奧數(shù)競賽講座02-整數(shù)的整除性-資料下載頁
2025-08-04 14:28本頁面
【正文】 a、b、c為滿足不等式1＜a＜b＜c的整數(shù)，且（ab1）（bc1）（ca1）能被abc整除，求所有可能數(shù)組（a，b，c）.解 ∵（ab1）（bc1）（ca1）=a2b2c2abc（a+b+c）+ab+ac+bc1，①∵abc|（ab1）（bc1）（ca1）.∴存在正整數(shù)k,使ab+ac+bc1=kabc, ②k=＜＜＜＜∴k=1.若a≥3，此時1=＜矛盾.已知a＞1. ∴只有a=2.當(dāng)a=2時，代入②中得2b+2c1=bc，即 1=＜∴0＜b＜4，知b=3，從而易得c=5. 說明：在此例中通過對因數(shù)k的范圍討論，從而逐步確定a、b、c是一項重要解題技巧.例9 （1987年全國初中聯(lián)賽題）已知存在整數(shù)n，都能被1987整除. 證明∵（103n+），且能被1987整除，∴p能被1987整除.同樣，q=（）且∴故、102（n+1）、被除，余數(shù)分別為1000，100，10，于是q表示式中括號內(nèi)的數(shù)被除，余數(shù)為1987，它可被1987整除，所以括號內(nèi)的數(shù)能被1987整除，即q能被1987整除.[文章來源：教學(xué)視頻網(wǎng) 。]教學(xué)視頻網(wǎng)（）
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