【正文】 ?? ii (2) 計(jì)算穩(wěn)態(tài)值 iL(?) 0)(L ??i(3) 時(shí)間常數(shù)相同，即 1 m sτ ?(4) 根據(jù)三要素公式得到 )ms1( )()10(101 m s L33????????ttitt?圖 729 (1) 計(jì)算初始值 iL(1ms+) 167。 7－ 5 二階電路的零輸入響應(yīng) 一 、 RLC串聯(lián)電路的微分方程 圖 7－ 30 RLC串聯(lián)二階電路 )()()()( SCLR tutututu ???2c2LcRcCLdddd)( dd)()(dd)()()(tuLCtiLtutuRCtRitutuCtititi??????? 為了得到圖 7－ 30所示RLC串聯(lián)電路的微分方程，先列出 KVL方程 根據(jù)前述方程得到以下微分方程 2CCCS2dd ()dduuL C RC u u ttt? ? ? 這是一個(gè)常系數(shù)非齊次線性二階微分方程。 2CCC2dd 0uuL C RC utt? ? ? 其特征方程為 2 10L C s R C s? ? ? 其特征根為 212122RRsL L L C??? ? ? ?????， 零輸入響應(yīng)方程為 電路微分方程的特征根，稱為電路的固有頻率。當(dāng)R， L， C的量值不同時(shí)，特征根可能出現(xiàn)以下三種情況 CLR 2?21, ss 1. 時(shí)， 為不相等的實(shí)根。過阻尼情況。 3. 時(shí)， 為共軛復(fù)數(shù)根。欠阻尼情況。 CLR 2? 21, ss 2. 時(shí)， 為兩個(gè)相等的實(shí)根。臨界阻 尼情況。 21, ssCLR 2?二、過阻尼情況 當(dāng) 時(shí)，電路的固有頻率 s1， s2為兩個(gè)不相同的 實(shí)數(shù)，齊次微分方程的解答具有下面的形式 CLR 2?12C 1 2( ) e es t s tu t K K?? 式中的兩個(gè)常數(shù) K1， K2由初始條件 iL(0)和 uc(0) 確定。 C 1 2( 0)u K K?? 求導(dǎo)，再令 t=0得到 C L0 1 1 2 2d ( ) (0 )d tut iK s K stC? ? ? ? 求解以上兩個(gè)方程，可以得到 ??????????????CiusssKCiusssK)0()0(1 )0()0(1LC1212LC2121－＝－＝ 由此得到電容電壓的零輸入響應(yīng)，再利用 KCL方程和電容的 VCR可以得到電感電流的零輸入響應(yīng)。 例 7 14 電路如圖 730所示，已知 R=3?,L=, C=, uC(0)=2V, iL(0)=1A，求電容電壓和電感電流的零 輸入響應(yīng)。 ???????????????????????42138331222221 LCLRLRs，解：將 R， L， C的量值代入計(jì)算出固有頻率 圖 7－ 30 RLC串聯(lián)二階電路 將固有頻率 s1=2和 s2=4代入得到 )0(ee)( 4221C ??? ?? tKKtu tt 利用電容電壓的初始值 uC(0)=2V和電感電流的初始值 iL(0)=1A得到以下兩個(gè)方程： 4)0(42d)(d2)0( L210C21C????????? CiKKttuKKutK1=6 K2=4 )0(V)e4e6()( 42C ??? ?? ttu tt 最后得到電容電壓的零輸入響應(yīng)為 利用 KCL和電容的 VCR方程得到電感電流的零輸入響應(yīng) )0(A)e4e3(dd)()( 42CCL ?????? ?? ttuCtiti tt 從圖示電容電壓和電感電流的波形曲線，可以看出電路各元件的能量交換過程。 三、臨界情況 當(dāng) 時(shí)，電路的固有頻率 s1, s2為兩個(gè)相同的實(shí)數(shù) s1=s2=s。齊次微分方程的解答具有下面的形式 CLR 2?C 1 2( ) e es t s tu t K K t?? 式中的兩個(gè)常數(shù) K1， K2由初始條件 iL(0)和 uC(0) 確定。t=0得到 C1( 0 )uK? 聯(lián)立求解以上兩個(gè)方程，可以得到 )0()0()0(C1L2C1usCiKuK??? 將 K1, K2的計(jì)算結(jié)果，代入得到電容電壓的零輸入響應(yīng)，再利用 KCL方程和電容的 VCR可以得到電感電流的零輸入響應(yīng)。 求導(dǎo)，再令得到 C L0 1 2d ( ) ( 0 )d tut iK s KtC? ? ? ?例 715 電路如圖 731所示。已知已知 R=1 ?， L= H， C=1 F， uC(0)=1V， iL(0)=0，求電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng)。 ???????????????????????22024221222221 LCLRLRs，解：將 R， L， C的量值代入計(jì)算出固有頻率的數(shù)值 圖 7－ 31 RLC串聯(lián)二階電路 利用電容電壓的初始值 uC(0)=1V和電感電流的初始值 iL(0)=0得到以下兩個(gè)方程 0)0(2d)(d1)0( L210C1C?????????CiKKttuKut 將兩個(gè)相等的固有頻率 s1=s2=2 代入得到 )0(ee)( 2221c ??? ?? ttKKtu tt 得到電感電流的零輸入響應(yīng) )0(Ae4A)e4e2e2(dd)()(2222CCL???????????ttttuCtititttt 求解以上兩個(gè)方程得到常數(shù) K1=1和 K2=2，得到電容電壓的零輸入響應(yīng) )0(V)e2e()( 22C ???? ?? tttu tt 根據(jù)以上兩個(gè)表達(dá)式用計(jì)算機(jī)程序 DNAP畫出的波形曲線，如圖 7－ 32所示。 (a) 電容電壓的波形 (b) 電感電流的波形 圖 7－ 32 臨界阻尼情況 )0( A e4)()()0( V)e2e()(2CL22C??????????tttititttuttt四、欠阻尼情況 當(dāng) 時(shí)，電路的固有頻率 s1， s2為為兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根，它們可以表示為 CLR 2?d220221 jj122 ????? ?????????????????LCLRLRs， 其中 稱為衰減諧振角頻率稱為諧振角頻率稱為衰減系數(shù)220d0 1 2?????????LCLR 齊次微分方程的解答具有下面的形式 C 1 d 2 dd( ) e [ c o s ( ) s in ( ) ]e c o s ( )ttu t K t K tKt?????????? 式中 122221 a r c t a n KKKKK ???? ? 由初始條件 iL(0)和 uC(0)確定常數(shù) K1， K2后，得到電容電壓的零輸入響應(yīng)，再利用 KCL和 VCR方程得到電感電流的零輸入響應(yīng)。 例 716 電路如圖 733所示。已知 R=6?, L=1H, C=, uC(0)=3V， iL(0)=，求電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng)。 j43533122 22221 ?????????????????LCLRLRs，解：將 R， L， C的量值代入計(jì)算出固有頻率的數(shù)值 圖 7－ 33 RLC串聯(lián)二階電路 利用電容電壓的初始值 uC(0)=3V和電感電流的初始值 iL(0)= 7)0(43d)(d)0( L210C1C??????? CiKKttuKut 求解以上兩個(gè)方程得到常數(shù) K1=3和 K2=4，得到電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng) : )0(A ) o s (e)]4s i n (24)4c o s (7[dd)()0( V) o s (e5)]4s i n (44c o s3[e)(33cL33c???????????????tttttuCtitttttutttt?? 將兩個(gè)不相等的固有頻率 s1=3+j4 和 s2=3j4 代入得到 )0(])4s i n (4c o s[e)( 213C ??? ? ttKtKtu t(a) 衰減系數(shù)為 3的電容電壓的波形 (b) 衰減系數(shù)為 3的電感電流的波形 (c) 衰減系數(shù)為 (d) 衰減系數(shù)為 圖 7－ 34 欠阻尼情況 用計(jì)算機(jī)程序 DNAP畫出的波形曲線，如圖 7－ 34(a)和 (b)所示 從圖 734波形曲線可以看出，欠阻尼情況的特點(diǎn)是能量在電容與電感之間交換，形成衰減振蕩。電阻越小，單位時(shí)間消耗能量越少，曲線衰減越慢。 當(dāng)例 7－ 16中電阻由 R=6Ω減小到 R=1Ω，衰減系數(shù)由 3變?yōu)?，用計(jì)算機(jī)程序 DNAP得到的電容電壓和電感電流的波形曲線，如圖 7－ 34(c)和 (d)所示，由此可以看出曲線衰減明顯變慢。假如電阻等于零，使衰減系數(shù)為零時(shí)，電容電壓和電感電流將形成無衰減的等幅振蕩。 例 717 電路如圖 735所示。已知 R=0, L=1H, C=, uC(0)=3V, iL(0)=，求電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng)。 j55122 2221 ???????????????LCLRLRs，解：將 R， L， C的量值代入式（ 9－ 4）計(jì)算出固有頻率的 數(shù)值 圖 7－ 35 RLC串聯(lián)二階電路 將兩個(gè)不相等的固有頻率 s1=j5和 s2=j5代入式（ 911）得到 )0()]5s i n ()5c o s ([)( 21c ??? ttKtKtu 利用電容電壓的初始值 uC(0)=3V和電感電流的初始值 iL(0)= 得到以下兩個(gè)方程 7)0(5d)(d3)0( L20C1C?????? CiKttuKut 求解以上兩個(gè)方程得到常數(shù) K1=3和 K2=，得到電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng) : )0(A)655c o s ()]5c o s (7)5s i n (15[dd)()0(V)255c o s ()]5s i n ()5c o s (3[)(CLC????????????tttttuCtitttttu?? 用計(jì)算機(jī)程序 DNAP畫出的電容電壓和電感電流的波形曲線，如圖 7－ 36所示。 圖 7－ 36 無阻尼情況 從電容電壓和電感電流的表達(dá)式和波形曲線可見，由于電路中沒有損耗，能量在電容和電感之間交換，總能量不會減少，形成等振幅振蕩。電容電壓和電感電流的相位差為 90?，當(dāng)電容電壓為零，電場儲能為零時(shí)，電感電流達(dá)到最大值，全部能量儲存于磁場中；而當(dāng)電感電流為零，磁場儲能為零時(shí)，電容