a-對象在一階邏輯中的引入及其語義(已修改)
2025-08-16 08:35 本頁面
【正文】 A對象在一階邏輯中的引入及其語義哲學(xué)系邏輯學(xué)04碩 臧勇 10423029一、問題的產(chǎn)生集合論中，我們熟悉的一個定理是“所有良序集都同構(gòu)于一個唯一的序數(shù)”，我們進(jìn)行論證，通常是采取這種方式“任取一個良序集，按如下方式構(gòu)造一個與其同構(gòu)的序數(shù)……”，然后經(jīng)過一系列的步驟，完成這個論證。再例如下面這個常見的例子。設(shè)想在歐氏幾何中我們要證明“所有的三角形其內(nèi)角和都是180度”，我們會按如下步驟進(jìn)行：設(shè)ABC是一個三角形，然后畫出輔助線，并依據(jù)平行線公理，證得ABC內(nèi)角和是180度，然后得出結(jié)論“所有三角形其內(nèi)角和都是180度”。一般的，在數(shù)學(xué)論證中，面對一個全稱命題，我們經(jīng)常會采用這種方式展開：要證對所有對象P成立，任取一個對象a，然后經(jīng)過一段論證，得到Pa，則得出結(jié)論對所有對象成立。這里自然會引發(fā)出一系列的問題，比如：這里的ABC是什么？[是否]是某個三角形的專名（proper name）？還是三角形這個類的通名？直觀上看來，這個ABC指某個三角形，但又不指一個特定的、帶有特殊性質(zhì)的三角形——這里涉及的是一個“任意的”三角形，否則我們無法從它做出全稱概括。那么，這樣的任意三角形是什么？它屬于三角形的類嗎？一般而言，一個與某個類相關(guān)的任意對象是什么？在對這些問題展開討論以前，先介紹一個帶有A對象（arbitrary objects）的一階邏輯系統(tǒng)，以求對問題有進(jìn)一步的了解。這個系統(tǒng)把“任意的某某”作為語義上的對象來處理。準(zhǔn)確地說，這是一個帶有A名字的一階邏輯系統(tǒng)，作為語義的A對象，在語法系統(tǒng)中表現(xiàn)為A名字（Anames）或者A字母（Aletters），具體內(nèi)容如下。二、一個引入A名字的一階邏輯系統(tǒng)Lemmon在其《邏輯初步》（1981）中，構(gòu)造了一個帶有A名字的一階邏輯系統(tǒng)。其基本構(gòu)造如下在：首先，引入專名(proper name)，標(biāo)記如下：m，n，……。其次，引入A名字（arbitrary name），標(biāo)記如下：a，b，c，……。第三，引入個體變元（individual variable），標(biāo)記如下：x，y，z，……。第四，引入謂詞符號（predicateletter），標(biāo)記如下：F，G，H，……。第五，引入存在量詞符號$。第六，定義一個項（term）為一個專名或A名字。第七，定義一個符號（symbol）為一個括號，邏輯聯(lián)結(jié)詞，項，個體變元，謂詞符，或者存在量詞符。第八，定義公式（formula）為任一符號序列（any sequence of symbols）。完成這幾個步驟以后，就需要對合式公式（wellformed formula）進(jìn)行定義。為此，作者先對原子句（atomic sentence）進(jìn)行了定義。在元語言意義上，P是一個n元謂詞，t1，……,tn是n個項，則Pt1…tn稱為一個原子句。注意，按此定義，以前我們熟悉的Fx不是原子句，因為個體變元x不是項。由此，可以歸納定義合式公式如下：基始條件：任何原子句都是合式公式。歸納條件：，則172。A是合式公式。，則(A→B),(A∧B),(A∨B),(A←→B)是合式公式。(t)是包括一個項t的合式公式，v是在A(t)中不出現(xiàn)的變元，A(v) 是取代A(t)中至少一處t后得到的公式，則(v)A(v)是合式公式。，A(v)是3中的公式，則($v)A(v)是合式公式。封閉條件：除去以上方式以外得到的公式，都不是合式公式。根據(jù)上面的規(guī)定，按3或者4，(x)(Fx→Gx)或者($x)(Fx→Gx)即可視為由某Fa→Ga經(jīng)過替換得到的合式公式。其中(x)即通常意義上的全稱量詞，($x)即通常意義上的存在量詞。公式序列、推演和其他推導(dǎo)規(guī)則同命題邏輯中自然推演系統(tǒng)里的規(guī)定，此處不再詳舉?，F(xiàn)在我們著重要了解的是其特殊的一階推導(dǎo)規(guī)則。一共有四條規(guī)則，分別是全稱消去UE，存在引入EI，全稱引入UI，和存在消去EE，分別如下：UE和EI：($v) A(v)是一個公式，t是一個項，A(t)是用t取代A(v)中所有并且只是v出現(xiàn)后得到的公式，則給定(v)A(v)，按照UE，我們可以得到A(t)。類似地，若給定A(t)，我們可以得到($v)A(v)。UI和EE：若A(e)是一個帶A名字e的合式公式，v是不出現(xiàn)在A(e)中的變元，A(v)是用v取代A(e)中所有并且只是e出現(xiàn)后得到的公式，則給定A(e)，并且e不在A(e)所依賴的假設(shè)中出現(xiàn)，那么按照UI，我們可以得到(v)A(v)。類似地，給定($v)A(v)，和以A(e)為假設(shè)由某個證明得到的一合式公式C，若e不在C中或C依賴的除A(e)外的其他假設(shè)中出現(xiàn)，那么按照EE，我們可以得到C。關(guān)于此的日常意義上的用合取、析取進(jìn)行的解釋，見Lemmon前面敘述。后面在對公式和推理進(jìn)行真和有效性的判斷時，Lemmon的這一系統(tǒng)特征會幫助我們理解合式公式的語義解釋。并且后面用語義學(xué)分析一階邏輯系統(tǒng)時，會提供一個很好的自然推理系統(tǒng)的例子。這點我們后面會再提及。三、A對象的引入帶來的相關(guān)哲學(xué)討論Lemmon的系統(tǒng)引入了A名字，這種引入的合理性是什么？A名字所代表的A對象，以及文章開始提到的數(shù)學(xué)推理中普遍使用的A對象，其特征是什么？有沒有導(dǎo)致“如無必要，勿增實體”的奧康式的擔(dān)憂？A對象要符合怎樣的原則？有沒有引發(fā)更多的問題？ 首先，我們要分析A對象是否存在；若存在，在什么意義上存在。數(shù)學(xué)推理中的經(jīng)驗似乎告訴我們A對象是存在的，或弱一些說，我們在進(jìn)行推理時預(yù)設(shè)了A對象的存在，只有如此，在一階系統(tǒng)中引入A名字才有其合理性與可行性。那么，我們說“一個任意的集合”或“一個任意的三角形”時，其指稱是什么？A對象或“任意型對象”是否是客觀實在的？我們認(rèn)為，當(dāng)談?wù)揂對象時，我們是在唯名論意義上講的，A對象是抽象體，不是經(jīng)驗觀察意義上的存在對象，而是依賴?yán)碇前盐盏某橄髮ο?。這與奧康似的唯名論者的立場并沒有不同，因此，不是說在具體的數(shù)一張張桌子時，突然數(shù)到一張“任意的桌子”，或者在列舉一個個三角形時，突然列舉出一個“任意的三角形”。A對象并不是在這個意義上存在，而只是作為某一個域或者某一個類上的一個具有普遍代表性的對象存在，它并不與其代表的域或類下面的個體對象具有同樣的地位。倘若不區(qū)分這兩者的本體論意義的不同，則引入A對象就失去了必要性和合理性?；卮鹆薃對象的存在問題，則要進(jìn)一步
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