【導讀】1．已知全集U為實數(shù)集，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，里對二十四節(jié)氣的晷（guǐ）影長的記錄中，冬至和夏至的晷影長是實測得到的，上存在一點P，使（+）?①M={（x，y）|y=}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③={（x，y）|y=2x﹣2}；恒有f=2f成立；當x∈（1，2]時，f（x）=2﹣x；16．實數(shù)x、y滿足，若z=ax+y的最大值為3a+9，最小值為3a﹣3，（Ⅰ）求角A的大??；18．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；19．（12分）近年來我國電子商務行業(yè)迎來發(fā)展的新機遇．2020年618期間，不超過的前提下，認為商品好評與服務好評有關？①求對商品和服務全好評的次數(shù)X的分布列；（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅰ）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程；（Ⅱ）直線l的參數(shù)方程是，l與C交與A，B兩點，

　　

【正文】 80 40 120 對商品不滿意 70 10 80 合計 150 50 200 …2 分 K2= ≈ ＞ …4 分 故能在犯錯誤的概率不超過 的前提下，認為商品好評與服務好評有關． …5分 （ 2） ① 每次購物時，對商品和服務都好評的概率 為 ，且 X 的取值可以是 0，1， 2， 3． 其中 P（ X=0） == ； P（ X=1） =C31??= ； …7 分 P（ X=2） =C32??= ； P（ X=3） =C33?= ． …9 分 X 的分布列為： X 0 1 2 3 P …10 分 ② 由于 X～ B（ 3， ），則 E（ X） =3 =， D（ X） =3 =…12分． 【點評】 本小題主要考查統(tǒng)計與概率的相關知識，對考生的對數(shù)據(jù)處理的能力有很高要求，是中檔題． 20．（ 12 分） （ 2017?長沙模擬）已知橢圓的長軸長為 6，離心率為 ， F2 為橢圓的右焦點． （ Ⅰ ）求橢圓的標準方程； （ Ⅱ ）點 M 在圓 x2+y2=8 上，且 M 在第一象限，過 M 作圓 x2+y2=8 的切線交橢圓于 P， Q 兩點，判斷 △ PF2Q 的周長是否為定值并說明理由． 【考點】 橢圓的簡單性質． 【分析】 （ Ⅰ ）由題意可知： 2a=6， ，求得 a 和 c 的值，由 b2=a2﹣ c2，求得 b，寫出橢圓方程； （ Ⅱ ）設 P（ x1， y1）， Q（ x2， y2），分別求出 |F2P|， |F2Q|，結合相切的條件可得 |PM|2=|OP|2 ﹣ |OM|2 ， 可 得 ， 同理|QF2|+|QM|=3，即可證明； 【解答】 解：（ I）根據(jù)已知，設橢圓的標準方程為 ， ∴ 2a=6， a=3， ， c=1； b2=a2﹣ c2=8， （ II） △ PF2Q 的周長是定值， 設 P（ x1， y1）， Q（ x2， y2），則 ， ， ∵ 0＜ x1＜ 3， ∴ ，（ 7 分） 在圓中， M 是切點， ∴ ，（ 11 分） ∴ ， 同理 |QF2|+|QM|=3，（ 13 分） ∴ |F2P|+|F2Q|+|PQ|=3+3=6， 因此 △ PF2Q 的周長是定值 6． … （ 14 分） 【點評】 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相 交問題轉化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、弦長公式、直線與圓相切性質、勾股定理、三角形的周長問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 21．（ 12 分）（ 2017?長沙模擬）已知函數(shù) f（ x） = 的圖象為曲線 C，函數(shù) g（ x） = ax+b 的圖象為直線 l． （ 1）當 a=2， b=﹣ 3 時，求 F（ x） =f（ x）﹣ g（ x）的最大值； （ 2）設直線 l 與曲線 C 的交點的橫坐標分別為 x1， x2，且 x1≠ x2，求證：（ x1+x2）g（ x1+x2） ＞ 2． 【考點】 導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用；分析法和綜合法． 【分析】 （ 1） 由 a=2， b=﹣ 3，知 ， x∈ （ 0，1）， F39。（ x） ＞ 0， F39。（ x）單調遞增， x∈ （ 1， +∞ ）， F39。（ x） ＜ 0， F39。（ x）單調遞減，由此能求出 F（ x） =f（ x）﹣ g（ x）的最大值． （ 2）設 x1＜ x2，要證（ x1+x2） g（ x1+x2） ＞ 2，只需證 ，由此入手，能夠證明（ x1+x2） g（ x1+x2） ＞ 2． 【解答】 解：（ 1） ∵ ， ， x∈ （ 0， 1）， F39。（ x） ＞ 0， F39。（ x）單調遞增， x∈ （ 1， +∞ ）， F39。（ x） ＜ 0， F39。（ x）單調遞減， ∴ F（ x） max=F（ 1） =2 （ 2 ）不妨設 x1 ＜ x2 ，要證（ x1+x2 ） g （ x1+x2 ） ＞ 2 ，只需證， ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∴， 令 ， x ∈ （ x1 ， + ∞ ）．只需證， ，令 ，則 ， G（ x）在 x∈ （ x1， +∞ ）單調遞增． G（ x） ＞ G（ x1） =0， ∴ H′（ x） ＞ 0， ∴ H（ x）在 x∈ （ x1， +∞ ）單調遞增． H（ x） ＞ H（ x1） =0， H（ x） =（ x+x1） ln ﹣ 2（ x﹣ x1） ＞ 0， ∴ （ x1+x2） g（ x1+x2） ＞ 2． 【點評】 本題考查導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有 一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答． 請考生在 2 23 題中任選一題作答【選修 44：坐標系與參數(shù)方程】 22．（ 10 分）（ 2020?新課標 Ⅱ ）在直角坐標系 xOy 中，圓 C 的方程為（ x+6）2+y2=25． （ Ⅰ ）以坐標原點為極點， x 軸正半軸為極軸建立極坐標系，求 C 的極坐標方程； （ Ⅱ ）直線 l 的參數(shù)方程是 （ t 為參數(shù)）， l 與 C 交與 A， B 兩點，|AB|= ，求 l 的斜率． 【考點】 圓的標準方程；直線與圓相交的性質． 【分析】 （ Ⅰ ）把圓 C 的標準方程化為一般方程，由此利用 ρ2=x2+y2， x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圓 C 的極坐標方程． （ Ⅱ ）由直線 l 的參數(shù)方程求出直線 l 的一般方程，再求出圓心到直線距離，由此能求出直線 l 的斜率． 【解答】 解：（ Ⅰ ） ∵ 圓 C 的方程為（ x+6） 2+y2=25， ∴ x2+y2+12x+11=0， ∵ ρ2=x2+y2， x=ρcosα， y=ρsinα， ∴ C 的極坐標方程為 ρ2+12ρcosα+11=0． （ Ⅱ ） ∵ 直線 l 的參數(shù)方程是 （ t 為參數(shù)）， ∴ t= ，代入 y=tsinα，得：直線 l 的一般方程 y=tanα?x， ∵ l 與 C 交與 A， B 兩點， |AB|= ，圓 C 的圓心 C（﹣ 6， 0），半徑 r=5， ∴ 圓心 C（﹣ 6， 0）到直線距離 d= = ， 解得 tan2α= ， ∴ tanα=177。 =177。 ． ∴ l 的斜率 k=177。 ． 【點評】 本題考查圓的極坐標方程的求法，考查直線的斜率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點到直線公式、圓的性質的合理運用． 【選修 45：不等式選講】 23．（ 2017?長沙模擬）設函數(shù) f（ x） =|x﹣ a|﹣ 2|x﹣ 1|． （ Ⅰ ）當 a=3 時，解不等式 f（ x） ≥ 1； （ Ⅱ ）若 f（ x）﹣ |2x﹣ 5|≤ 0 對任意的 x∈ [1， 2]恒成立，求實數(shù) a 的取值范 圍． 【考點】 絕對值不等式的解法；絕對值三角不等式． 【分析】 （ Ⅰ ）通過對 x 取值的分類討論，去掉絕對值符號，即可求得不等式 f（ x） ≥ 1 的解集； （ Ⅱ ）利用等價轉化思想，可得 |x﹣ a|≤ 3，從而可得 ，即可求出實數(shù) a的取值范圍． 【解答】 解：（ Ⅰ ） f（ x） ≥ 1，即 |x﹣ 3|﹣ |2x﹣ 2|≥ 1 x 時， 3﹣ x+2x﹣ 2≥ 1， ∴ x≥ 0， ∴ 0≤ x≤ 1； 1＜ x＜ 3 時， 3﹣ x﹣ 2x+2≥ 1， ∴ x≤ ， ∴ 1＜ x≤ ； x≥ 3 時， x﹣ 3﹣ 2x+2≥ 1， ∴ x≤ ﹣ 2∴ 1＜ x≤ ，無解， … 所以 f（ x） ≥ 1 解集為 [0， ]． … （ Ⅱ ）當 x∈ [1， 2]時， f（ x）﹣ |2x﹣ 5|≤ 0 可化為 |x﹣ a|≤ 3， ∴ a﹣ 3≤ x≤ a+3， … （ 7 分） ∴ ， … （ 8 分） ∴ ﹣ 1≤ a≤ 4． … （ 10 分） 【點評】 本題考查絕對值不等式的解法，著重考查等價轉化思想、分類討論思想與綜合運算能力，屬于中檔題．