a-對象在一階邏輯中的引入及其語義-資料下載頁
2025-08-04 08:35本頁面
【正文】 要定理：Th 14：假定L 的推理(Δ,φ)是古典有效的，Δ與φ中的A名字指定的A對象在構(gòu)成一個類，令M是一個A模型，在這個類上可擴展，則(Δ,φ)在M下具有恒真有效性。這一定理非常重要，在后面用一般語義學(xué)對一階邏輯系統(tǒng)進行分析時，會經(jīng)常用到。下面我們再來看個例有效性。令X為L的一個模型類，稱(Δ,φ)在X中是個例有效的，如果對于任一X中的模型M，和M中的任一指派v，只要M╞vΔ則M╞vφ。個例有效下的普遍有效和在一個模型模型M下有效定義與恒真有效的相關(guān)定義類似。與恒真有效性不同的是，在個例有效性下面，古典有效的推理仍然保持個例有效性。有下面的重要定理：Th 15：若L 的推理(Δ,φ)是古典有效的，則它是個例有效的。對于個例有效性，這里還要指出的是，傳統(tǒng)意義上的蘊涵傳遞性并不一定保持。就是說，若φ蘊涵ψ，并且ψ蘊涵χ（即φ/ψ和ψ/χ都是相對于某個A模型類有效），則φ蘊涵χ不一定有效。因為直觀上看，滿足兩者的賦值指派v不一定相同，所以在個例有效下面，我們要保證蘊涵的傳遞性，仍然需要借助于可擴展性。具體為如下定理：Th 16：弱個例有效性（cut for casetocase validity）假定Δ/φ和φ,Г/ψ都是在X下個例有效的推理，并且X中的模型M有下面屬性：任何定義在AΔ∪AГ∪Aψ上的v（v∈V），都可以擴展為一個定義涵蓋Aφ的v（v∈V）。則Δ,Г/ψ在X中是個例有效的。七、對A名字的定義討論對A名字的定義，原因在于分析一階邏輯系統(tǒng)時，會遇到帶有自由變元的擬公式，而這些公式和A名字之間的關(guān)系，需要進行界定。帶有一個自由變元的擬公式集Δ可以被視為對一個A名字a的定義。我們用一個有序?qū)?a,Δ)來表示一個定義，其中Δ一些含一個自由變元x的擬公式集，a是一個A名字。給定一個定義(a,Δ)，字母a稱為定義中的被定義項（defined terms），在Δ中的其他A名字稱為給定項（given terms）。Δ本身稱為定義條件。我們稱在一個定義(a,Δ)中，Δ從用所有給定項對a進行定義。我們允許Δ是空集，或甚至包含a的出現(xiàn)。特別地，當(dāng)Δ={φ}時，我們可以把定義(a,Δ)寫作(a,φ)。這種定義依據(jù)的合理性，可以從數(shù)學(xué)練習(xí)中找到，例如我們在證明或計算某個結(jié)果時，會任取兩個數(shù)字m，n，并為了實際證明，我們令m=n2，這樣一種表達式就可以用前面的記號表示為（m，x=b2）。給定一個定義(a,Δ)，和一個項t，令Δ(t)表示用t取代Δ中自由變元x的出現(xiàn)。借助這一記號，我們可以界定模型對定義的實現(xiàn)如下。稱一個A模型M實現(xiàn)一個定義(a,Δ)如果：1.|a|=[AΔ]，即，對于任和c∈A，a＜c當(dāng)且僅當(dāng)c=b或c＜b對于(a,Δ)中的某個項b?！蔞，VD(u)={i∈I: M╞u(Δ(i))}，也就是說，對于任一u∈V，和任一v=u∪{a,i}，v∈V當(dāng)且僅當(dāng)M╞u(Δ(a))。稱一個由諸如(a,Δ)定義構(gòu)成的集合稱為一個定義系統(tǒng)S。其被定義項是S中元素的被定義項，其給定項是S中元素的給定項，并且不是S中的某個被定義項。我們稱一個模型M實現(xiàn)一個定義系統(tǒng)S，如果：1. a≠b對S中不同的被定義項a，b；2. M實現(xiàn)S中的每個形如(a,Δ)的定義。稱一個定義系統(tǒng)S是明晰的（unequivocal），如果S中的A名字不是S中的兩個不同定義如(a,Δ) 和(a,Г)的被定義項。給定一個定義系統(tǒng)S和S中的A名字a、b，稱a在S中直接依賴于b（a immediately depends upon b），如果在某個S里的定義中，a是被定義項，b是一個給定項。用符號表示為ab。我們用a＜b表示，對于某個序列a1,…,an，n＞1，a=a1，b=an，并且aiai+1對于i=1,2,…,n1。也就是說，a＜b是一個關(guān)系的首尾兩端。此外，稱一個系統(tǒng)S是良基的，如果直接依賴關(guān)系的反面是良基的。根據(jù)上面引進的一些規(guī)定，我們有如下定理：Th 17：假定定義系統(tǒng)S是明晰的和良基的。令M是一個古典模型，則存在一個A模型M實現(xiàn)S。除了上面的一些特征以外，S還可能具有一些其他的性質(zhì)。稱S是完備的（plete），如果每個S下的A名字都是S的一個被定義項。下面定義兩個模型的一般等值性（generically equivalent）。兩個語言L下的A模型M=(I，…，A，＜，V) 和M39。=(I，…，A39。，＜39。，V39。)是一般等值的，如果存在一個從A到A39。的一一映射f，使得：1． 對于所有a，b∈A，a＜b當(dāng)且僅當(dāng)f(a) ＜39。f(b)；2． 對于所有M上可能的賦值指派v，v∈V當(dāng)且僅當(dāng){f(a),i:a,i∈v}∈V39。由上面兩個定義，我們可以得到如下定理：Th 18: 令S是一個完備的、明晰的和良基的定義系統(tǒng)。假定L下的的兩個模型M39。和M都實現(xiàn)S。S中的A名字所指的A對象構(gòu)成一個集合C，則M39。和M在這個集合C上的限制是一般等值的。下面討論定義(a,Δ)的一些特性。稱一個定義(a,Δ)在一個古典模型M中是完全的(total)，定義(a, Δ)中給定項構(gòu)成集合B，如果對于任何從集合B到I的函數(shù)u，存在一個i∈I使得M╞u(Δ(i))。這樣會得到一個新的定理：Th 19：令S是一個由在模型M下那些完全的定義構(gòu)成的完備系統(tǒng)，B是由S中A名字指定的A對象構(gòu)成的集合，則任何實現(xiàn)S的模型M都在集合B上可擴展。下面再引入一個定義。給定一個系統(tǒng)S，模型M實現(xiàn)S，b是S中的一個被定義項或者(a,Δ)中的一個給定項，對于一個可能的賦值指派v，只要v定義涵蓋b就有M╞v(Δ(a))，則我們稱v符合S（v conforms to S）。有如下引理：Lm20 ：令S是一個完備的系統(tǒng)，M實現(xiàn)S。令v是M中一個可能的賦值指派，其定義域封閉，并且只定義在由S中的A名字指定的A對象集上。則v∈V如果v符合S。至此，我們概要性地討論了包括A對象的語義模型，即模型上的一些特征，同時討論了關(guān)于真和有效性的定義。這些討論為后面對一階邏輯系統(tǒng)的分析做了一個鋪墊。接下來我們將借助上面提到的一些重要的定理和結(jié)論，來看如何用一般語義學(xué)對一階邏輯系統(tǒng)的有關(guān)性質(zhì)進行證明。這些證明會使得我們對這種語義解釋的特點有更清楚的了解，也將會使我們重新來關(guān)注怎樣的一階邏輯系統(tǒng)更自然地刻畫了我們的推理過程。10
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