向量組的線性相關習題-資料下載頁
2025-08-05 02:52本頁面
【正文】 注意 (3): 對非齊次線性方程組 Ax=b, 有時也把如題中所給的 n–r+1個解稱為 Ax=b的基礎解系 , 所不同的是它的線性組合只有當組合系數(shù)之和為 1時 , 才是方程組 Ax=b的解 . 注意 (2): 對齊次線性方程組 , 當 R(A)=r n 時 , 有無窮多組解 , 其中任一解可由其基礎解系線性表示 . 10. 設向量組 A: a1, a2, , am的秩為 p, 向量組 B: b1, b2, , bn的秩為 q, 向量組 C: a1, a2, , an, b1, b2, , bn的秩為 r, 證明 證明 : 顯然向量組 A和 B都可由向量組 C線性表示 . 因此有 , R(A) ? R(C), R(B) ? R(C), 即 Max{p, q} ? r . 設向量組 A, B的最大無關組分別為 A0, B0, 且 A0與B0中的所有向量構成向量組 D. 由于 R(A)=p, R(B)=q, 所以向量組 A0, B0中的向量個數(shù)分別為 p, q, 故向量組 D中的向量數(shù)僅為 p + q 個 . 又由于向量組 A0和 B0都可由向量組 D線性表示 , 從而 , 向量組 A和 B都可由向量組 D線性表示 , 所以 , R(D) ? p + q. Max{p, q} ? r ? p + q. C可由向量組 D線性表示 , 因此 , 故向量組 ? p+q. r = R(C) ? R(D) Max{p, q} ? r ? p + q. 因此得證 : 11. 證明 :R(A+B) ? R(A)+R(B). 證明 : 設 A=(a1, a2, , an), B=(b1, b2, , bn), 則 A+B =(a1+b1, a2+b2, , an+bn)=(c1, c2, , ), 顯然 , 向量組 c1, c2, , 即 a1+b1, a2+b2, , an+bn可以由向量組 a1, a2, , an, b1, b2, , bn線性表示 . 所以 , R(c1, c2, , ) ? R(a1, a2, , an, b1, b2, , bn), R(a1, a2, , an, b1, b2, , bn) 又由 習題 10知 , ? R(a1, a2, , an)+R(b1, b2, , bn) 因此 R(c1, c2, , ) ?R(a1, a2, , an)+R(b1, b2, , bn) 即 R(A+B) ? R(A)+R(B) 21. 設 A, B都是 n階方陣 , 且 AB=O, 證明 : R(A)+R(B) ? n. 證明 : 設 R(A)=r . 是以 A為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組 Ax=0的解向量 . 由 AB=O知 , B的每一個列向量都 (1) 當 r = n 時 , 齊次線性方程組 Ax=0只有零解 , 故 B=O, 此時有 , R(A)+R(B) = n + 0 = n, 結論成立 . (2) 當 r n 時 , 該齊次線性方程組 Ax=0的基礎解系中含有 n–r個向量 , 從而 , B的列向量組的秩 ? n–r , 即 R(B) ? n–r, 此時有 , R(A)+R(B) ? r + n – r = n. 綜上所述 , 結論成立 . 所以 , 由 習題 21結論可知 : R(A)+R(E–A) ? n. 再由 習題 11結論得 : R(A)+R(A–E) = R(A)+R(E–A) ? R(A+(E–A)) = R(E) = n. 因此 , 有 R(A)+R(A–E)=n. 22. 設 n階矩 A陣滿足 A2=A, E為 n階單位矩陣 , 證明 證明 : 由條件 A2=A得 , A(E–A)=O, R(A)+R(A–E)=n. (提示 : 利用題 11及題 21的結論 ) 例 : 設 A*為 n 階方陣 A的伴隨矩陣 , 證明 : (1) 當 R(A) = n 時 , R(A*) = n 。 (2) 當 R(A) = n – 1 時 , R(A*) = 1。 (3) 當 R(A) n – 1 時 , R(A*) = 0. 證明 : 已知 AA*=| A |E . (1): 當 R(A) = n 時 , 則 | A |?0, 所以 A和 A*均為可逆方陣 , 從而 R(A*) = n . (2): 當 R(A) = n – 1時 , 則 | A |= 0, 所以 AA*=O. 則由 習題 21得 , R(A) +R(A*) ? n , 因此 , R(A*) ? 1. 又由 R(A) = n – 1知 , A中至少有一個 n – 1階子式不為零 , 即 A*中至少有一個非零元素 , 所以 R(A*) ? 1, 從而 R(A*) = 1 . (3): 當 R(A) n – 1 時 , A中所有一個 n – 1階子式都 為零 , 故 A*=O, 所以 R(A*) = 0. 填空題 1. 設 a1=(2, –1, 0, 5),a2=(–4, –2, 3, 0),a3=(–1, 0, 1, k), a4=(–1, 0, 2, 1), 則 k ? 時 , a1, a2, a3, a4 線性無關 . 2. 設 a1=(2, –1, 3, 0), a2=(1, 2, 0, –2), a3=(0, –5, 3, 4), a4=(–1, 2, t, 0), 則 t = 時 , a1, a2, a3, a4 線性相關 . 3. 已知向量組 a1 = (1, 2, 3, 4), a2 = (2, 3, 4, 5), a3=(3, 4, 5, 6), a4=(4, 5, 6, 7), 則該向量組的秩 = . 4. n維單位向量組 e1, e2, , en均可由向量組 a1, a2, , as 線性表出 , 則向量個數(shù) s n. 任意實數(shù) 1352 ? 5. 已知 A = 則 R(A)= . ,1101001100001100001100101 6. 方程組 Ax=0 以 ?1= (1, 0, 2), ?2 = (0, 1, –1)為其基礎解系 , 則該方程的系數(shù)矩陣為 . 7. 設 a = (1, 2, 3)T, b = (1, 2, 3), A=ab , 則 R(A)= . 8. 向量組 a1= (1, 2, 3, 4), a2= (2, 3, 4, 5), a3=(3, 4, 5, 6), a4=(4, 5, 6, 7)的最大無關組是 . 5 (2 1 1) 1 a1, a2 任意兩個
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