線性規(guī)劃的常見題型及其解法教師版題型全歸納好資料-資料下載頁
2025-08-04 04:44本頁面
【正文】 |min＝＝．【答案】26．(2016漢中二模)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用水3噸、煤2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用水1噸、煤3噸．銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元，銷售每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元，若該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗水不超過13噸，煤不超過18噸，則該企業(yè)可獲得的最大利潤是______萬元．【解析】設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y噸，由題意知利潤z＝5x＋3y，作出可行域如圖中陰影部分所示，求出可行域邊界上各端點(diǎn)的坐標(biāo)，經(jīng)驗(yàn)證知當(dāng)x＝3，y＝4，即生產(chǎn)甲產(chǎn)品3噸，乙產(chǎn)品4噸時可獲得最大利潤27萬元．【答案】2727．某農(nóng)戶計(jì)劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表：年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價(jià)黃瓜4噸韭菜6噸為使一年的種植總利潤(總利潤＝總銷售收入－總種植成本)最大，則黃瓜的種植面積應(yīng)為________畝．【解析】設(shè)黃瓜和韭菜的種植面積分別為x畝，y畝，總利潤為z萬元，則目標(biāo)函數(shù)為z＝(4x－)＋(6y－)＝x＋．線性約束條件為即畫出可行域，如圖所示．作出直線l0：x＋0．9y＝0，向上平移至過點(diǎn)A時，z取得最大值，由解得A(30,20)．【答案】3028．(2015日照調(diào)研)若A為不等式組表示的平面區(qū)域，則當(dāng)a從－2連續(xù)變化到1時，動直線x＋y＝a掃過A中的那部分區(qū)域的面積為________．【解析】平面區(qū)域A如圖所示，所求面積為S＝22－＝2－＝．【答案】29．(2014高考浙江卷)當(dāng)實(shí)數(shù)x，y滿足時，1≤ax＋y≤4恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【解析】畫可行域如圖所示，設(shè)目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y，即y＝－ax＋z，要使1≤z≤4恒成立，則a0，數(shù)形結(jié)合知，滿足即可，解得1≤a≤．所以a的取值范圍是1≤a≤．【答案】30．(2015石家莊二檢)已知動點(diǎn)P(x，y)在正六邊形的陰影部分(含邊界)內(nèi)運(yùn)動，如圖，正六邊形的邊長為2，若使目標(biāo)函數(shù)z＝kx＋y(k0)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，則k的值為________．【解析】由目標(biāo)函數(shù)z＝kx＋y(k0)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，結(jié)合圖形分析可知，直線kx＋y＝0的傾斜角為120176。，于是有－k＝tan 120176。＝－，所以k＝．【答案】31．設(shè)m＞1，在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my的最大值小于2，則m的取值范圍 ．【解析】變換目標(biāo)函數(shù)為y＝－x＋，由于m1，所以－1－0，不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，只有直線y＝－x＋在y軸上的截距最大時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值．顯然在點(diǎn)A處取得最大值，由y＝mx，x＋y＝1，得A，所以目標(biāo)函數(shù)的最大值zmax＝＋2，所以m2－2m－10，解得1－m1＋，故m的取值范圍是(1,1＋)．【答案】(1,1＋)32．已知實(shí)數(shù)x，y滿足若目標(biāo)函數(shù)z＝x－y的最小值的取值范圍是[－2，－1]，則目標(biāo)函數(shù)的最大值的取值范圍是________．【解析】不等式組表示的可行域如圖中陰影部分(包括邊界)所示，目標(biāo)函數(shù)可變形為y＝x－z，當(dāng)z最小時，直線y＝x－z在y軸上的截距最大．當(dāng)z的最小值為－1，即直線為y＝x＋1時，聯(lián)立方程可得此時點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,3)，此時m＝2＋3＝5；當(dāng)z的最小值為－2，即直線為y＝x＋2時，聯(lián)立方程可得此時點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3,5)，此時m＝3＋5＝8．故m的取值范圍是[5,8]．目標(biāo)函數(shù)z＝x－y的最大值在點(diǎn)B(m－1,1)處取得，即zmax＝m－1－1＝m－2，故目標(biāo)函數(shù)的最大值的取值范圍是[3,6]．【答案】[3,6]33．(2013高考廣東卷)給定區(qū)域D：令點(diǎn)集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的點(diǎn)}，則T中的點(diǎn)共確定________條不同的直線．【解析】線性區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，取得最小值時點(diǎn)為(0,1)，最大值時點(diǎn)為(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，點(diǎn)(0,1)與(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)中的任何一個點(diǎn)都可以構(gòu)成一條直線，共有5條 ，又(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)都在直線x＋y＝4上，故T中的點(diǎn)共確定6條不同的直線．【答案】634．(2011湖北改編)已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b．若x，y滿足不等式|x|＋|y|≤1，則z的取值范圍為__________．【解析】∵a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b，∴ab＝2(x＋z)＋3(y－z)＝0，即2x＋3y－z＝0．又|x|＋|y|≤1表示的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，∴當(dāng)2x＋3y－z＝0過點(diǎn)B(0，－1)時，zmin＝－3，當(dāng)2x＋3y－z＝0過點(diǎn)A(0,1)時，zmin＝3． ∴z∈[－3,3]．【答案】[－3,3]35．(2016衡水中學(xué)模擬)已知變量x，y滿足約束條件且有無窮多個點(diǎn)(x，y)使目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my取得最小值，則m＝________．【解析】作出線性約束條件表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示．若m＝0，則z＝x，目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my取得最小值的最優(yōu)解只有一個，不符合題意．若m≠0，則目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my可看作斜率為－的動直線y＝－x＋，若m＜0，則－＞0，由數(shù)形結(jié)合知，使目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my取得最小值的最優(yōu)解不可能有無窮多個；若m＞0，則－＜0，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)動直線與直線AB重合時，有無窮多個點(diǎn)(x，y)在線段AB上，使目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my取得最小值，即－＝－1，則m＝1．綜上可知，m＝1．【答案】121
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