充分統(tǒng)計(jì)量與完備統(tǒng)計(jì)量-文庫(kù)吧資料
2024-08-18 02:32本頁(yè)面
【正文】 聯(lián)合充分統(tǒng)計(jì)量。,((),( 2121 ?nn xxxTgxxxh ??? 由因子分解定理知， XXXXT n ?),( 21 ? 是 ? 的充分統(tǒng)計(jì)量。 ? ?11 1 2 21, , ,!niixnnn niiP X x X x X x ex??????? ? ? ?? 若取 ???niin xnxxxT1211),( ? ??? niinxxxxh121!1),( ? ??? nnTn exxxTg??))。,(( 21 ???? 則有 ? ?nn xXxXxXP ??? , 2211 ? ))。 例 根據(jù)因子分解定理證明例 。 ) ( i 1 , 2 , ) , T ( X , X , , X )? ? ?一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，則 T 是 ? 的充分統(tǒng)計(jì)量的充要條件是：樣本的聯(lián)合分布律可表示為 ? ? ? ????????niinnxXPxXxXxXP12211, ? ))。()( ??? ??, ( 1 . 3 ) 其中 h 是nxxx ,21?的非負(fù)函數(shù)且 ? 無(wú)關(guān)，g僅通過(guò) T 依賴(lài)于nxxx ,21?。(21 nXXXxf ??是一樣本，),(21 nXXXT ?是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，則 T 為 ? 的充分統(tǒng)計(jì)量的充要條件是：樣本的聯(lián)合分布密度函數(shù)可以分解為 ????ninnixxxTgxxxhxfL12121))。下面給出一個(gè)定理 —— 因子分解定理 ，運(yùn)用這個(gè)定理，判別甚至尋找一個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量有時(shí)會(huì)很方便。 但從定義出發(fā)來(lái)判別一個(gè)統(tǒng)計(jì)量是否是充分統(tǒng)計(jì)量是很麻煩的。因此，對(duì) ? 的統(tǒng)計(jì)推斷只需要從 T 出發(fā)即可，不再需要樣本數(shù)據(jù)。xF ， T=T (nXXX , 21 ?) 為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)給定 T=t 時(shí)，如果樣本（nXXX , 21 ?） 的條件分布（離散總體時(shí)為條件概率，連續(xù)總體時(shí)為條件密度）與參數(shù) ? 無(wú)關(guān)，則稱(chēng) T 為參數(shù) ? 的 充分統(tǒng)計(jì)量 。 例 . 設(shè)總體 X 服從兩點(diǎn)分布 ( 1 , )Bp , 即 P ( X = x ) = 1( 1 )xxpp ?? , x =0 , 1 , 其中 0 p 1 , （nXXX , 21 ?） 為來(lái)自總體 X 一個(gè)樣本 ,研究 統(tǒng)計(jì)量11niiXXn ?? ? 。 當(dāng)我們期望用統(tǒng)計(jì)量 T 代替原始樣本并且不損失任何有關(guān) ? 的信息時(shí)，也就是期望抽樣分布F?T(t) 像 F?(x) 一樣概括了有關(guān) ? 的一切信息。 樣本 X1,X2,…, Xn 有一個(gè)樣本分布 F?(x)，這個(gè)分布包含了樣本中一切有關(guān) ?的信息。在這種場(chǎng)合僅僅記錄使用 T 不會(huì)丟失任何與命中率 ? 有關(guān)的信息。 一般地，設(shè)我們對(duì)該運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行 n 次觀(guān)測(cè)，得到 x1, x2,…, xn，每個(gè) xj 取值非 0即 1，命中 1，不命中為 0。這樣的觀(guān)測(cè)結(jié)果包含了 兩 種信息： (1)打靶 10次命中 8次； (2)2次不命中分別出現(xiàn)在第 3次和第 6次打靶上。 關(guān)于總體未知參數(shù)的信息，這是由于樣本的分布中包含了總體分布中的未知參數(shù)。 樣本中包含的關(guān)于總體分布的信息可分為： 關(guān)于總體結(jié)構(gòu)的信息 ， 即反映總體
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