【文章內(nèi)容簡介】 關(guān)倒向 2端。 t 0 時(shí)的電路如圖 716(b)所示 。 圖 7－ 16 RC電路的完全響應(yīng) 為了求得電容電壓的全響應(yīng)，以電容電壓 uC(t)為變量，列出圖 (b)所示電路的微分方程 其解為 S CpChC e)()()( UKtututuRCt???? ?UC(0+)=U0 CCSd ( 0 ) ( 7 1 5 )duR C u U tt ? ? ? ? 代入初始條件 S0C )0( UKUu ????S0 UUK ?? 求得 S S0C e)()( UUUtuRCt??? ? 于是得到電容電壓以及電容電流的表達(dá)式 S S0CpChC e)()()()( UUUtututuRCt????? ? C 0 S S ( ) ( ) e ( 0) ( 7 16) tu t U U U t??????? ? ? ? ?全 響 應(yīng) 固 有 響 應(yīng) 強(qiáng) 制 響 應(yīng)全 響 應(yīng) 瞬 態(tài) 響 應(yīng) 穩(wěn) 態(tài) 響 應(yīng) 第一項(xiàng)是對(duì)應(yīng)微分方程的通解 uCh(t)，稱為電路的固有響應(yīng)或自由響應(yīng)， 若時(shí)間常數(shù) ? 0，固有響應(yīng)將隨時(shí)間增長而按指數(shù)規(guī)律衰減到零，在這種情況下，稱它為瞬態(tài)響應(yīng)。 第二項(xiàng)是微分方程的特解 uCp(t)，其變化規(guī)律一般與輸入相同，稱為強(qiáng)制響應(yīng)。 在直流輸入時(shí)，當(dāng) t??時(shí)，uC(t)=uCp(t) 這個(gè)強(qiáng)制響應(yīng)稱為 直流穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 C 0 S S ( ) ( ) e ( 0 ) ( 7 1 6 ) tu t U U U t??? ? ? ? ???全 響 應(yīng) 瞬 態(tài) 響 應(yīng) 穩(wěn) 態(tài) 響 應(yīng) 式 (7－ 16)可以改寫為以下形式 式中第一項(xiàng)為初始狀態(tài)單獨(dú)作用引起的零輸入響應(yīng)，第二項(xiàng)為輸入 (獨(dú)立電源 )單獨(dú)作用引起的零狀態(tài)響應(yīng)。 也就是說電路的 完全響應(yīng)等于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和。 這是線性動(dòng)態(tài)電路的一個(gè)基本性質(zhì)，是響應(yīng)可以疊加的一種體現(xiàn)。 C 0 S ( ) e ( 1 e ) ( 0 ) ( 7 1 7 ) ttu t U U t????? ? ? ? ?全 響 應(yīng) ＝ 零 輸 入 響 應(yīng) ＋ 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 以上兩種疊加的關(guān)系，可以用波形曲線來表示。利用全響應(yīng)的這兩種分解方法，可以簡化電路的分析計(jì)算，實(shí)際電路存在的是電壓電流的完全響應(yīng)。 (a) 全響應(yīng)分解為固有響應(yīng)與強(qiáng)制響應(yīng)之和 (b) 全響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和 圖 717 瞬態(tài)響應(yīng) 穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 全響應(yīng) 零輸入響應(yīng) 零狀態(tài)響應(yīng) 全響應(yīng) 圖 718(a)所示電路原來處于穩(wěn)定狀態(tài)。 t=0時(shí)開關(guān)斷開，求 t?0的電感電流 iL(t)和電感電壓 uL(t)。 圖 718 iL(0+)= 解：在 t0時(shí)，電阻 R1被開關(guān)短路，電感電流的初始值為 V10)0(2SL ????? RUi 在 t0時(shí)的電路中，用諾頓等效電路代替連接電感的含源電阻單口網(wǎng)絡(luò)，得到圖 (b)所示電路，該電路的微分方程為 )0(dd scLLo??? tIitiRL 其全解為 )()()()( Lp LpLhL tiKetititit???? ? ? 式中 )( scLp0??????? ItiRL? 代入上式得到 )( 500L ?? ? tKti 代入初始條件 )0()0( LL ?? ?? ii其中第一項(xiàng)是瞬態(tài)響應(yīng)，第二項(xiàng)是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。電路在開關(guān)斷開后，經(jīng)過 (4～ 5)?的時(shí)間，即經(jīng)過 (8～ 10)ms 的過渡時(shí)期，就達(dá)到了穩(wěn)態(tài)。 ???K 于是 )0(A)()( 500L ??? ? tti t 可以得到 電感電流 iL(t)的全響應(yīng)也可以用分別計(jì)算出零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) ， 然后相加的方法求得 。 電感電流 iL(t)的零輸入響應(yīng)為 )0()( 5 0 0 L39。L ttiti ??? ?? ? 電感電流 iL(t)的零狀態(tài)響應(yīng)為 )Ae1()e1()( 500 LpL ttiti ?? ???? ? iL(t)的全響應(yīng)為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和 )0( A ) . 0 5 e()Ae1()()()(500 500 500 L39。LL???????????ttititittt電感電壓的全響應(yīng)可以利用電感元件的 VCR方程求得 )0(dd)(500LL?????ttiLtut 電路如圖 719(a)所示。已知 uC(0)=4V，uS(t)=(2+e2t)V，求電容電壓 uC(t)的全響應(yīng)。 圖 719 解：將全響應(yīng)分解為 (零輸入響應(yīng) )＋ (2V電壓源引起的零狀 態(tài)響應(yīng) )＋ (e2t電壓源引起的零狀態(tài)響應(yīng) )?，F(xiàn)在分別計(jì)算響應(yīng)的幾個(gè)分量然后相加得到全響應(yīng)。 首先列出圖 (a)電路的微分方程和初始條件 圖 719 2CCCd( 2 e ) V ( 0 ) ( 7 1 8 )d( 0 ) 4 Vtu uttu???? ? ? ? ???? ?? 1. 求電路的零輸入響應(yīng) [見圖 (b)電路 ] CCCd0 ( 0 ) ( 6 1 9 )d( 0 ) 4 Vuuttu ??? ? ? ???? ?? 求得 ttutuRC??? ???????e4e)0()(s1F11C39。C??圖 719 列出齊次微分方程和初始條件 2V電壓源引起的零狀態(tài)響應(yīng) [見圖 (c)電路 ] 由此求得 V)e1(2)e1()( SC ttUtu ?????? ?圖 719 列出微分方程和初始條件 CCCd2 V ( 0 ) ( 7 2 0 )d( 0 ) 0uuttu ??? ? ? ???? ??3. 求 2e2tV電壓源引起的零狀態(tài)響應(yīng) [見圖 (d)電路 ] 其解為 )(e)()()( 39。Cp39。Cp39。Ch39。C tuKtututu t ???? ?圖 719 列出微分方程和初始條件 ????????????0)0()217()0(VeddC2CCututu t 由此求得 ttuA 2Cp e1)( 1????? 代入上式 ttKtu 239。C e1e)(?? ?? 代入初始條件， t=0時(shí)， 01)0(39。C ??? Ku 最后求得零狀態(tài)響應(yīng) V)ee()( 239。Ctttu ?? ?? 由此得到 K=1 設(shè) ，并將它代入到式 7－ 21所示微分方程中可以得到 tAtu 239。Cp e)( ??ttt AA 222 eee2 ??? ??－ ?穩(wěn)態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)強(qiáng)制響應(yīng)固有響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)2VV)ee3( V)e2(Ve3 V)ee2(Ve4 V)ee(V)e22(Ve4 )()()()(222239。39。39。C39。39。C39。CC??????????????????????????????? ??? ??? ?? ??????? ??? ?????ttttttttttttutututu思 考 與 練 習(xí) 731 在電阻，電感與電壓源串聯(lián)電路中，若 US=1V, iL(0)=1A時(shí)的全響應(yīng)為 iL(t)。如果使全響應(yīng)增加一倍，達(dá)到 2iL(t)，則需改變電壓源電壓和電感初始電流為以下數(shù)值 (1) US=2V, iL(0)=1A (2) US=1V, iL(0)=2A (3) US=2V, iL(0)=2A 請(qǐng)從以上三個(gè)條件中，選擇一個(gè)正確的答案，并說明原因 。 圖 7－ 3－ 2 732 圖 732電路中 uC(0)=5V，試求 t0時(shí)電容電壓uC(t)的全響 應(yīng)，瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 補(bǔ)充：三要素法 本節(jié)專門討論由 直流電源驅(qū)動(dòng)的只含一個(gè)動(dòng)態(tài)元件的一階電路全響應(yīng)的一般表達(dá)式 ， 并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出三要素法 。 圖 7－ 20 (a)RC一階電路 (b)RL一階電路 一、三要素法 僅含一個(gè)電感或電容的線性一階電路，將連接動(dòng)態(tài)元件的線性電阻單口網(wǎng)絡(luò)用戴維寧和諾頓等效電路代替后，可以得到圖 720(a)和 (b)所示的等效電路。 圖 (a)電路的微分方程和初始條件為 圖 (b)電路的微分方程和初始條件為 Co C o cC0d ( )( ) ( 0 ) ( 7 2 2 )d( 0 )utR C u t U ttuU ?? ? ? ? ???? ??Lo L s cL0d ( ) ( ) ( 0 ) ( 7 2 3 )d( 0 )itG L i t I ttiI ?? ? ? ? ???? ?? 上述兩個(gè)微分方程可以表示為具有統(tǒng)一形式的微分方程 其通解為 AKtftftft???? ? ? ph e)()()( 如果 ?0，在直流輸入的情況下， t??時(shí)， fh (t)?0，則有 )()(Cp ??? fAtfd ( )( ) ( 0 ) ( 7 2 4 )d( 0 )ftf t A ttf??? ? ? ? ????? 由初始條件 f (0+)，可以求得 )()0( ??? ? ffK 于是得到全響應(yīng)的一般表達(dá)式 因而得到 )(e)( τ ??? ? fKtft oo( ) [ ( 0 ) ( ) ] e ( ) ( 0 ) ( 7 2 5 ) /tf t f f f tR C L R?????? ? ? ? ? ? ???其 中 或 這就是 直流激勵(lì)的 RC一階電路和 RL中的任一響應(yīng)的表達(dá)式 (可以用疊加定理證明 ) 。其波形曲線如圖 7－ 21所示。由此可見，直流激勵(lì)下一階電路中 任一響應(yīng)總是從初始值 f (0+)開始，按照指數(shù)規(guī)律增長或衰減到穩(wěn)態(tài)值 f (?)，響應(yīng)變化的快慢取決于電路的時(shí)間常數(shù) ? 。 圖 7－ 21 直流激勵(lì)下一階電路全響應(yīng)的波形曲線 由此可見 ， 直流激勵(lì)下一階電路的全響應(yīng)取決于 f (0+)、 f (?)和 ? 這三個(gè)要素 。 只要分別計(jì)算出這三個(gè)要素 ， 就能夠確定全響應(yīng) ， 也就是說 ， 根據(jù)式 (725） 可以寫出響應(yīng)的表達(dá)式以及畫出圖 721那樣的全響應(yīng)曲線 ， 而不必建立和求解微分方程 。 這種計(jì)算直流激勵(lì)下一階電路響應(yīng)的方法稱為三要素法 。 圖 722 用三要素法計(jì)算含一個(gè)電容或一個(gè)電感的直流激勵(lì)一階電路響應(yīng)的一般步驟是 : 1. 初始值 f (0+)的計(jì)算 (1) 根據(jù) t0的電路，計(jì)算出 t=0時(shí)刻的電容電壓 uC(0)或電感電流 iL(0)。 (2) 根據(jù)電容電壓和電感電流連續(xù)性，即 uC(0+)=uC(0)和 iL(0+)=iL(0) 確定電容電壓或電感電流初始值。 (3) 假如還要計(jì)算其它非狀態(tài)變量的初始值，可以從用數(shù)值為 uC(0+)的電壓源替代電容或用數(shù)值為 iL(0+)的電流源替代電感后所得到的電阻電路中計(jì)算出來。 2. 穩(wěn)態(tài)值 f (?)的計(jì)算 根據(jù) t0的電路，將 電容用開路代替或電感用短路代替，得到一個(gè)直流電阻電路，再從此電路中計(jì)算出穩(wěn)態(tài)值 f (?)。 3. 時(shí)間常數(shù) ? 的計(jì)算