【文章內容簡介】 關倒向 2端。 t 0 時的電路如圖 716(b)所示 。 圖 7－ 16 RC電路的完全響應 為了求得電容電壓的全響應，以電容電壓 uC(t)為變量，列出圖 (b)所示電路的微分方程 其解為 S CpChC e)()()( UKtututuRCt???? ?UC(0+)=U0 CCSd ( 0 ) ( 7 1 5 )duR C u U tt ? ? ? ? 代入初始條件 S0C )0( UKUu ????S0 UUK ?? 求得 S S0C e)()( UUUtuRCt??? ? 于是得到電容電壓以及電容電流的表達式 S S0CpChC e)()()()( UUUtututuRCt????? ? C 0 S S ( ) ( ) e ( 0) ( 7 16) tu t U U U t??????? ? ? ? ?全 響 應 固 有 響 應 強 制 響 應全 響 應 瞬 態(tài) 響 應 穩(wěn) 態(tài) 響 應 第一項是對應微分方程的通解 uCh(t)，稱為電路的固有響應或自由響應， 若時間常數 ? 0，固有響應將隨時間增長而按指數規(guī)律衰減到零，在這種情況下，稱它為瞬態(tài)響應。 第二項是微分方程的特解 uCp(t)，其變化規(guī)律一般與輸入相同，稱為強制響應。 在直流輸入時，當 t??時，uC(t)=uCp(t) 這個強制響應稱為 直流穩(wěn)態(tài)響應。 C 0 S S ( ) ( ) e ( 0 ) ( 7 1 6 ) tu t U U U t??? ? ? ? ???全 響 應 瞬 態(tài) 響 應 穩(wěn) 態(tài) 響 應 式 (7－ 16)可以改寫為以下形式 式中第一項為初始狀態(tài)單獨作用引起的零輸入響應，第二項為輸入 (獨立電源 )單獨作用引起的零狀態(tài)響應。 也就是說電路的 完全響應等于零輸入響應與零狀態(tài)響應之和。 這是線性動態(tài)電路的一個基本性質，是響應可以疊加的一種體現。 C 0 S ( ) e ( 1 e ) ( 0 ) ( 7 1 7 ) ttu t U U t????? ? ? ? ?全 響 應 ＝ 零 輸 入 響 應 ＋ 零 狀 態(tài) 響 應 以上兩種疊加的關系，可以用波形曲線來表示。利用全響應的這兩種分解方法，可以簡化電路的分析計算，實際電路存在的是電壓電流的完全響應。 (a) 全響應分解為固有響應與強制響應之和 (b) 全響應分解為零輸入響應與零狀態(tài)響應之和 圖 717 瞬態(tài)響應 穩(wěn)態(tài)響應 全響應 零輸入響應 零狀態(tài)響應 全響應 圖 718(a)所示電路原來處于穩(wěn)定狀態(tài)。 t=0時開關斷開，求 t?0的電感電流 iL(t)和電感電壓 uL(t)。 圖 718 iL(0+)= 解：在 t0時，電阻 R1被開關短路，電感電流的初始值為 V10)0(2SL ????? RUi 在 t0時的電路中，用諾頓等效電路代替連接電感的含源電阻單口網絡，得到圖 (b)所示電路，該電路的微分方程為 )0(dd scLLo??? tIitiRL 其全解為 )()()()( Lp LpLhL tiKetititit???? ? ? 式中 )( scLp0??????? ItiRL? 代入上式得到 )( 500L ?? ? tKti 代入初始條件 )0()0( LL ?? ?? ii其中第一項是瞬態(tài)響應，第二項是穩(wěn)態(tài)響應。電路在開關斷開后，經過 (4～ 5)?的時間，即經過 (8～ 10)ms 的過渡時期，就達到了穩(wěn)態(tài)。 ???K 于是 )0(A)()( 500L ??? ? tti t 可以得到 電感電流 iL(t)的全響應也可以用分別計算出零輸入響應和零狀態(tài)響應 ， 然后相加的方法求得 。 電感電流 iL(t)的零輸入響應為 )0()( 5 0 0 L39。L ttiti ??? ?? ? 電感電流 iL(t)的零狀態(tài)響應為 )Ae1()e1()( 500 LpL ttiti ?? ???? ? iL(t)的全響應為零輸入響應與零狀態(tài)響應之和 )0( A ) . 0 5 e()Ae1()()()(500 500 500 L39。LL???????????ttititittt電感電壓的全響應可以利用電感元件的 VCR方程求得 )0(dd)(500LL?????ttiLtut 電路如圖 719(a)所示。已知 uC(0)=4V，uS(t)=(2+e2t)V，求電容電壓 uC(t)的全響應。 圖 719 解：將全響應分解為 (零輸入響應 )＋ (2V電壓源引起的零狀 態(tài)響應 )＋ (e2t電壓源引起的零狀態(tài)響應 )。現在分別計算響應的幾個分量然后相加得到全響應。 首先列出圖 (a)電路的微分方程和初始條件 圖 719 2CCCd( 2 e ) V ( 0 ) ( 7 1 8 )d( 0 ) 4 Vtu uttu???? ? ? ? ???? ?? 1. 求電路的零輸入響應 [見圖 (b)電路 ] CCCd0 ( 0 ) ( 6 1 9 )d( 0 ) 4 Vuuttu ??? ? ? ???? ?? 求得 ttutuRC??? ???????e4e)0()(s1F11C39。C??圖 719 列出齊次微分方程和初始條件 2V電壓源引起的零狀態(tài)響應 [見圖 (c)電路 ] 由此求得 V)e1(2)e1()( SC ttUtu ?????? ?圖 719 列出微分方程和初始條件 CCCd2 V ( 0 ) ( 7 2 0 )d( 0 ) 0uuttu ??? ? ? ???? ??3. 求 2e2tV電壓源引起的零狀態(tài)響應 [見圖 (d)電路 ] 其解為 )(e)()()( 39。Cp39。Cp39。Ch39。C tuKtututu t ???? ?圖 719 列出微分方程和初始條件 ????????????0)0()217()0(VeddC2CCututu t 由此求得 ttuA 2Cp e1)( 1????? 代入上式 ttKtu 239。C e1e)(?? ?? 代入初始條件， t=0時， 01)0(39。C ??? Ku 最后求得零狀態(tài)響應 V)ee()( 239。Ctttu ?? ?? 由此得到 K=1 設 ，并將它代入到式 7－ 21所示微分方程中可以得到 tAtu 239。Cp e)( ??ttt AA 222 eee2 ??? ??－ ?穩(wěn)態(tài)響應瞬態(tài)響應強制響應固有響應零狀態(tài)響應零輸入響應2VV)ee3( V)e2(Ve3 V)ee2(Ve4 V)ee(V)e22(Ve4 )()()()(222239。39。39。C39。39。C39。CC??????????????????????????????? ??? ??? ?? ??????? ??? ?????ttttttttttttutututu思 考 與 練 習 731 在電阻，電感與電壓源串聯電路中，若 US=1V, iL(0)=1A時的全響應為 iL(t)。如果使全響應增加一倍，達到 2iL(t)，則需改變電壓源電壓和電感初始電流為以下數值 (1) US=2V, iL(0)=1A (2) US=1V, iL(0)=2A (3) US=2V, iL(0)=2A 請從以上三個條件中，選擇一個正確的答案，并說明原因 。 圖 7－ 3－ 2 732 圖 732電路中 uC(0)=5V，試求 t0時電容電壓uC(t)的全響 應，瞬態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應。 補充：三要素法 本節(jié)專門討論由 直流電源驅動的只含一個動態(tài)元件的一階電路全響應的一般表達式 ， 并在此基礎上推導出三要素法 。 圖 7－ 20 (a)RC一階電路 (b)RL一階電路 一、三要素法 僅含一個電感或電容的線性一階電路，將連接動態(tài)元件的線性電阻單口網絡用戴維寧和諾頓等效電路代替后，可以得到圖 720(a)和 (b)所示的等效電路。 圖 (a)電路的微分方程和初始條件為 圖 (b)電路的微分方程和初始條件為 Co C o cC0d ( )( ) ( 0 ) ( 7 2 2 )d( 0 )utR C u t U ttuU ?? ? ? ? ???? ??Lo L s cL0d ( ) ( ) ( 0 ) ( 7 2 3 )d( 0 )itG L i t I ttiI ?? ? ? ? ???? ?? 上述兩個微分方程可以表示為具有統(tǒng)一形式的微分方程 其通解為 AKtftftft???? ? ? ph e)()()( 如果 ?0，在直流輸入的情況下， t??時， fh (t)?0，則有 )()(Cp ??? fAtfd ( )( ) ( 0 ) ( 7 2 4 )d( 0 )ftf t A ttf??? ? ? ? ????? 由初始條件 f (0+)，可以求得 )()0( ??? ? ffK 于是得到全響應的一般表達式 因而得到 )(e)( τ ??? ? fKtft oo( ) [ ( 0 ) ( ) ] e ( ) ( 0 ) ( 7 2 5 ) /tf t f f f tR C L R?????? ? ? ? ? ? ???其 中 或 這就是 直流激勵的 RC一階電路和 RL中的任一響應的表達式 (可以用疊加定理證明 ) 。其波形曲線如圖 7－ 21所示。由此可見，直流激勵下一階電路中 任一響應總是從初始值 f (0+)開始，按照指數規(guī)律增長或衰減到穩(wěn)態(tài)值 f (?)，響應變化的快慢取決于電路的時間常數 ? 。 圖 7－ 21 直流激勵下一階電路全響應的波形曲線 由此可見 ， 直流激勵下一階電路的全響應取決于 f (0+)、 f (?)和 ? 這三個要素 。 只要分別計算出這三個要素 ， 就能夠確定全響應 ， 也就是說 ， 根據式 (725） 可以寫出響應的表達式以及畫出圖 721那樣的全響應曲線 ， 而不必建立和求解微分方程 。 這種計算直流激勵下一階電路響應的方法稱為三要素法 。 圖 722 用三要素法計算含一個電容或一個電感的直流激勵一階電路響應的一般步驟是 : 1. 初始值 f (0+)的計算 (1) 根據 t0的電路，計算出 t=0時刻的電容電壓 uC(0)或電感電流 iL(0)。 (2) 根據電容電壓和電感電流連續(xù)性，即 uC(0+)=uC(0)和 iL(0+)=iL(0) 確定電容電壓或電感電流初始值。 (3) 假如還要計算其它非狀態(tài)變量的初始值，可以從用數值為 uC(0+)的電壓源替代電容或用數值為 iL(0+)的電流源替代電感后所得到的電阻電路中計算出來。 2. 穩(wěn)態(tài)值 f (?)的計算 根據 t0的電路，將 電容用開路代替或電感用短路代替，得到一個直流電阻電路，再從此電路中計算出穩(wěn)態(tài)值 f (?)。 3. 時間常數 ? 的計算