a-對象在一階邏輯中的引入及其語義(編輯修改稿)
2025-08-31 08:35 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 派構(gòu)成的集合，特別地，當(dāng)B=[a]時，我們把寫作。對于a∈A，定義a對B的賦值依賴函數(shù)VD(a,B)如下：VD(a,B)是如下函數(shù)f，對于v∈，f(v)={i∈I：v∪{(a,i)} ∈V}。這一函數(shù)能表明給定B的賦值情況下，a可以取哪些值。VD(a, |a|)通常簡寫為VD(a)或者VD。除了以上四點的基本界定以外，一個實際的A模型還要滿足以下幾個重要性質(zhì)：5.(1).傳遞性(transitivity)：a＜b并且b＜c則a＜c。(2).良基性質(zhì)（foundation）：＜的反面是良基的，亦即不存在A對象的無窮序列a1，a2，a3，…使得a1＜a2＜a3＜…。6．在限制下保持封閉性（限制封閉性）（restriction）：V在限制下封閉。亦即，v∈V并且BA，則v「B∈V。（partial extendibility）：若v∈V，則存在一個v∈V使得vv并且[Dm(v)]Dm(v)。（piecing）：令{v：ξ∈Ω}，Ω≠Φ，是V的一個指標(biāo)子集滿足：（1）每個Dm(v)是封閉的；（2）∪v是一個函數(shù)。那么v=∪v∈V。五、關(guān)于A模型的其他條件和不同的A模型對于A模型要附加的其他條件涉及到賦值指派的可擴展性問題，以及A對象的存在，同一性和復(fù)雜性問題。下面逐一展開。首先是可擴展性（extendibility）問題。其中有如下幾個定義。我們稱一個A模型M在A的一個子集B上是可擴展的（extendible），如果對于B的每個子集B39。和定義域為B的賦值指派v39。∈V，存在一個v∈V擴展v39。，并且定義域涵蓋B。我們說一個A模型M是擴展的，或者是滿足可擴展性，如果它在其定義域A上可擴展。一個函數(shù)的賦值如果是某些，我們稱這個函數(shù)是完全的（total）若它的賦值總是非空集（nonempty sets）。并稱一個A對象在一個A模型M中是完全定義的（totally defined）如果VD是完全函數(shù)（total function）。這意味著，如果a是獨立的，則VR(a)是非空的，如果a是依賴的（dependent），則對于任何v∈V，存在i∈I使得v∪{(a,i)} ∈V。有如下結(jié)論：Th2: A模型M在A的一個封閉子集B上是可擴展的，當(dāng)且僅當(dāng)每個a∈B是完全定義的。其次是A對象如何通過A模型來顯示其存在性問題。這里需要區(qū)分兩種存在條件，一種是涉及獨立型A對象的，另外一種是關(guān)于依賴型A對象的。對于獨立型A對象，我們規(guī)定如下（existence ind）：對于每個JI，存在一個獨立A對象a∈A使得VR(a)=J。對于依賴型A對象，則有如下的規(guī)定（existence dep）：對于每個A的非空封閉子集B，和每個從到I的冪集P(I)的函數(shù)f，存在一個a∈A使得：1.|a|=B；2. VD=f?？紤]到集合A、B的基數(shù)問題和以后應(yīng)用的方便，我們可以進一步規(guī)定依賴型A對象存在性如下，d存在性（dexistence dep）：對于每個A的每個基數(shù)小于d的非空封閉子集B，和和每個從到I的冪集P(I)的函數(shù)f，存在一個a∈A使得：1.|a|=B；2. VD=f。接下來要規(guī)定的是在前面的哲學(xué)討論中涉及到的同一性問題（identity）。按照兩類A對象的不同，分別規(guī)定A對象的同一性如下：對于A中任意兩個獨立型A對象a、b，a=b如果VR(a)=VR(b)。對于A中任意兩個依賴型A對象a、b，a=b如果1.|a|=|b|；2. VD=VD。在討論A對象的元理論問題時，我們提到了A對象的同一性標(biāo)準(zhǔn)可以給出但并不是必需的，與此相應(yīng)，并且這里我們可以放棄同一性標(biāo)準(zhǔn)，用另外一種方式表達。這稱為多樣性（multiplicity）。具體的規(guī)定如下：對于任一獨立型A對象a，至少存在基數(shù)為c的獨立型A對象b，使得VR(b)=VR(a)。對于任一依賴型A對象a，至少存在基數(shù)為c的依賴型A對象b，使得1.|a|=|b|；2. VD = VD。我們把這一多樣性稱為c多樣性。一個模型，如果滿足這里提到的d存在性和c多樣性，就稱為c，d標(biāo)準(zhǔn)模型（c,dstandard）。一個c，d標(biāo)準(zhǔn)模型，如果c,d≥ω，就稱為標(biāo)準(zhǔn)模型（standard）。一般地，我們假定在標(biāo)準(zhǔn)A模型下討論問題。在討論了關(guān)于A模型的其他條件以后，我們再來關(guān)注各種A模型的存在性問題。下面先定義幾個基本概念。稱一個賦值指派v∈V在一個A模型或者A結(jié)構(gòu)中是基本的（basic），如果Dm(v)=[a]對于某個a∈A。稱一個V的子集U是V的一個基本集，如果V等于U在限制（restriction）和拼合(piecing)下的閉包U，也就是說V是最小的包含U并且在限制和拼合下封閉的集合。關(guān)于基本賦值指派和基本集，有下面定理：Th3 : 對于任何A結(jié)構(gòu)來說，所有的基本賦值指派構(gòu)成一個基本集U。在這個定理之下有一個推論如下：令F=(I,A,＜,V)，F(xiàn)39。=(I,A,＜,V39。)是兩個A結(jié)構(gòu)，并且其基本賦值指派是相同的，那么F=F39。下面引進另外一個定義，我們把上面提到的一個A結(jié)構(gòu)的基本集稱為典范基本集（canonical basis）。那么，哪一類指派構(gòu)成的集合會產(chǎn)生一個典范基本集呢？這與另外一個概念相關(guān)，其中定義如下，對于一個A框架(I,A,＜)來說，稱一個由一些指派構(gòu)成的集合U是規(guī)則的（regular），如果：1. 對于每個u∈U，Dm(u)=[a]對于某個a∈A。2. 如果u∈U，并且a∈Dm(u)，則u「[a] ∈U。按照如上定義，有一個引理如下：Lm 5 ：令U為一個A框架(I,A,＜)的一些指派構(gòu)成的規(guī)則集（regular set）。則對U的閉包U中的每個賦值指派u，存在一個指派u，滿足如下條件：(1). u是U中一些指派構(gòu)成的并集；(2). Dm(u)=[Dm(u)]；(3). uu。除了這些結(jié)論以外，還有下面這一重要的定理，和幾個與此相關(guān)的推論。Th6 : 每個A框架(I,A,＜)的規(guī)則集U，都是某個A結(jié)構(gòu)F=(I,A,＜,V)的典范基本集。這一定理使得我們可以用規(guī)則集來刻畫典范基本集。借助依賴關(guān)系的良基性質(zhì)，我們可以用A對象的賦值依賴關(guān)系來更直接地刻畫一個A結(jié)構(gòu)，即有下面推論：Cr7 : 令(I,A,＜)是一個A框架，f是A上
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