充分統(tǒng)計量與完備統(tǒng)計量-資料下載頁
2025-08-05 02:32本頁面
【正文】 得到廣泛應(yīng)用的分布族 —— 指數(shù)型分布族 。它包含了一些常用分布，如泊松分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布、二項分布和 ? 分布等，對這類分布族，尋找參數(shù)的充分完備統(tǒng)計量是方便的。 定理 1 . 5 設(shè)總體 X 的分布密度)。( ?xf為指數(shù)型分布族，即樣本的聯(lián)合分布密度具有如下形式： ? ?2. 9 ),( ),()(ex p)()。(211 121nnimjnjjxxxhxxxTbCxf??????????? ?? ???? 其中),(21 m???? ??， ??? 。如果 ? 中包含有一個 m 維矩形，而且))(,),(),((21???mbbbB ??的值域包含一個 m 維開集，則)),(),(),((21212211 nmnnXXXTXXXTXXXTT ?????是參數(shù)),(21 m???? ??的充分完備統(tǒng)計量。 例 1 . 9 設(shè)總體 X 服從泊松分布nXXXP ,),(21??為其樣本，樣本的聯(lián)合分布律為 ? ?11 1 2 21, , ,!niixnnn niiP X x X x X x ex??????? ? ? ?? ?????????????niiniinxnxne11!1ln1ex p ??。 與式（ ）比較有 ??neC??)( ， ???niinxxxxh121!1),( ? ， ????niinxxnxxxT1211),( ? ， ?? ln)( nb ? 。 因此，樣本均值 XXXXT n ?),( 21 ? 是參數(shù) ? 的充分完備統(tǒng)計量。 例 1 . 1 0 設(shè)總體 X 服從正態(tài)分布 ),(),( 22 ????? ?N nXXX ,21?為其樣本，它的聯(lián)合分布密度為 ? ?? ? ?????????niniinixxf1 122)(21e x p)2(1),( ????? ????????? ???xnxnneniinn 212222/2)1(2ex p)2(122???????， 與式（ 1 . 9 ）比較，有 2222/2 )2(1)( ?????nneC?? ， )1,(),(1221 ????niixnxTTT ， )2,(),(2221??? nnbbB ??? 1),(21?nxxxh ? 因此， )1,(12??niiXnX 是 ),( 2?? 的充分完備統(tǒng)計量，),(2nSX 也是 ),( 2?? 的充分完備統(tǒng)計量。
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