充分統(tǒng)計量與完備統(tǒng)計量(參考版)
2024-08-16 02:32本頁面
【正文】 。 因此，樣本均值 XXXXT n ?),( 21 ? 是參數(shù) ? 的充分完備統(tǒng)計量。 例 1 . 9 設總體 X 服從泊松分布nXXXP ,),(21??為其樣本，樣本的聯(lián)合分布律為 ? ?11 1 2 21, , ,!niixnnn niiP X x X x X x ex??????? ? ? ?? ?????????????niiniinxnxne11!1ln1ex p ??。(211 121nnimjnjjxxxhxxxTbCxf??????????? ?? ???? 其中),(21 m???? ??， ??? 。 定理 1 . 5 設總體 X 的分布密度)?，F(xiàn)介紹一類有很好的統(tǒng)計和數(shù)學性質(zhì)，因而得到廣泛應用的分布族 —— 指數(shù)型分布族 。在尋求總體分布中未知參數(shù)的優(yōu)良估計中，充分完備統(tǒng)計量扮演著重要的角色。所以 X 是完備統(tǒng)計量。,2,1,0 ??? pnk ? 設 )( Xg 使得 ? ? ??? ?????????nkknkknpppCnkgXgE00)1()( ，對一切 10 ?? p ， 即 01)1(0??????????????? ??kknnknppCnkgp ，對一切 10 ?? p 或 010????????????????kknnk ppCnkg ，對一切 10 ?? p 。下面驗證 X 也是完備統(tǒng)計量。 對于一般的統(tǒng)計 ),( 21 nXXXTT ?? ，總有 例 1 . 8 設nXXX , 21 ?是來自兩點分布 ),1( pB 的樣本。 完備統(tǒng)計量的含義不如充分統(tǒng)計量那么明確，但由定義可見它有如下特征： ? ? 1)()( 21 ?? TgTgP ? ， ??? ? ? ? ? ?)()( 21 TgETgE ?? ?? ， ??? ? 。( ????xF的一個樣本，若統(tǒng)計量 ),(21 nXXXTT ??的分布函數(shù)族 ? ????? ),。( xF 為 完備 的分布函數(shù)族 。 定義 1 . 5 設總體 X 的分布函數(shù)族為 ? ????? ),。 定理 1 .4 設 ),( 21 nXXXTT ?? 是 ? 的一個充分統(tǒng)計量，)( tf 是單值可逆函數(shù)，則 )( Tf 也是 ? 的充分統(tǒng)計量。 故由因子分解定理知 ),(12???niixXT 是 ),( 2??? ?的一個聯(lián)合充分統(tǒng)計量。,((),(2121?nnxxxTgxxxh ??? ， 其中 1),( 21 ?nxxxh ? ， 而 ))。 證明 樣本 ),( 21 nXXX ? 的聯(lián)合分布律為 例 1 . 7 設nXXX , 21 ?是來自正態(tài)總體 ),( 2??N 的一個樣 本 ， 試 證 ),(),(1221 ???niinXXXXXT ?是 關 于),( 2??? ? 的
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