù)，求其導(dǎo)函數(shù)的零點及單調(diào)性進行判斷即可；（2）欲證：“f（x）≤x﹣1”，令，利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，只要證明函數(shù)f（x）的最大值是x﹣1即可．【解答】解：（Ⅰ）解：由已知得函數(shù)f（x）的定義域為{x|x＞1}，當n=2時，所以．（1）當a＞0時，由f39。（x）=0得，此時．當x∈（1，x1）時，f39。（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當x∈（x1，+∞）時，f39。（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．（2）當a≤0時，f39。（x）＜0恒成立，所以f（x）無極值．綜上所述，n=2時，當a＞0時，f（x）在處取得極小值，極小值為．當a≤0時，f（x）無極值．（Ⅱ）證法一：因為a=1，所以．當n為偶數(shù)時，令，則（x≥2）．所以當x∈[2，+∞）時，g（x）單調(diào)遞增，又g（2）=0，因此恒成立，所以f（x）≤x﹣1成立．當n為奇數(shù)時，要證f（x）≤x﹣1，由于，所以只需證ln（x﹣1）≤x﹣1，令h（x）=x﹣1﹣ln（x﹣1），則（x≥2），所以當x∈[2，+∞）時，h（x）=x﹣1﹣ln（x﹣1）單調(diào)遞增，又h（2）=1＞0，所以當x≥2時，恒有h（x）＞0，即ln（x﹣1）＜x﹣1命題成立．綜上所述，結(jié)論成立．證法二：當a=1時，．當x≥2時，對任意的正整數(shù)n，恒有，故只需證明1+ln（x﹣1）≤x﹣1．令h（x）=x﹣1﹣（1+ln（x﹣1））=x﹣2﹣ln（x﹣1），x∈[2，+∞），則，當x≥2時，h39。（x）≥0，故h（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，因此當x≥2時，h（x）≥h（2）=0，即1+ln（x﹣1）≤x﹣1成立．故當x≥2時，有．即f（x）≤x﹣1．22．（14分）（2008?山東）如圖，設(shè)拋物線方程為x2=2py（p＞0），M為直線y=﹣2p上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B．（Ⅰ）求證：A，M，B三點的橫坐標成等差數(shù)列；（Ⅱ）已知當M點的坐標為（2，﹣2p）時，．求此時拋物線的方程；（Ⅲ）是否存在點M，使得點C關(guān)于直線AB的對稱點D在拋物線x2=2py（p＞0）上，其中，點C滿足（O為坐標原點）．若存在，求出所有適合題意的點M的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意先設(shè)出A，B和M的坐標，對拋物線方程求導(dǎo)，進而表示出AM，BM的斜率，則直線AM和BM的直線方程可得，聯(lián)立后整理求得2x0=x1+x2．推斷出A，M，B三點的橫坐標成等差數(shù)列．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，x0=2代入拋物線方程整理推斷出x1，x2是方程x2﹣4x﹣4p2=0的兩根，利用韋達定理求得x1+x2的值，表示出直線AB的方程，利用弦長公式求得|AB|，進而求得p，則拋物線的方程可得．（Ⅲ）設(shè)出D點的坐標，進而表示出C的坐標，則CD的中點的坐標可得，代入直線AB的方程，把D點坐標代入拋物線的方程，求得x3，然后討論x0=0和x0≠0時，兩種情況，分析出答案．【解答】解：（Ⅰ）證明：由題意設(shè)．由x2=2py得，得，所以，．因此直線MA的方程為，直線MB的方程為．所以，①．②由①、②得，因此，即2x0=x1+x2．所以A，M，B三點的橫坐標成等差數(shù)列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當x0=2時，將其代入①、②并整理得：x12﹣4x1﹣4p2=0，x22﹣4x2﹣4p2=0，所以x1，x2是方程x2﹣4x﹣4p2=0的兩根，因此x1+x2=4，x1x2=﹣4p2，又，所以．由弦長公式得．又，所以p=1或p=2，因此所求拋物線方程為x2=2y或x2=4y．（Ⅲ）解：設(shè)D（x3，y3），由題意得C（x1+x2，y1+y2），則CD的中點坐標為，設(shè)直線AB的方程為，由點Q在直線AB上，并注意到點也在直線AB上，代入得．若D（x3，y3）在拋物線上，則x32=2py3=2x0x3，因此x3=0或x3=2x0．即D（0，0）或．（1）當x0=0時，則x1+x2=2x0=0，此時，點M（0，﹣2p）適合題意．（2）當x0≠0，對于D（0，0），此時，=，又，AB⊥CD，所以，即x12+x22=﹣4p2，矛盾．對于，因為，此時直線CD平行于y軸，又，所以直線AB與直線CD不垂直，與題設(shè)矛盾，所以x0≠0時，不存在符合題意的M點．綜上所述，僅存在一點M（0，﹣2p）適合題意．參與本試卷答題和審題的老師有：wubh2011；rxl；yhx01248；翔宇老師；漲停；qiss；wdlxh；wdnah；zlzhan；sllwyn；楊南；danbo7801；小張老師；wsj1012；邢新麗；zhwsd（排名不分先后）菁優(yōu)網(wǎng)2016年4月12日21 / 21
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