a-對(duì)象在一階邏輯中的引入及其語(yǔ)義-資料下載頁(yè)
2025-08-04 08:35本頁(yè)面
【正文】 要定理：Th 14：假定L 的推理(Δ,φ)是古典有效的，Δ與φ中的A名字指定的A對(duì)象在構(gòu)成一個(gè)類，令M是一個(gè)A模型，在這個(gè)類上可擴(kuò)展，則(Δ,φ)在M下具有恒真有效性。這一定理非常重要，在后面用一般語(yǔ)義學(xué)對(duì)一階邏輯系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)，會(huì)經(jīng)常用到。下面我們?cè)賮砜磦€(gè)例有效性。令X為L(zhǎng)的一個(gè)模型類，稱(Δ,φ)在X中是個(gè)例有效的，如果對(duì)于任一X中的模型M，和M中的任一指派v，只要M╞vΔ則M╞vφ。個(gè)例有效下的普遍有效和在一個(gè)模型模型M下有效定義與恒真有效的相關(guān)定義類似。與恒真有效性不同的是，在個(gè)例有效性下面，古典有效的推理仍然保持個(gè)例有效性。有下面的重要定理：Th 15：若L 的推理(Δ,φ)是古典有效的，則它是個(gè)例有效的。對(duì)于個(gè)例有效性，這里還要指出的是，傳統(tǒng)意義上的蘊(yùn)涵傳遞性并不一定保持。就是說，若φ蘊(yùn)涵ψ，并且ψ蘊(yùn)涵χ（即φ/ψ和ψ/χ都是相對(duì)于某個(gè)A模型類有效），則φ蘊(yùn)涵χ不一定有效。因?yàn)橹庇^上看，滿足兩者的賦值指派v不一定相同，所以在個(gè)例有效下面，我們要保證蘊(yùn)涵的傳遞性，仍然需要借助于可擴(kuò)展性。具體為如下定理：Th 16：弱個(gè)例有效性（cut for casetocase validity）假定Δ/φ和φ,Г/ψ都是在X下個(gè)例有效的推理，并且X中的模型M有下面屬性：任何定義在AΔ∪AГ∪Aψ上的v（v∈V），都可以擴(kuò)展為一個(gè)定義涵蓋Aφ的v（v∈V）。則Δ,Г/ψ在X中是個(gè)例有效的。七、對(duì)A名字的定義討論對(duì)A名字的定義，原因在于分析一階邏輯系統(tǒng)時(shí)，會(huì)遇到帶有自由變?cè)臄M公式，而這些公式和A名字之間的關(guān)系，需要進(jìn)行界定。帶有一個(gè)自由變?cè)臄M公式集Δ可以被視為對(duì)一個(gè)A名字a的定義。我們用一個(gè)有序?qū)?a,Δ)來表示一個(gè)定義，其中Δ一些含一個(gè)自由變?cè)獂的擬公式集，a是一個(gè)A名字。給定一個(gè)定義(a,Δ)，字母a稱為定義中的被定義項(xiàng)（defined terms），在Δ中的其他A名字稱為給定項(xiàng)（given terms）。Δ本身稱為定義條件。我們稱在一個(gè)定義(a,Δ)中，Δ從用所有給定項(xiàng)對(duì)a進(jìn)行定義。我們?cè)试SΔ是空集，或甚至包含a的出現(xiàn)。特別地，當(dāng)Δ={φ}時(shí)，我們可以把定義(a,Δ)寫作(a,φ)。這種定義依據(jù)的合理性，可以從數(shù)學(xué)練習(xí)中找到，例如我們?cè)谧C明或計(jì)算某個(gè)結(jié)果時(shí)，會(huì)任取兩個(gè)數(shù)字m，n，并為了實(shí)際證明，我們令m=n2，這樣一種表達(dá)式就可以用前面的記號(hào)表示為（m，x=b2）。給定一個(gè)定義(a,Δ)，和一個(gè)項(xiàng)t，令Δ(t)表示用t取代Δ中自由變?cè)獂的出現(xiàn)。借助這一記號(hào)，我們可以界定模型對(duì)定義的實(shí)現(xiàn)如下。稱一個(gè)A模型M實(shí)現(xiàn)一個(gè)定義(a,Δ)如果：1.|a|=[AΔ]，即，對(duì)于任和c∈A，a＜c當(dāng)且僅當(dāng)c=b或c＜b對(duì)于(a,Δ)中的某個(gè)項(xiàng)b。∈V，VD(u)={i∈I: M╞u(Δ(i))}，也就是說，對(duì)于任一u∈V，和任一v=u∪{a,i}，v∈V當(dāng)且僅當(dāng)M╞u(Δ(a))。稱一個(gè)由諸如(a,Δ)定義構(gòu)成的集合稱為一個(gè)定義系統(tǒng)S。其被定義項(xiàng)是S中元素的被定義項(xiàng)，其給定項(xiàng)是S中元素的給定項(xiàng)，并且不是S中的某個(gè)被定義項(xiàng)。我們稱一個(gè)模型M實(shí)現(xiàn)一個(gè)定義系統(tǒng)S，如果：1. a≠b對(duì)S中不同的被定義項(xiàng)a，b；2. M實(shí)現(xiàn)S中的每個(gè)形如(a,Δ)的定義。稱一個(gè)定義系統(tǒng)S是明晰的（unequivocal），如果S中的A名字不是S中的兩個(gè)不同定義如(a,Δ) 和(a,Г)的被定義項(xiàng)。給定一個(gè)定義系統(tǒng)S和S中的A名字a、b，稱a在S中直接依賴于b（a immediately depends upon b），如果在某個(gè)S里的定義中，a是被定義項(xiàng)，b是一個(gè)給定項(xiàng)。用符號(hào)表示為ab。我們用a＜b表示，對(duì)于某個(gè)序列a1,…,an，n＞1，a=a1，b=an，并且aiai+1對(duì)于i=1,2,…,n1。也就是說，a＜b是一個(gè)關(guān)系的首尾兩端。此外，稱一個(gè)系統(tǒng)S是良基的，如果直接依賴關(guān)系的反面是良基的。根據(jù)上面引進(jìn)的一些規(guī)定，我們有如下定理：Th 17：假定定義系統(tǒng)S是明晰的和良基的。令M是一個(gè)古典模型，則存在一個(gè)A模型M實(shí)現(xiàn)S。除了上面的一些特征以外，S還可能具有一些其他的性質(zhì)。稱S是完備的（plete），如果每個(gè)S下的A名字都是S的一個(gè)被定義項(xiàng)。下面定義兩個(gè)模型的一般等值性（generically equivalent）。兩個(gè)語(yǔ)言L下的A模型M=(I，…，A，＜，V) 和M39。=(I，…，A39。，＜39。，V39。)是一般等值的，如果存在一個(gè)從A到A39。的一一映射f，使得：1． 對(duì)于所有a，b∈A，a＜b當(dāng)且僅當(dāng)f(a) ＜39。f(b)；2． 對(duì)于所有M上可能的賦值指派v，v∈V當(dāng)且僅當(dāng){f(a),i:a,i∈v}∈V39。由上面兩個(gè)定義，我們可以得到如下定理：Th 18: 令S是一個(gè)完備的、明晰的和良基的定義系統(tǒng)。假定L下的的兩個(gè)模型M39。和M都實(shí)現(xiàn)S。S中的A名字所指的A對(duì)象構(gòu)成一個(gè)集合C，則M39。和M在這個(gè)集合C上的限制是一般等值的。下面討論定義(a,Δ)的一些特性。稱一個(gè)定義(a,Δ)在一個(gè)古典模型M中是完全的(total)，定義(a, Δ)中給定項(xiàng)構(gòu)成集合B，如果對(duì)于任何從集合B到I的函數(shù)u，存在一個(gè)i∈I使得M╞u(Δ(i))。這樣會(huì)得到一個(gè)新的定理：Th 19：令S是一個(gè)由在模型M下那些完全的定義構(gòu)成的完備系統(tǒng)，B是由S中A名字指定的A對(duì)象構(gòu)成的集合，則任何實(shí)現(xiàn)S的模型M都在集合B上可擴(kuò)展。下面再引入一個(gè)定義。給定一個(gè)系統(tǒng)S，模型M實(shí)現(xiàn)S，b是S中的一個(gè)被定義項(xiàng)或者(a,Δ)中的一個(gè)給定項(xiàng)，對(duì)于一個(gè)可能的賦值指派v，只要v定義涵蓋b就有M╞v(Δ(a))，則我們稱v符合S（v conforms to S）。有如下引理：Lm20 ：令S是一個(gè)完備的系統(tǒng)，M實(shí)現(xiàn)S。令v是M中一個(gè)可能的賦值指派，其定義域封閉，并且只定義在由S中的A名字指定的A對(duì)象集上。則v∈V如果v符合S。至此，我們概要性地討論了包括A對(duì)象的語(yǔ)義模型，即模型上的一些特征，同時(shí)討論了關(guān)于真和有效性的定義。這些討論為后面對(duì)一階邏輯系統(tǒng)的分析做了一個(gè)鋪墊。接下來我們將借助上面提到的一些重要的定理和結(jié)論，來看如何用一般語(yǔ)義學(xué)對(duì)一階邏輯系統(tǒng)的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行證明。這些證明會(huì)使得我們對(duì)這種語(yǔ)義解釋的特點(diǎn)有更清楚的了解，也將會(huì)使我們重新來關(guān)注怎樣的一階邏輯系統(tǒng)更自然地刻畫了我們的推理過程。10
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