向量組的線性相關(guān)習(xí)題-全文預(yù)覽
【正文】 例 3: 已知向量組 A: a1, a2, + krar + (k1t1 + k2t2 + , kr , 使得 k1a1 + k2a2 + + krar + (k1t1 + k2t2 + , ar (r ?2)線性相關(guān) , 證明 : 存在不全為零的數(shù) t1, t2, , am線性相關(guān) . 方法 2. 利用矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系 給出一組 n維向量 a1, a2, , am線性無關(guān) 。,?nr和非齊次線性方程組 Ax=b的一個特解 : ?*=(d1, d2, ,?nr的前 r個分量 : .100,010,001,2,12,2,22,121,1,21,11????????????????????=????????????????????=????????????????????=++++++???????cccccccccnrnnrnrrrrrrrr??? 3. 將其余 n–r個分量依次組成 n–r 階單位矩陣 , 于是得齊次線性方程組的一個 基礎(chǔ)解系 : 十、非齊次線性方程組 (1) 設(shè) x=?1 及 x=?2 都是方程組 Ax=b 的解 , 則 x=?1–?2為對應(yīng)齊次方程組 Ax=0的解 . (2) 設(shè) x=? 是方程組 Ax=b 的解 , x=? 是方程組 Ax=0 的解 , 則 x=?+? 仍為方程組 Ax=b 的解 . 解向量的性質(zhì) 求非齊次線性方程組的特解 用初等行變換將增廣矩陣 B化為最簡行階梯形 : ,000000000001000100011,1,2,21,21,11,1??????????????????++++??????????????????????????rrnrrrnrnrddddcccccc 當(dāng) dr+1?0時 , 則方程組 Ax=b 無解 。, ?t 線性表出 . 方程組 Ax = 0的基礎(chǔ)解系是不唯一的 . 如果向量組 ?1, ?2, , ?t 是 Ax = 0的一組 線性無關(guān)的解 。 解向量 . 解向量的性質(zhì) (1) 若 x = ?1, x = ?2為 Ax = 0的解 , 則 x =?1 + ?2也是Ax = 0的解 . (2) 若 x = ?1為 Ax = 0的解 , k為數(shù) , 則 x = k?1也是 Ax = 0的解 . 由以上兩個性質(zhì)可知 , 方程組的全體解向量所組成的集合 , 對于加法和數(shù)乘運(yùn)算是封閉的 , 因此構(gòu)成一個 向量空間 , 稱此向量空間為齊次線性方程組 Ax = 0的 解空間 . 定義 : 如果向量組 ?1, ?2, , ar為向量空間 V的一個 基 , 稱整數(shù) r 為向量空間 V的 維數(shù) , 并稱 V為 r 維向量空間 . 說明 1: 只含有零向量的向量空間稱為 0維向量空間 , 因此它沒有基． 說明 2: 若把向量空間 V看作向量組 , 那末 V的基就是向量組 V的最大無關(guān)組 , V的維數(shù)就是向量組的秩 . ? ? .,| 12211 RxV rrr ?+++== ??a?a?a? ?? 說明 3: 若向量組 a1, a2, 若 a ?V, ??R, 則 ?a ?V. ? ?RaaaxV mmm ?+++== ?????? ,| 212211 ??一般地 , 由向量組 a1, a2, , am, b 線性相關(guān) , 則向量 b 必能由向量組 A線性表示 , 且表示式是唯一的 . 定義 : 設(shè)有向量組 A, 如果在 A中能選出 r 個向量 A0: a1, a2, am中至少有一個向量可由其余 m–1個向量線性表示 . 定理 4: (1)若向量組 A:a1, a2, ,km , 使 k1a1 + k2a2 + , am)與 B=(a1, a2, ,km稱為這個線性組合的 系數(shù) . 給定向量組 A: a1, a2, , am, 對于任何一組實數(shù) k1, k2, (3) 向量方程 : a + x = b, 有唯一解 x = a b 。 (7) 數(shù)乘對向量加法的分配律 : k( a + b ) = ka + kb 。 (3) 對任一向量 a , 有 a +O = a。 列向量 . 向量的相等 。第一章 習(xí)題課 一、向量的定義 定義 : n 個有次序的數(shù) a1, a2, , an所組成的數(shù)組稱為 n維向量 , 這 n個數(shù)稱為該向量的 n個 分量 , 第 i 個數(shù) ai 稱為第 i 個分量 . 分量全為實數(shù)的向量稱為 實向量 , 分量為復(fù)數(shù)的向量稱為 復(fù)向量 . 行向量 。 (2) 加法結(jié)合律 : (a +b ) + g = a + ( b +g ) 。 (6) 數(shù)乘結(jié)合律 : k(l a) = (l k)a 。 (2) 若 ka = O, 則或者 k=0, 或者 a = O。,km, 向量 k1a1 + k2a2 + , am和向量 b, 如果存在一組數(shù) ?1, ?2, , am, b)的秩相等 . 定義 : 設(shè)有兩向量組 A: a1, a2, + kmam = O 則稱向量組 A是 線性相關(guān) 的 , 否則稱它是 線性無關(guān) . 定理 3: 向量組 a1, a2, , am線性相關(guān) , 則向量組 B: a1, a2, 反言之 , 若向量組 B線性無關(guān) , 則向量組 A也線性無關(guān) . ),2,1(,12121mjaaaaaaajrrjjjjrjjjj???=??????????????=????????????=+ba(2)設(shè) 即 aj 添上一個分量后得向量 bj.
畢業(yè)設(shè)計相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1